本文格式為Word版，下載可任意編輯——中高難度環(huán)形跑道奧數(shù)例題精講

(2023年第十三屆“華杯賽〞決賽)

甲、乙兩人沿一個(gè)周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道勻速前進(jìn)，甲行走一圈需4分鐘，乙行走一圈需7分鐘，他們同時(shí)同地同向出發(fā)，甲走完10圈后，改為反向行走，出發(fā)后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇時(shí)，兩人都擊掌示意．問(wèn)：當(dāng)兩人第15次擊掌時(shí)，甲共走了多少時(shí)間？乙走了多少路程？

A甲乙BC5［分析］甲走10圈時(shí)，共用了10?4?40分鐘，這段時(shí)間乙行程40?7?5圈，每當(dāng)甲比乙

72多走1圈時(shí)，甲便追上乙一次，所以甲走完10圈時(shí)，比乙多走了4圈，兩人共擊

72掌4次，此時(shí)，甲、乙兩人相距圈；

72?11?8甲反向行走后，經(jīng)過(guò)?????分鐘，兩人第一次相遇，以后兩人總行程每增

7?47?11?11?28加1圈，便出現(xiàn)一次相遇，即相遇事件發(fā)生的時(shí)間間隔為1?????分鐘，經(jīng)

4711??285852過(guò)?10?25分鐘，兩人最終一次相遇，此時(shí)甲一共走了40??25?66111111111124009分鐘，乙走了66??3781米．

11711

［拓展］繞湖的一周是22千米，甲、乙二人從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)反向而行，甲以4千米／

小時(shí)的速度每走1小時(shí)后休息5分鐘，乙以6千米／小時(shí)的速度每走50分鐘后休息10分鐘，則兩人從出發(fā)到第一次相遇用多少分鐘？

200［分析］甲的速度為4千米／小時(shí)?米／分鐘，

3乙的速度為6千米／小時(shí)?100米／分鐘．

根據(jù)題意可知：甲、乙出發(fā)2小時(shí)10分鐘，甲行4?2?8(千米)，乙行了100?50?2?100?10?11000米?11千米．

?200??100??18(分鐘)還剩下22??8?11??3千米?3000米．需行駛3000???3?所以相遇時(shí)間有148分鐘．

［拓展］如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)AD與寬AB的比為5:3，E、F為AB邊上的三等分點(diǎn)，某時(shí)

刻，甲從A點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方形逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，乙、丙分別從E、F出發(fā)沿長(zhǎng)方形順時(shí)針運(yùn)動(dòng)．甲、乙、丙三人的速度比為4:3:5．他們出發(fā)后12分鐘，三人所在位置的點(diǎn)的連線第一次構(gòu)成長(zhǎng)方形中最大的三角形，那么再過(guò)多少分鐘，三人所在位置的點(diǎn)的連線其次次構(gòu)成最大三角形？

［分析］長(zhǎng)方形內(nèi)最大的三角形等于長(zhǎng)方形面積的一半，這樣的三角形一定有一條邊與長(zhǎng)方

形的某條邊重合，并且另一個(gè)點(diǎn)恰好在該長(zhǎng)方形邊的對(duì)邊上．所以我們只要探討三個(gè)人中有兩個(gè)人在長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)上的狀況．

將長(zhǎng)方形的寬3等分，長(zhǎng)5等分后，將長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)分割成16段，設(shè)甲走4段所用的時(shí)間為1個(gè)單位時(shí)間，那么一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，乙、丙分別走3段、5段，由于4、3、5兩兩互質(zhì)，所以在非整數(shù)單位時(shí)間的時(shí)候，甲、乙、丙三人最多也只能有1個(gè)人走了整數(shù)段．所以我們只要考慮在整數(shù)單位時(shí)間，三個(gè)人運(yùn)到到頂點(diǎn)的狀況．

對(duì)于甲的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行探討：681016時(shí)間(單位時(shí)間)2……41214CCCCC地點(diǎn)AAA對(duì)于乙的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行探討：31018192627時(shí)間(單位時(shí)間)2……11CC地點(diǎn)BABADD對(duì)于丙的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行探討：31018192627時(shí)間(單位時(shí)間)2……11CC地點(diǎn)BABADD需要檢驗(yàn)的時(shí)間點(diǎn)有2、3、10、11、……2個(gè)單位時(shí)間的時(shí)候甲和丙重合無(wú)法滿足條件．

