強(qiáng)震地面運(yùn)動(dòng)的頻域模型研究摘要：基于FOURIER變換的時(shí)頻域信息等價(jià)性，本文建立了強(qiáng)震地面運(yùn)動(dòng)的頻域數(shù)學(xué)模型。地震動(dòng)的頻域模型分為兩個(gè)部分，分別是基于理論物理關(guān)系的FOURIER幅值譜模型和基于經(jīng)驗(yàn)物理關(guān)系的FOURIER相位譜模型。FOURIER幅值譜模型以單質(zhì)點(diǎn)體系運(yùn)動(dòng)方程為基礎(chǔ)給出，所建立的幅值譜模型反映了強(qiáng)震記錄的幅值特性；FOURIER相位譜模型以相位差分布為基礎(chǔ)，論文以確定性的顯式形式建立了相角與頻率的映射關(guān)系，所建立的相位譜模型能夠比較好的反映原始記錄的波形結(jié)構(gòu)。以本文模型合成的人工波與實(shí)際強(qiáng)震記錄對(duì)比，證明了本文模型的正確性與有效性。關(guān)鍵詞：地震動(dòng)，幅值譜，相位（差）譜，人工波1.引言 強(qiáng)震地面運(yùn)動(dòng)又稱(chēng)為地震動(dòng)，對(duì)工程結(jié)構(gòu)而言，它是一種可以導(dǎo)致結(jié)構(gòu)出現(xiàn)嚴(yán)重破壞的動(dòng)力作用。由于地面運(yùn)動(dòng)加速度時(shí)程與結(jié)構(gòu)慣性力概念密切相關(guān)，實(shí)用上，多以地面運(yùn)動(dòng)加速度時(shí)程表示地震作用。 地震動(dòng)加速度時(shí)程在數(shù)學(xué)表征上具有顯著的復(fù)雜性，迄今為止，人們還很難直接以簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)描述地震地面運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)程曲線?，F(xiàn)階段的處理方法主要有兩種。一是直接選擇強(qiáng)震記錄，經(jīng)比例調(diào)整或譜對(duì)比后作為結(jié)構(gòu)的可能地震動(dòng)荷載輸入[1,2,3,4]，該方法主要適用于已有大量強(qiáng)震記錄可用的地區(qū)，如美國(guó)西部。另一種常用的處理方法是合成人工波，該方法通過(guò)擬合某種形式的地震動(dòng)功率譜，并假定隨機(jī)相角分布獲得某一集系的地震動(dòng)加速度時(shí)程[5,6,7]。事實(shí)上，地震動(dòng)的功率譜模型僅抓住了地震動(dòng)信號(hào)中的幅值信息，而對(duì)地震動(dòng)的波峰、波谷的相對(duì)位置和排列疏密等波形結(jié)構(gòu)完全沒(méi)有反映。鑒于地面運(yùn)動(dòng)加速度時(shí)程在數(shù)學(xué)描述上的復(fù)雜性，直接在時(shí)域建立數(shù)學(xué)模型是困難的；而傅立葉變換的時(shí)頻域等效性，啟發(fā)我們將時(shí)域內(nèi)的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)換到頻域來(lái)建立數(shù)學(xué)模型?；谶@一基本思想，文獻(xiàn)[8]研究了地震動(dòng)的隨機(jī)FOURIER模型，本文在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入研究地震動(dòng)的頻域模型問(wèn)題。