晶體結(jié)構(gòu)對(duì)稱性倒空間第1頁(yè)/共46頁(yè)第1講晶體結(jié)構(gòu)

1CrystalsStructure晶體結(jié)構(gòu)CrystalStructure晶列、晶面CrystalsArrayandPlane對(duì)稱性Symmetry倒易空間ReciprocalSpace第2頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU群的定義假設(shè)G是由一些元素組成的集合，即G={…，g，…}。在G中定義了一種二元合成規(guī)則(操作、運(yùn)算，群的乘法)。如果G對(duì)這種合成規(guī)則滿足以下四個(gè)條件：

a)封閉性：G中任意兩個(gè)元素的乘積仍然屬于G。b)結(jié)合律：c)單位元素。集合G中存在一個(gè)單位元素e，對(duì)任意元素，d)可逆性。對(duì)任意元素，存在逆元素，使

則稱集合G為一個(gè)群。第3頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU晶體對(duì)稱性對(duì)稱性：若一個(gè)物體（或晶體圖形）當(dāng)對(duì)其施行某種規(guī)律的動(dòng)作以后，它仍然能夠恢復(fù)原狀（即其中點(diǎn)、線、面都與原始的點(diǎn)、線、面完全重合）時(shí)，就把該物體（圖形）所具有的這種特性稱之為“對(duì)稱性”。對(duì)稱變換（對(duì)稱操作）：借助某種幾何要素，能使物體（或?qū)ΨQ圖形）恢復(fù)原狀所施行的某種規(guī)律的動(dòng)作，就稱為“對(duì)稱變換”。對(duì)稱要素（對(duì)稱元素）：對(duì)物體（或圖形）進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)所借以參考的幾何要素，稱為“對(duì)稱要素”。第4頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU晶體對(duì)稱操作1.旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性(RotationalSymmetry)和對(duì)稱操作：晶格圍繞一固定軸(二維：通過(guò)格點(diǎn)而且垂直平面；三維：晶向(Direction))轉(zhuǎn)動(dòng)角度或以后，晶格保持不變。3.反映(symmetryplane)和對(duì)稱操作：晶格對(duì)一晶面(LatticePlane)反射(二維：對(duì)通過(guò)格點(diǎn)的線進(jìn)行反射)，晶格不變。2.有限的平移對(duì)稱性(Translationalsymmetry)：有限制的平移對(duì)稱操作是指平移任意的分立的矢量(discretizedvectors)Rl=l1al+l2a2+l3a3。4.反演（centerofsymmetry）和對(duì)稱操作：為一假想的幾何點(diǎn)，相應(yīng)的對(duì)稱變換是對(duì)于這個(gè)點(diǎn)的倒反。第I類對(duì)稱操作：保持手性不變，包括旋轉(zhuǎn)和平移及其組合，這里操作可在實(shí)踐上付諸實(shí)施。第II類對(duì)稱操作：手性變化，包含奇數(shù)次反映或反演，在分子重組的化學(xué)過(guò)程中可能完成，在實(shí)踐上不一定付諸實(shí)施。第5頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUABDCE：基轉(zhuǎn)角；：對(duì)稱軸的軸次1.對(duì)稱軸晶體對(duì)稱定律（lawofcrystalsymmetry）：在晶體中，只可能出現(xiàn)軸次為1、2、3、4和6次的對(duì)稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對(duì)稱軸。國(guó)際符號(hào)：1，2，3，4，6第6頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU對(duì)稱軸所構(gòu)成的對(duì)稱配置投影符號(hào)：對(duì)稱軸圖示8二次軸單斜9三次軸10四次軸11六次軸C1(1)C2(2)C3(3)C4(4)C6(6)第7頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU對(duì)稱面(II類)反映（symmetryplane）：一假想的平面，稱為反映面或鏡面。反映操作是從空間某一點(diǎn)向反映面引垂線，并延長(zhǎng)該垂線到反映面的另一側(cè)，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得到反映面等距國(guó)際符號(hào)：m第8頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU對(duì)稱中心(II類)7對(duì)稱中心反演（centerofsymmetry,符號(hào)C）：為一假想的幾何點(diǎn)，相應(yīng)的對(duì)稱變換是對(duì)于這個(gè)點(diǎn)的倒反。(r-r)，國(guó)際符號(hào)：第9頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU旋轉(zhuǎn)-反演旋轉(zhuǎn)-反演（Axisofinversion）：其對(duì)稱操作是先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻再進(jìn)行反演操作，這樣的復(fù)合操作稱為記為I類點(diǎn)操作和II點(diǎn)操作組合的復(fù)合操作，每一個(gè)操作本身不一定是對(duì)稱操作。簡(jiǎn)稱為倒反第10頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU旋轉(zhuǎn)-反映旋轉(zhuǎn)反映