3個(gè)單位時(shí)間的時(shí)候甲在AD上，三人第一次構(gòu)成最大三角形．所以一個(gè)單位時(shí)間相

當(dāng)于4分鐘．

10個(gè)單位時(shí)間的時(shí)候甲、乙、丙分別在C、B、A的位置其次次構(gòu)成最大三角形．所以再過(guò)40分鐘．三人所在位置的點(diǎn)的連線其次次構(gòu)成最大三角形？

有一正方形，邊長(zhǎng)12厘米，甲、乙、丙三只螞蟻從正方形的同一頂點(diǎn)沿正方形的

邊同時(shí)同向出發(fā)．三只螞蟻爬行的速度分別是：甲為每秒0.96厘米，乙為每秒0.81厘米，丙為每秒0.72厘米．問(wèn)：出發(fā)幾秒鐘后甲開始同時(shí)看見(jiàn)乙和丙的后背？12?(0.96?0.81)?80(秒)，即甲爬行80秒可以比乙多爬一個(gè)邊長(zhǎng)；

12?(0.96?0.72)?50(秒)，即甲爬行50秒可以比丙多爬一個(gè)邊長(zhǎng)．

若使甲能同時(shí)看見(jiàn)乙和丙的后背，則甲與乙、丙必需在同一條邊上，所以甲比乙和丙多爬的距離在(4k?3)個(gè)邊長(zhǎng)和(4k?4)個(gè)邊長(zhǎng)之間．那么，甲比乙多爬的距離為3個(gè)邊長(zhǎng)和4個(gè)邊長(zhǎng)之間、7個(gè)邊長(zhǎng)和8個(gè)邊長(zhǎng)之間……根據(jù)前面的計(jì)算，甲可能看見(jiàn)乙的后背的時(shí)間段可能是240秒到320秒之間、560秒到640秒之間、880秒到960秒之間……

同理，甲可能看見(jiàn)丙的后背的時(shí)間段可能是150秒到200秒之間、350秒到400秒之間、550秒到600秒之間……選取其中公共的時(shí)間段，即560秒到600秒之間．在560秒時(shí)，甲與乙的距離為1個(gè)邊長(zhǎng)，則甲只有在正方形的某個(gè)頂點(diǎn)處才能看見(jiàn)乙的后背，否則必需爬到下一個(gè)頂點(diǎn)處才能看到乙的后背．甲爬一個(gè)邊長(zhǎng)需要12?0.96?12.5秒，而12.5?45?562.5秒，所以當(dāng)甲爬了562.5秒時(shí)，甲恰好到達(dá)正方形的頂點(diǎn)處，這時(shí)才開始同時(shí)看見(jiàn)乙和丙的后背．

［拓展］(2023年第九屆“華杯賽〞總決賽試題)

正方形跑道ABCD．甲、乙、丙三人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)同向跑步，他們的速度分別

為每秒5米、4米、3米．若干時(shí)間后，甲首次開始看到乙和丙都與自己在正方形的同一條邊上，且他們?cè)谧约旱那胺剑撕髸r(shí)算起，又經(jīng)過(guò)21秒，甲、乙、丙三人處在跑道的同一位置，這是出發(fā)后三人第一次處在同一位置．求正方形周長(zhǎng)的所有可能值．

［分析］設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a米．a(chǎn)??5?4??a，所以甲跑a秒可以比乙多跑一個(gè)邊長(zhǎng)；

a??5?3??0.5a，甲跑0.5a秒可以比丙多跑一個(gè)邊長(zhǎng)．

若使甲能同時(shí)看見(jiàn)乙和丙，且他們?cè)谧约旱那胺?，則甲比乙和丙多跑的距離在4k?3個(gè)邊長(zhǎng)和4k?4個(gè)邊長(zhǎng)之間．根據(jù)前面的計(jì)算，甲可能看見(jiàn)乙的后背的時(shí)間段可能是3a秒到4a秒之間，7a秒到8a秒之間……甲可能看見(jiàn)丙的后背的時(shí)間段可能是1.5a秒到2a秒之間，3.5a秒到4a秒之間……選取其中公共的時(shí)間段，即3.5a秒到4a秒之間．