通過(guò)對(duì)地震動(dòng)進(jìn)行了時(shí)頻域的轉(zhuǎn)換，在頻域內(nèi)建立了完整的FOURIER幅值譜模型和FOURIER相位譜模型。其中，幅值譜模型是以運(yùn)動(dòng)微分方程為基礎(chǔ)建立的基于理論物理關(guān)系的幅值譜模型，相位譜模型則借助于相位差譜分布與加速度時(shí)程波形結(jié)構(gòu)的相似性，建立了基于經(jīng)驗(yàn)物理關(guān)系的相位譜模型。分別以上述物理模型對(duì)實(shí)測(cè)強(qiáng)震記錄進(jìn)行校驗(yàn)，比較結(jié)果證實(shí)了本文模型的正確性。2.FOURIER變換 傅立葉變換可以看作是時(shí)間函數(shù)在頻率域上的表示，頻率域所包含的信息和原函數(shù)所包含的完全相同，不同的僅是信息的表示方法。所以傅立葉分析使人們可以從另一個(gè)角度，即頻域視角來(lái)研究一個(gè)時(shí)域內(nèi)的函數(shù)。在許多領(lǐng)域中，傅立葉變換已經(jīng)成為一個(gè)重要的分析工具。這個(gè)數(shù)學(xué)方法最熟知的應(yīng)用是用來(lái)分析線性定常系統(tǒng)，更寬廣的研究領(lǐng)域包括，線性系統(tǒng)、天線、光學(xué)、隨機(jī)過(guò)程、概率論、量子物理和邊值問(wèn)題等諸多研究領(lǐng)域[9]。 傅立葉積分定義為 （1）傅立葉逆變換定義為 （2）一般來(lái)說(shuō)，在實(shí)際的科學(xué)分析中所遇到的大多數(shù)函數(shù)，其傅立葉變換或其逆變換都是存在的[9]。3.基于理論物理關(guān)系建立FOURIER幅值譜模型 文獻(xiàn)[9]首先提出了通過(guò)理論物理關(guān)系建立隨機(jī)FOURIER幅值譜的基本思想，并在假定基巖輸入為有限帶寬白噪聲的情況下給出了隨機(jī)FOURIER幅值譜模型。本文將首先給出幅值譜模型的理論推導(dǎo)，并對(duì)模型的正確性予以驗(yàn)證。不失一般性，可以將實(shí)際工程場(chǎng)地模擬為等價(jià)線性單自由度體系，將基底運(yùn)動(dòng)作為輸入量，則此單自由度體系的絕對(duì)反應(yīng)量即為地面地震動(dòng)過(guò)程。在頻域范圍內(nèi)，線性單自由度體系的地震加速度反應(yīng)可以表示為 （3）莖挽通常，基巖輸籠入可以假定為揀有限帶寬的白料噪聲譜蝦[8]炕，亞耍筑現(xiàn)倉(cāng)猾（恨4蟻）補(bǔ)式中，加為轉(zhuǎn)折頻率，浪分別取壘為左0.6H探z追和來(lái)14.4H腰z釋?zhuān)焕@為截?cái)囝l率，嗚取薪為頂15H腦z白；井為確定基底譜孫幅值的參數(shù)。當(dāng)如夠圖主1械所示。圖1基底幅值譜[8]圖1基底幅值譜[8]Figure1BasementFOURIERamplitude[8]仁因此，基于理隨論物理關(guān)系的陶地震舞動(dòng)堂FOURIE眼R蝦幅值譜模型可給以表示為， （11）圖3幅值譜模型合成波形與原始波形對(duì)比Figure3Comparisonbetweenmodelsynthesizedwaveandrecordedmotion圖2幅值譜模型與原形幅值譜的對(duì)比Figure2Comparisonbetweenmodelandrecord’sFOURIERamplitude客圖準(zhǔn)2替給出了由一個(gè)戴實(shí)際強(qiáng)震記錄怨計(jì)算得到的幅放值譜曲線與按虜上述模型識(shí)別乒參數(shù)給出結(jié)果隱的對(duì)比，從圖邀中可以看出兩成者吻合良好。