n/m，包括繞對(duì)稱軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°/n，接著作垂直反射。旋轉(zhuǎn)-反映等效于旋轉(zhuǎn)-反演，不能提供新的操作

所以新的晶體學(xué)國(guó)際表中只用旋轉(zhuǎn)-反演第11頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU32種點(diǎn)群分布國(guó)際符號(hào)/Hermann-Mauguin符號(hào)http://metafysica.nl/derivation_32.html

以特征方向的對(duì)稱性來(lái)表示晶系第一位第二位第三位點(diǎn)群可能對(duì)稱元素方向可能對(duì)稱元素方向可能對(duì)稱元素方向三斜1,`1任意無(wú)無(wú)1,`1單斜2,m,2/mY無(wú)無(wú)2,m,2/m正交2，mX2，mY2，mZ222,mm2,mmm四方4,`4,4/mZ無(wú)，2，mX無(wú)，2，m底對(duì)角線4,`4,4/m，422，4mm,`42m,4/mmm三方3,`3Z無(wú)，2，mX無(wú)3,`3,32,3m,`3m六方6,`6,6/mZ無(wú)，2，mX無(wú)，2，m底對(duì)角線6,`6,6/m,622,6mm,`62m,6/mmm立方2,m,4,`4X3,`3體對(duì)角線無(wú)，2，m面對(duì)角線23,m3,432,`43m,m`3m第12頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU晶系(Thesevencrystalsystems)晶系特征對(duì)稱元素三斜反演中心單斜唯一的2次軸或鏡面正交三個(gè)相互垂直的2次旋轉(zhuǎn)軸或反軸。三方唯一的3次旋轉(zhuǎn)軸或反軸。四方唯一的4次旋轉(zhuǎn)軸或反軸。六方唯一的6次旋轉(zhuǎn)軸或反軸。立方沿晶胞體對(duì)角線的四個(gè)3次旋轉(zhuǎn)軸或反軸晶系：按照晶胞的特征對(duì)稱元素可以分成7個(gè)不同類型，稱為晶系。其晶格參數(shù)也具有不同的特征第13頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU1)簡(jiǎn)單三斜(Triclinic)所屬點(diǎn)群(P)14種Bravais空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣按點(diǎn)群對(duì)稱性和帶心的模式一共可以產(chǎn)生14種型式，稱為14種Bravais點(diǎn)陣或Bravais格子，Bravais點(diǎn)陣表示出所屬空間群的平移子群。每種晶系最多可構(gòu)成5種空間點(diǎn)陣，1．簡(jiǎn)單點(diǎn)陣（P）2．底心點(diǎn)陣（Ａ,Ｂ,C）(0.5,0.5,0),(0,0.5,0.5)或(0.5,0,0.5)3．面心點(diǎn)陣（F）(0.5,0,0),(0,0.5,0)和(0,0,0.5)4．體心點(diǎn)陣（I）(0.5,0.5,0.5)5.菱形點(diǎn)（R）(2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,2/3)第14頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU單斜（Monoclinic）2)簡(jiǎn)單單斜（P）3)底心單斜（C）第15頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU正交（Orthorhombic）4)簡(jiǎn)單正交（P）5)底心正交（C）6)體心正交（I）7)面心正交（F）第16頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU三角（Trigonal）8)三角（R,P）第17頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU四方（Tetragonal）9)簡(jiǎn)單四方（P）10)體心四方（I）第18頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU六角（Hexagonal）11)六角（P）第19頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU立方（Cubic）12)簡(jiǎn)單立方（P）13)體心立方（I）14)面心立方（F）第20頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU14種Bravais格子1.簡(jiǎn)單三斜（P）2.簡(jiǎn)單單斜（P）3.底心單斜（C）4.簡(jiǎn)單正交（P）5.底心正交（C）6.體心正交（I）7.面心正交（F）8.六角（P）9.三角（R）10.簡(jiǎn)單四角（P）11.體心四角（I）12.簡(jiǎn)立方（P）13.體心立方（b）14.面心立方（F）第21頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU230種空間群spacegroups230空間群符號(hào)=Bravais點(diǎn)陣類型符號(hào)