在3.5a秒時(shí)，甲只有在正方形的某個(gè)頂點(diǎn)處才能看見(jiàn)丙的后背，否則必需跑到下一個(gè)頂點(diǎn)處才能看到丙的后背．甲跑一個(gè)邊長(zhǎng)需要a?5?0.2a秒，而0.2a?1?83.a秒，所以當(dāng)甲跑了63.6a秒時(shí)，才開始同時(shí)看見(jiàn)乙和丙的后背．4a??5?4??4a，所以經(jīng)過(guò)4a秒后甲第一次追上乙，此時(shí)甲、乙、丙分別跑了5圈、4圈、3圈，所以這也是出發(fā)后三人第一次處在同一位置．所以4a?3.6a?21，即a?52.5．

52.5?4?210(米)，所以正方形的周長(zhǎng)應(yīng)為210米．

［拓展］在正三角形ABC中，D是邊AB上的一點(diǎn)，且DA:DB?7:8，學(xué)學(xué)和思思兩人在

三角形邊上分別勻速行走．學(xué)學(xué)從A點(diǎn)開始沿A?B?C?A?的方向走，思思從B點(diǎn)開始沿B?A?C?B?的方向走．已知兩人第一次相遇恰好是在D點(diǎn)，且兩人第一次在線段BD(不含端點(diǎn))上相遇時(shí)，相遇點(diǎn)距B點(diǎn)24米．則AB的長(zhǎng)度等于________米．

由于兩人第一次相遇恰好在D點(diǎn)，此時(shí)學(xué)學(xué)和思思所走的路程分別為AD和BD，

根據(jù)“時(shí)間一致，速度比等于路程的比〞，可得學(xué)學(xué)和思思的速度比為AD:BD?7:8．設(shè)每邊長(zhǎng)為15個(gè)單位．設(shè)第x次相遇時(shí)是兩人第一次在線段BD(不含端點(diǎn))上相遇，由于第一次相遇以后，兩人每合走一個(gè)周長(zhǎng)就相遇一次，則此時(shí)兩人共走(x?1)個(gè)周長(zhǎng)加

1

條邊，即45?x?1??15?45x?30，其中學(xué)學(xué)走了

7?21x?14．7?8要想在線段BD上相遇，則21x?14除以45的余數(shù)應(yīng)大于7，小于15．由于21x?14?21x?15?1，被3除余1，所以被45除只能余10或13．假使21x?14?10(mod45)，則21x?24(mod45)，7x?8(mod15)，x?14(mod15)；假使21x?14?13(mod45)，則21x?27(mod45)，7x?9(mod15)，x?12(mod15)．所以，兩人第12次相遇是第一次在線段BD(不含端點(diǎn))上相遇，被45除余13也就是說(shuō)距離B點(diǎn)2個(gè)單位，所以1個(gè)單位是12米，邊長(zhǎng)為15個(gè)單位，也就是180米．

另解：同上可得到學(xué)學(xué)和思思的速度比為AD:BD?7:8．

當(dāng)兩人第一次在線段BD(不含端點(diǎn))上相遇時(shí)，根據(jù)兩人行走的方向，思思一定是經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后走到相遇點(diǎn)的，學(xué)學(xué)一定是經(jīng)過(guò)A點(diǎn)后走到相遇點(diǎn)的．考慮思思在這次相遇前走到B點(diǎn)時(shí)學(xué)學(xué)所處的位置，假使學(xué)學(xué)當(dāng)時(shí)在A點(diǎn)，兩人將再次相遇在D點(diǎn)，不合題意；假使此時(shí)學(xué)學(xué)不在AB邊上，兩人更不可能在線段BD(不含端點(diǎn))上相遇；只有當(dāng)學(xué)學(xué)此時(shí)在AB邊上且不在兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，兩人將必然在線段BD(不含端點(diǎn))上相遇．所以當(dāng)思思走了整數(shù)圈，學(xué)學(xué)走的路程超過(guò)某個(gè)整數(shù)圈，又小于

1這個(gè)整數(shù)圈再加上圈時(shí)，兩人再向前走將必然在線段BD(不含端點(diǎn))上相遇．

3771假設(shè)此時(shí)思思走了m圈，根據(jù)速度比，學(xué)學(xué)走了m圈，則有n?m?n?(n為

838?45x?30??1111整數(shù))，即n?m?m?n?，故m?n??m?m?n，由于是第一次在線段BD83381121(不含端點(diǎn))上相遇，由于m?n?1，則m?m?n??，得m?5，那么m的