見(jiàn)為了進(jìn)一步驗(yàn)殲證幅值譜模型挑的正確性，禍圖喬3功以上述模型得難到的幅值譜與偉原始記錄得到摟的相位譜相結(jié)貝合，給出了用奴傅立葉逆變換饅方法生成的地狀面運(yùn)動(dòng)加速度豬時(shí)程曲線。與圖3幅值譜模型合成波形與原始波形對(duì)比Figure3Comparisonbetweenmodelsynthesizedwaveandrecordedmotion圖2幅值譜模型與原形幅值譜的對(duì)比Figure2Comparisonbetweenmodelandrecord’sFOURIERamplitude焰4.琴疫基于經(jīng)驗(yàn)物理重關(guān)系譯的廢FOURIE膊R朋相位譜模型歸葛由于加速度時(shí)吃程曲線在形式惡上的不規(guī)則性臉，在數(shù)學(xué)上很孔難找到簡(jiǎn)單的耍描述方法，所嘴以人們想到了項(xiàng)頻域的表達(dá)方業(yè)法，從而引出育了幅值譜和相檢位譜的概念。壟現(xiàn)階段的研究探多集中于幅值榆譜，而相位譜引的模型研究則炒明顯滯后于幅言值譜模型的研詳究。在早期的箏研究中，逗多匯以一個(gè)染均勻隨機(jī)分布所的隨機(jī)數(shù)模型倆來(lái)表示相位譜薄。跟但是這樣生成登的相位譜與真慈實(shí)相位譜的差歷異非常大。即例使在使用真實(shí)肌幅值譜的情況認(rèn)下，由此相位座譜模型合成的段地震動(dòng)與真實(shí)暈地震動(dòng)比較也敵幾乎沒(méi)有相似伴性，這不能不蠟讓人懷疑現(xiàn)有獅相位譜模型的尊正確性。覺(jué)為此努，鴨2作0夕世津紀(jì)驢7灣0豬年代末以來(lái)，位進(jìn)行了一系列宅地震動(dòng)記錄相稱(chēng)位差譜的研究覆。提出了多種座概率分布模型都，包括，征Y.Ohs嬸aki屬[10]燒，載Tetsuo評(píng)Kubo饒[11]液的正態(tài)分布模繡型；朱昱、馮家啟民啄[12,13稠]灌的對(duì)數(shù)正態(tài)分救布模型；和廚Hjotur袖Thrai牽nsson,止Anne鍋S.Kir聲emidji繡an聚[14,15軌]臥提出的候分布模型。借掙助于相位差譜師分布模型可以瀉實(shí)現(xiàn)對(duì)強(qiáng)震記揉錄非平穩(wěn)性的欠控制。隆事實(shí)上，如果村能夠找到相位榴差譜分布與相園位角之間的對(duì)焦應(yīng)關(guān)系，便可受以通過(guò)相位差賺譜分布模型，辱得初到援FOURIE岸R快相位譜模型。鵝本文的研究發(fā)著現(xiàn)了一種相位姥差頻數(shù)分布曲獻(xiàn)線與相位譜之粉間的映射關(guān)系代。利用本文建尸議方法合成的醉地震波能夠反歡映原始波形結(jié)擊構(gòu)的主要特征錫，從而解決了將以前隨機(jī)模型蠶方法合成的人珍工波無(wú)法與實(shí)螺際強(qiáng)震記錄對(duì)濕比驗(yàn)證的問(wèn)題楊，同時(shí)也為基集于樣本建模方擋法的隨機(jī)地震精動(dòng)模型研究鋪三平了道路。磨若離散相位譜錯(cuò)表示為速，則相位差譜木定義為么疤衣辜吹路（卻1合2樹(shù)）導(dǎo)其中，伙為頻率分量。登實(shí)際強(qiáng)震記錄瘦分析結(jié)果顯示粱，強(qiáng)震記錄的尚波形結(jié)構(gòu)與相閑位差的頻數(shù)分別布曲線存在某充種對(duì)應(yīng)關(guān)系，獨(dú)以數(shù)學(xué)模型表絨示出相位差的槐頻數(shù)分布曲線擇，間接地反映菠了地震記錄的污波形結(jié)構(gòu)。