+點(diǎn)群對(duì)稱元素空間群：由點(diǎn)群對(duì)稱操作和平移對(duì)稱操作組合而成；由32晶體學(xué)點(diǎn)群與14個(gè)Bravais點(diǎn)陣組合而成；空間群是一個(gè)單胞（包含單胞帶心）的平移對(duì)稱操作；反射、旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)反演等點(diǎn)群對(duì)稱性操作、以及螺旋軸和滑移面對(duì)稱性操作的組合。晶體學(xué)中的空間群是三維周期性物體(晶體)變換成它自身的對(duì)稱操作(平移，點(diǎn)操作以及這兩者的組合)的集合。一共有230種空間群。

每種空間群唯一的對(duì)應(yīng)一種晶體結(jié)構(gòu)。自然界的晶體結(jié)構(gòu)只能有230種。第22頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU對(duì)稱操作——一個(gè)物體在某一個(gè)正交變換下保持不變——物體的對(duì)稱操作越多，其對(duì)稱性越高1立方體的對(duì)稱操作（Pm3m）1)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)——9個(gè)對(duì)稱操作立方體的對(duì)稱操作第23頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU2)繞6條面對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)p——共有6個(gè)對(duì)稱操作3)繞4個(gè)立方體對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)——8個(gè)對(duì)稱操作4)

恒等變換——1個(gè)對(duì)稱操作立方體的對(duì)稱操作5)以上24個(gè)對(duì)稱操作加中心反演仍是對(duì)稱操作——立方體的對(duì)稱操作共有48個(gè)12立方113立方2第24頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU正四面體的對(duì)稱操作——金剛石晶格（Fd3m）四個(gè)原子位于正四面體的四個(gè)頂角上，正四面體的對(duì)稱操作包含在立方體操作之中

1)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)p——共有3個(gè)對(duì)稱操作Diamond第25頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU2)繞4個(gè)立方體對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)——8個(gè)對(duì)稱操作3)

恒等變換——1個(gè)對(duì)稱操作正四面體的對(duì)稱操作4)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)p/2，3p/2

加中心反演

——6個(gè)對(duì)稱操作5)繞6條面對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)p

加中心反演——6個(gè)對(duì)稱操作正四面體對(duì)稱操作共有24個(gè)第26頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU幾種常見(jiàn)晶體結(jié)構(gòu)空間群：Pm3mBravais格子：簡(jiǎn)單立方原子及位置：Cs（0，0，0）

Cl（0.5，0.5，0.5）或互換立方鈣鈦礦（cubicpervoskite）空間群：Pm3mBravais格子：簡(jiǎn)單立方原子及位置：Ba（0，0，0）

Ti（0.5，0.5，0.5）O（0，0.5，0.5）（0.5，0，0.5）（0.5，0.5，0）第27頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU幾種常見(jiàn)晶體結(jié)構(gòu)空間群：Fm3mBravais格子：面心立方原子及位置：Na（0，0，0）