8333最小值為6．

711當(dāng)m?6時(shí)，思思走了6圈到B點(diǎn)，學(xué)學(xué)走了?6?5圈，即走了5圈后又走了

84431圈，此時(shí)走到AB邊的處，距離B點(diǎn)則為AB的，兩人相向而行直至相遇，思

448182思走了其中的，所以AB的??即為24米，那么AB邊的長(zhǎng)度為

1541515224??180(米)．

15（★★★）在一圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過(guò)4分甲到達(dá)B點(diǎn)，又過(guò)8分兩人再次相遇。甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？20分，30分。

解：由題意知，甲行4分相當(dāng)于乙行6分。（抓住走同一段路程時(shí)間或速度的比例關(guān)系）

從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行12分，而乙行12分相當(dāng)于甲行8分，所以甲環(huán)行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）。

（★★★）如右圖，A，B是圓的直徑的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇，在D點(diǎn)其次次相遇。已知C離A有80米，D離B有60米，求這個(gè)圓的周長(zhǎng)。

根據(jù)總結(jié)可知，其次次相遇時(shí)，乙一共走了80×3=240米，兩人的總路程和為一周半，又甲所走路程比一周少60米，說(shuō)明乙的路程比半周多60米，那么圓形場(chǎng)地的半周長(zhǎng)為240-60=180米，周長(zhǎng)為180×2=360米。

（★★★★）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上進(jìn)行10000米長(zhǎng)跑比賽，兩人從同一起跑線同時(shí)起跑，甲每分跑400米，乙每分跑360米，當(dāng)甲比乙領(lǐng)先整整一圈時(shí)，兩人同時(shí)加速，乙的速度比原來(lái)快

1，甲每分比原來(lái)多跑18米，并且都以這樣的速度4保持到終點(diǎn)。問(wèn)：甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)？

第九屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽應(yīng)用題第3題

從起跑到甲比乙領(lǐng)先一圈，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為400÷（400－360）＝10（分），

1474209（分）甲到達(dá)終點(diǎn)還需跑（1000－400×10）÷（400＋18）＝，

1142乙還需要（1000－360×10）÷［360×（1＋4）］＝9（分）

742由于9＜209，所以乙先到達(dá)終點(diǎn)。

（★★★）右圖中，外圓周長(zhǎng)40厘米，畫陰影部分是個(gè)“逗號(hào)〞，兩只螞蟻分別從A，B同時(shí)爬行。甲螞蟻從A出發(fā)，沿“逗號(hào)〞四周順時(shí)針爬行，每秒爬3厘米；乙螞蟻從B出發(fā)，沿外圓圓周順時(shí)針爬行，每秒爬行5厘米。兩只螞蟻第一次相遇時(shí)，乙螞蟻共爬行了多少米？

1.5米。“逗號(hào)〞的周長(zhǎng)與外圓的周長(zhǎng)相等，都是40厘米。乙比甲多爬20厘米需20÷（5－3）＝10（秒），此時(shí)甲爬了30厘米，位于圓內(nèi)的弧線上，而乙位于外圓周上，兩只螞蟻沒(méi)有相遇。乙比甲多爬60厘米需60÷（5－3）＝30（秒），此時(shí)兩只螞蟻都在外圓周上，是第一次相遇，乙爬了5×30＝150（厘米）。

（★★★）小張和小王各以一定速度，在周長(zhǎng)為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.

（1）小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？（2）小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？（1）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來(lái)跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程.小張的速度是500÷1.25-180=220（米/分）.

（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個(gè)周長(zhǎng)），因此需要的時(shí)間是

500÷（220-180）＝12.5（分）.220×12.5÷500＝5.5（圈）.

答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.

甲、乙、丙三人沿湖邊一固定點(diǎn)出發(fā)，甲按順時(shí)針?lè)较蜃?，乙與丙按逆時(shí)針?lè)较?/p>

走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再過(guò)3分45秒其次次遇到乙．已知甲、乙的速度比是3:2，湖的周長(zhǎng)是600米，求丙的速度．

13甲第一次遇見(jiàn)乙后1分鐘遇到丙，再過(guò)3分其次次遇到乙，所以甲、乙經(jīng)過(guò)

44131?3?5分鐘的時(shí)間合走了一圈，甲、乙的速度和為600?5?120米/分，甲的442??速度為120??1???72米/分．甲、乙合走一圈需要5分鐘，而甲第一次遇見(jiàn)乙后