針遼對(duì)強(qiáng)震記錄相匠位差譜曲線的敗偏態(tài)單峰特性慶，可以對(duì)數(shù)正雞態(tài)分布模型作烘為相位差譜的鴨數(shù)學(xué)模型。頂圖倡4唉給出了一個(gè)強(qiáng)撇震記錄的波形羞結(jié)構(gòu)與相位差施譜頻數(shù)分布曲展線的對(duì)應(yīng)關(guān)系都。嶄圖岔5氣給出了頻數(shù)分轎布曲線的對(duì)數(shù)停正態(tài)分布函數(shù)叮圖形，可以看劈到對(duì)數(shù)正態(tài)模帶型很好的反映井了相位差譜的麗分布特征。圖4相位差譜頻數(shù)分布曲線與加速度時(shí)程曲線的相似關(guān)系Figure4RelationshipbetweenFOURIERphasedifferencespectrumfrequencycurveandrecordedaccelerogram圖5相位差譜模型與相位差分布直方圖的對(duì)比Figure5ModelfortheFOURIERphasedifferencespectrumfrequencyhistogram野如果能夠從相愚位差譜的頻數(shù)晉直方圖中得到柳與貍的映射關(guān)系，猶利用式表（美1演2雞）的相位差譜努定義，就能夠蛾得到相位譜屠與圖4相位差譜頻數(shù)分布曲線與加速度時(shí)程曲線的相似關(guān)系Figure4RelationshipbetweenFOURIERphasedifferencespectrumfrequencycurveandrecordedaccelerogram圖5相位差譜模型與相位差分布直方圖的對(duì)比Figure5ModelfortheFOURIERphasedifferencespectrumfrequencyhistogram飽婦崇沖返犬?dāng)?shù)藍(lán)（責(zé)1悟3孔）模為了使剩與迫的映射關(guān)系能從夠反映真實(shí)的癥相位差分布，麗本文提騰出森“火分段加密斑法躁”容建立升與敞的映射關(guān)系。因?qū)嶋H上相位差椒分布直方圖反根映地是相位差釘集合各離散點(diǎn)蓄值落在分段區(qū)烤間方內(nèi)的數(shù)量比例鈔。因此，只要傘將每一個(gè)小區(qū)癥間按縱軸坐標(biāo)矛給出的頻數(shù)進(jìn)樓一步比例細(xì)沖分尿,蓄使相位差譜與蚊相位譜之間建驅(qū)立起一種映射杏關(guān)系。舉例說(shuō)襲明，如果相位愈差譜在慕中出現(xiàn)的頻數(shù)繡為介1竊0例次，則可以將殺該區(qū)間細(xì)分為妥，這樣就保證臂了傾區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)園出現(xiàn)的次數(shù)評(píng)為挨1徑0晌次。如此就建勾立起了相位差膜譜與頻率的映夏射關(guān)系。這樣么建立的相位差合譜能夠滿(mǎn)足相吵位差譜頻數(shù)曲鏈線的要求，如羨果注意到強(qiáng)震鐘記錄波形是受隸到相位差譜頻栗數(shù)曲線控制的億，就能夠理爐解伏“裁分段加密劇法千”宏對(duì)于控制波形殲結(jié)構(gòu)的意義了誕。圖7原形記錄幅值譜和模型相位譜合成波形圖7原形記錄幅值譜和模型相位譜合成波形Figure7Synthesizedwavebyrecord’sFOURIERamplitudespectrumandmodeledFOURIERphasespectrum圖6典型強(qiáng)震記錄的原始波形Figure6Waveformofatypicalrecordedaccelerogram廟圖移6監(jiān)給出了一個(gè)典屋型強(qiáng)震記錄的鍛原始波形，外圖死7埋給出了一個(gè)呢以伯“可分段加密芽法察”注建立相位譜模業(yè)型并與實(shí)際強(qiáng)說(shuō)震記錄的幅值語(yǔ)譜相配合得到麗的人工波合成午結(jié)果。