Cl（0.5，0.5，0.5）或互換其他原子的位置？空間群：Fd3mBravais格子：面心立方原子及位置：C（0，0，0）

C（0.25，0.25，0.25）其他原子的位置？第28頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)＝結(jié)構(gòu)單元＋空間點(diǎn)陣體現(xiàn)了對(duì)稱性與周期性第29頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU晶體的周期性晶格具有周期性，一些物理量具有周期性考慮體系足夠大（大于微米量級(jí)），表面效應(yīng)不重要，勢(shì)能函數(shù)其中Rl為Bravaise格子的格矢對(duì)于晶體來(lái)說(shuō)，其他的一些性質(zhì)，如質(zhì)量密度，電子云密度，勢(shì)場(chǎng)等，均可寫(xiě)作周期函數(shù)將F(r)展成傅里葉級(jí)數(shù)其中系數(shù)其中Ω為原胞體積第30頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU倒格子對(duì)于Bravais格子所有格矢做代換r'=r+Rl即：定義1：對(duì)于Bravais格子中所有格矢Rl，滿足全部Gh集合，構(gòu)成該正格子（Directlattice）的倒格子（Reciprocallattice）將F(r)展成其中Gh對(duì)所有倒格子求和第31頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU倒易空間Bravais格子中有由倒格子定義知：，m為整數(shù)可以把倒格矢寫(xiě)成，hi為整數(shù)，且定義2：倒格子基矢b1垂直與a2，a3，寫(xiě)作由定義可求出系數(shù)Ω為原胞體積對(duì)任意l1，l2，l3

要求第32頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU倒易空間定義3：倒格子基矢倒格子原胞體積說(shuō)明倒格子和正格子是互為倒易的，正格子的基矢也可以通過(guò)倒格子的基矢來(lái)定義物理量的表示在正格子和倒格子的表示之間存在傅里葉變換，二者是等效的。第33頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU例寫(xiě)出簡(jiǎn)單立方(SC)的倒格子基矢簡(jiǎn)單立方的基矢原胞的體積倒格子基矢倒格子舉例例寫(xiě)出體心立方(bcc)的倒格子基矢體心立方的基矢原胞的體積倒格子基矢第34頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU倒格子舉例例寫(xiě)出面心立方(fcc)的倒格子基矢面心立方的基矢原胞的體積倒格子基矢面心立方的倒格子是體心立方，體心立方的倒格子是面心立方第35頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUGhkl與垂直，同樣可證與垂直，即與平面垂直倒格矢與晶面倒格矢垂直于millar指數(shù)為的晶面AB為正格子晶面上的矢量OABCa1a2a3第36頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU倒格矢與晶面倒格矢的長(zhǎng)度為，dhkl為面間距OABCa1a2a3nMOM垂直于ABC面，OM方向上的單位矢量為Miller指數(shù)(hkl)的幾何意義：晶面(hkl)的法向量為同一晶格的正格子和倒格子有相同的點(diǎn)群對(duì)稱性第37頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU倒格子畫(huà)法一個(gè)晶體結(jié)構(gòu)有兩個(gè)格子，一個(gè)是正格，另一個(gè)為倒格，由正格子和倒格子的關(guān)系可以畫(huà)出任意晶格的倒格子正格子基矢：a1,a2,a3；倒格子基矢：b1,b2,b3正格子位矢倒格子位矢倒格子方向和大小一個(gè)倒格矢是和正格原胞中一組晶面相對(duì)應(yīng)的，它的方向是該晶面的法線方向，它的大小為該晶面族面間距倒數(shù)的2p倍。第38頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNULaue衍射條件入射波和散射波波矢k和k’，兩個(gè)原子散射束的光程差為發(fā)生衍射條件由倒格子定義知對(duì)應(yīng)于倒格子，即——Laue衍射方程。倒空間又叫波矢空間，動(dòng)量空間第39頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUBrillouin區(qū)Laue方程改寫(xiě)成平方并化簡(jiǎn)得到或Brillouin區(qū)邊界方程入射波k在倒格矢Gh方向的投影為Gh的一半，即k的端點(diǎn)落在Gh的垂直平分面上，——Bragg面由Bragg面圍成的區(qū)域稱為Brillouin區(qū)第40頁(yè)/共46頁(yè)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUBrillouin區(qū)定義：以某一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做所有倒格點(diǎn)的位矢Gh的垂直平分面，這些平分面把倒空間分成若干部分，第一Brillouin區(qū)是不跨過(guò)任何垂直平分面的區(qū)域（倒空間中的Wigner-S