3??1111分鐘遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要5?1?6分鐘，甲、丙的速度和為4441600?6?96米/分，從而丙的速度為96?72?24米/分．

4甲、乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)A出發(fā)，沿周長(zhǎng)6千米的圓形跑道以相反的方向行駛．甲車每小時(shí)行駛65千米，乙車每小時(shí)行駛55千米．一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離A點(diǎn)有多少環(huán)形線路

米？(每一次甲車追上乙車也看作一次相遇)

6?(65?55)?0.05小時(shí)，第一次是一個(gè)相遇過(guò)程，相遇時(shí)間為：相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)：

55?0.05?2.75千米．6?(65?55)?0.6然后乙車調(diào)頭，成為追及過(guò)程，追及時(shí)間為：

小時(shí)，乙車在此過(guò)程中走的路程為：55?0.6?33千米，即5圈又3千米，那么這時(shí)距離A點(diǎn)3?2.75?0.25千米．

此時(shí)甲車調(diào)頭，又成為相遇過(guò)程，同樣方法可計(jì)算出相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)0.25?2.75?3千米，然后乙車掉頭，成為追及過(guò)程，根據(jù)上面的計(jì)算，乙車又要走5圈又3千米，所以此時(shí)兩車又重新回到了A點(diǎn)，并且行駛的方向與最開始一致．

所以，每4次相遇為一個(gè)周期，而11?4?2?3，所以第11次相遇的地點(diǎn)與第3

次相遇的地點(diǎn)是一致的，與A點(diǎn)的距離是3000米．

［拓展］如下圖，甲、乙兩人從長(zhǎng)為400米的圓形跑道的A點(diǎn)背向出發(fā)跑步．跑道右半

部分(粗線部分)道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒4米．兩人一直跑下去，問(wèn)：他們第99次迎面相遇的地方距A點(diǎn)還有米．

A

［分析］此題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都一致，可以發(fā)現(xiàn)，假使

甲、乙各自圍著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時(shí)間分別一致，那么兩人所用的總時(shí)間也就一致，所以，兩人同時(shí)出發(fā)，跑一圈后同時(shí)回到A點(diǎn)，即兩人在A點(diǎn)迎面相遇，然后再?gòu)腁點(diǎn)出發(fā)背向而行，可以發(fā)現(xiàn)，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期．在第一個(gè)周期內(nèi)，兩人同時(shí)出發(fā)背行而行，所以在回到出發(fā)點(diǎn)前確定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到出發(fā)點(diǎn)是其次次迎面相遇；然后再出發(fā)，又在同一個(gè)相遇點(diǎn)第三次相遇，再回到出發(fā)點(diǎn)是第四次相遇……可見(jiàn)奇數(shù)次相遇點(diǎn)都是途中相遇的地點(diǎn)，偶數(shù)次相遇點(diǎn)都是A點(diǎn)．此題要求的是第99次迎面相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)的距離，實(shí)際上要求的是第一次相遇點(diǎn)與A點(diǎn)的距離．

對(duì)于第一次相遇點(diǎn)的位置，需要分段進(jìn)行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發(fā)到跑完正常道路時(shí)，乙才跑了200?8?4?100米，此時(shí)兩人相距100米，且之間全是泥濘道路，此時(shí)兩人速度一致，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇時(shí)乙跑了100?50?150米，這就是第一次相遇點(diǎn)與A點(diǎn)的距離，也是第99次迎面相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)的距離．

1600?6?96米/分，從而丙的速度為96?72?24米/分．

4甲、乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)A出發(fā)，沿周長(zhǎng)6千米的圓形跑道以相反的方向行駛．甲車每小時(shí)行駛65千米，乙車每小時(shí)行駛55千米．一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離A點(diǎn)有多少環(huán)形線路

米？(每一次甲車追上乙車也看作一次相遇)

6?(65?55)?0.05小時(shí)，第一次是一個(gè)相遇過(guò)程，相遇時(shí)間為：相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)：

55?0.05?2.75千米．6?(65?55)?0.6然后乙車調(diào)頭，成為追及過(guò)程，追及時(shí)間為：

小時(shí)，乙車在此過(guò)程中走的路程為：55?0.6?33千米，即5圈又3千米，那么這時(shí)距離A點(diǎn)3?2.75?0.25千米．

此時(shí)甲車調(diào)頭，又成為相遇過(guò)程，同樣方法可計(jì)算出相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)0.25?2.75?3千