與原始騙波形對(duì)比，可考以看出本文方爛法能夠反映原住始波形結(jié)構(gòu)的蹤主要特征，如絲峰值加速度，紗波峰波谷的數(shù)倦量，以及相互漆之間排列的疏協(xié)密和相對(duì)位置龍。應(yīng)該注意這悟里采用了原始咸記錄得到的幅亭值譜，之所以承這樣做，是為窯了更好的驗(yàn)證甘由于相位譜模糠型帶來(lái)的差異眼，減少由于采歉用幅值譜模型既所帶來(lái)的差異榜。5.結(jié)論瘡膜針對(duì)地震地面肝運(yùn)動(dòng)加速度時(shí)粥程曲線數(shù)學(xué)描蜘述上的復(fù)雜性萌，建立了地震喪動(dòng)的頻域研究媽模型。包括如閥下幾方面的工物作：謊而1墾）針對(duì)地面運(yùn)咐動(dòng)加速度時(shí)程載在時(shí)域直接建貧模存在困難的閥難題，提出建蛛立頻域地震動(dòng)繞模型的建模方梨法，地震動(dòng)的郊頻域模型昏由完FOURIE炭R廁幅值譜模型覆和赴FOURIE件R襲相位譜模型組貿(mào)成。基于地震撲動(dòng)的頻域模型晴，可以利用逆這傅立葉變換方發(fā)法給出人工合付成地震動(dòng)。集2妖）進(jìn)一步論證帽了基于理論物預(yù)理關(guān)系粒的升FOURIE曲R頑幅值譜模型。貓利用相位差譜橫頻數(shù)分布與地客面運(yùn)動(dòng)加速度滲時(shí)程波形結(jié)構(gòu)今的相似性，建嶺立了基于經(jīng)驗(yàn)邀物理關(guān)系熊的等FOURIE材R愁相位譜模型。鳳以船“喬分段加密周法把”根給出了相位差本譜與頻率之間敬的映射關(guān)系，甲由此得到的確曲定性的相位譜壁能夠滿(mǎn)足給定略的相位差譜頻么數(shù)分布關(guān)系。邪以相位譜模型材合成人工波與般實(shí)際強(qiáng)震記錄搬對(duì)比結(jié)果顯示煌，基本實(shí)現(xiàn)了溉對(duì)原始波形結(jié)招構(gòu)的重現(xiàn)。件綜上所述，本漆文初步給出了豬地震動(dòng)頻域模植型研究的基本皺方法和研究框吼架，利用本文油方法建立基于桐物理的隨機(jī)地盼震動(dòng)模型的研約究將另文介紹績(jī)。參考文獻(xiàn)姑[1]R.絮R.Yo消ungs,料M.S.企Power,刊C.C.斷Chin.類(lèi)插DESIGN乳GROUN稅DMOTI拔ONLIB桂RARY.奔Procee菜dings淺ofthe煙8治th絮德U.S.枕Natio只nalCo屆nferen摧ceon茂Earthq蓋uakeE旗nginee荷ring[帳C].Ap婚ril18臨-22,20備06,污SanFr低ancisc置o踢,專(zhuān)Califo令rnia鑒,田USA裝,Pape纖rNo.8衣93料[2]J.惠A.Wa愿tson-L舉amprey料,N.A叉.Abra吹hamson猴.瀉BIASC少AUSED昏BYUSE棍OFSP燙ECTRUM挽COMPA體TIBLE掠MOTION趕S.Pro睡ceedin寒gsof臉the8糟th另晉U.S.霧Natio堵nalCo洽nferen佛ceon倡Earthq掙uakeE柱nginee豆ring[榆C].Ap礙ril18句-22,20旋06,五SanFr盲ancisc幣o戚,屑Califo竹rnia然,土USA篩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