勾股定理證明的幾種證明方法、教學內(nèi)容：勾股定理掌握勾股定理，了解用拼圖的方法驗證勾股定理能夠利用勾股定理進行有關(guān)的計算或推理．能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題．二、知識要點：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b斜邊長為c,那么a2+b2= ,直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是 ．證法一（拼圖法）：如圖所示，因為大正方形的邊長為a+b，所以面積為（a+b）2；中間小正方形的面積為c2,周圍四個直角三角形的面積為4Xab；于是有（a+b）2=c2+4Xab，整理得a2+b2=c2.baba證法二（拼圖法）：如圖所示，因為大正方）形的邊長為a+b所以面積為（a+b）2.又因為此正方形的邊長與圖（1）中的正方形邊長相等，所以它們的面積也相等.故a2+b2+4Xab=c2+4Xab，所以得到a2+b2=c2.abbabababbabab證法三（拼圖法）：如圖所示，該圖是由兩個全等的直角三角形和一個以c為直角邊的等腰直角三角形拼成的，由梯形的面積公式，得S梯形=（a+b）（a+b）=（a+b）2.而S梯形=abX2+c2.梯形cc(4)c證法四（拼圖法）：如圖所示，該圖是由四（個3）全等的直角三角形和一個小正方形拼成的.因為大正方形的面積為C2,四個直角三角形的面積和為4Xab，中間的小正方形的面積為（b－a）2，故c2=4Xab+（b－a）2，整理得a2+b2=c2.

cc(4)c怎樣用勾股定理解決面積問題求分別以直角三角形的三條邊為邊長的正方形的面積之間的關(guān)系，關(guān)鍵是找出正方形的面積與三角形的邊之間的關(guān)系．如圖（1）所示，分別以RtAABC的三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S2、S3表示，可以很容易得出S2、S3之間的關(guān)系.因為△ABC為直角三角形，所以AB2=AC2+BC2，而S］=AB2,S2=BC2,S3=AC2，故S1=S2+S3，圖（2）中S］、s2、s3之間的關(guān)系也可以用以上方法得到．立體圖形中的最短路徑問題（1）圓柱中的最短路徑．如圖①所示，圓柱的底面周長為20cm，高為4，BC是上底面的直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,試畫出螞蟻爬行的最短路徑.因為爬行是在立體圖形的表面上進行的，所以可以把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，即它的側(cè)面展開圖（如圖②所示），再看出發(fā)點與目的點之間是哪條線段，需要時可根據(jù)勾股定理求出這條線段的長度．CDCD2）正方體中的最短路徑．如圖③中的正方體,棱長為1,若一只小蟲從點A爬到點C,它爬行的最短路徑是多少?將正方體展開后（如圖④所示），因為從點C出發(fā)有三條棱，故點C有三處位置，即點C］、C2、C3，分別連結(jié)AC］、AC2、AC3，可得它們的長度都是，故這只小蟲爬行的最短路徑為．注意：當圖③中的立體圖形為長方體時，也是用同樣的方法進行分情況比較，但沿這些不同路徑，所走路程可能會不同．C2C2三、重點難點：重點是掌握勾股定理的內(nèi)容，難點是勾股定理的應用【典型例題】例1.如圖所示，在RtAABC中，ZACB=90°,ZB=60°,a=4,求b、c,AABC的面積及斜邊AB上的高.a分析：在Rt^ABC中，由ZB=60?？芍猌A=30。，根據(jù)30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出c,然后根據(jù)勾股定理求出B.進一步用面積公式SaABC=ab，求出Saabc，最后由ab=c?CD,求CD的長或者是在Rt^ACD中，用30°的銳角所對的直角邊CD等于斜邊AC的一半來求．解：在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=60°，所以ZA=30°.又因為a=4，所以c=8．根據(jù)勾股定理得b2=c2—a2=82—42=48,所以b==4．所以SAABC=ab=X4X4=8.在Rt^ACD中，因為ZA=30°，所以CD=AC,所以CD=X4=2．評析：直角三角形中30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．例2.一個零件的形狀如圖所示，已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm.求CD的長.分析：要求CD的長，由圖知CD2=BC2+BD2,BD的長已知，在Rt^ABC中，應用勾股定理，求得BC,進而求CD.解:在Rt^ABC中，根據(jù)勾股定理，得BC2=AC2＋AB2=32＋42=25.在Rt^CBD中，根據(jù)勾股定理，得CD2=BC2＋BD2=25＋122=169，所以CD=13.評析：BC在本圖中，既是Rt^ABC的斜邊，又是Rt^CBD的直角邊.例3.如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長是7cm,則正方形A、B、C、D的面積之和為 .