比較二次根式大小的巧妙方法而比較二次根式的大小又是二次根式知識(shí)中的難點(diǎn)，也是中考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常見(jiàn)的題型，經(jīng)常會(huì)考到不查表、不求二次根式的值，來(lái)比較幾個(gè)不含分母的二次根式的大小的問(wèn)題。盡管教材上介紹了比較二次根式大小的幾種基本方法，如求近似值法、比較被開(kāi)方數(shù)法等，盡管很多教輔材料中也總結(jié)了不少諸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒數(shù)”、“平方”等方法，但許多學(xué)生在考試中仍顯得力不從心，并不清楚到底什么時(shí)候用哪種方法最合適解答這類題目時(shí)缺少方法與對(duì)策，以至于無(wú)從下手。下面就舉例介紹幾種比較二次根式大小的有效方法。一、移動(dòng)因式法此法好學(xué)，適用。就是將根號(hào)外的正因式移入根號(hào)內(nèi)，從而轉(zhuǎn)化為比較被開(kāi)方數(shù)的大小。＞＞∴∴＞兩邊同時(shí)平方,轉(zhuǎn)化為比較冪的大小。此法的依據(jù)是：兩個(gè)正數(shù)的平方與解：∵解：∵，三、分母有理化法此法是先將各自的分母有理化，再進(jìn)行比較。與四、分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。與解：∵解：∵＞＞∴∴＞五、求差或求商法根據(jù)“當(dāng)與的大小。。②異號(hào)：正數(shù)大于負(fù)數(shù)”來(lái)比較與的大小。解：∵解：∵＜＜解：∵解：∵六、求倒數(shù)法先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進(jìn)行比較。解：∵解：∵＞∴＜七、運(yùn)用媒介法此法是借助中間量(定量或變量)巧妙轉(zhuǎn)換達(dá)到直觀比較的方法，類似于解方程中的換元法。例解：設(shè)例解：設(shè)則，，解：設(shè)解：設(shè)，，，八、設(shè)特定值法如果要比較的二次根式中含有字母，為了快速比較，解答時(shí)可在許可的條件下設(shè)定特殊值來(lái)進(jìn)行比較。與解：設(shè)解：設(shè)，則：＝九、局部縮放法如果要比較的二次根式一眼看不出有什么特點(diǎn)，又不準(zhǔn)求近似值，可采取局部縮放法，以確定它們的取值范圍，從而達(dá)到比較大小的目的。10∵，7＜＜8，即7＜＜8，8＜＜9，即8＜＜9∴＜，即＜與解：∵解：∵十、“結(jié)論”推理法通過(guò)二通過(guò)二次根式的不斷學(xué)習(xí)，不難得出這樣的結(jié)論：“＞(＞＞0)”，利用此結(jié)論也可以比較一些二次根式的大小(結(jié)論證明見(jiàn)文末)。解：解：∵，＞＞0)可知：(＞＞即＞又∵又∵總的來(lái)說(shuō)，比較二次根式大小的方法不僅僅局限于以上十種，除此之外諸如移項(xiàng)、拆項(xiàng)法，類比推理法，數(shù)形結(jié)合法，數(shù)軸法，還有假設(shè)推理法等等，但不管使用哪種方法，都必須在掌握二次根式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則上進(jìn)行，要根據(jù)問(wèn)題的特征，二次根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，多角度地探索思考，做到具體問(wèn)題具體分析，針對(duì)不同問(wèn)題采取不同的策略，另外還應(yīng)多做這方面的訓(xùn)練，方能達(dá)到熟練而又快捷，運(yùn)用自如的程度。(＞＞0)”的證明。(＞證明：證明：∵，，與與＞＞((＞與、比較與與4、比較與與的大小(其中的大小(其中6、比較與，、比較與9與與與11、比較與12、比較與的大小；與的大15、若為正整數(shù)，試比較的大??；16【典題新練參考答案】：2、提示：平方后再進(jìn)行比較。，∴∴＞3、提示：可利用(＞＞0)。3、提示：可利用(＞＞4、提示：分母有理化后再進(jìn)行比較。，，，5、提示：分子有理化后再進(jìn)行比較。，即即＜，，，，8、平方后再進(jìn)行比較。的整數(shù)部分為提示：由偶次根式的定義得的整數(shù)部分為提示：由偶次根式的定義得，∴，99、提示：∵2＜＜＜10、提示：分子有理化后再進(jìn)行比較。 所所以11、提示：分別求其倒數(shù)后，再進(jìn)行比較。＜同樣可得8，∴＜13、提示：∵＞14、提示：平方后再比較大小?！?，15＜2009、、＜0，∴＞＞4