第一講第三次數(shù)學(xué)危機(jī)第1頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三次數(shù)學(xué)危機(jī)和數(shù)學(xué)思想的四次解放無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)微積分的誕生----貝克萊悖論集合論----羅素悖論非歐幾何的誕生十九世紀(jì)初，三個(gè)力量出現(xiàn)了，一個(gè)是解五次代數(shù)方程碰釘子，需要考慮存在性定理。一個(gè)是非歐幾何不矛盾，是邏輯而不是直覺(jué)在起作用。一個(gè)是數(shù)學(xué)分析不嚴(yán)格，產(chǎn)生荒謬的結(jié)果。在新的矛盾面前出現(xiàn)一些非構(gòu)造性結(jié)果，也考慮一些無(wú)窮的問(wèn)題。這時(shí)追求嚴(yán)密與追求實(shí)用構(gòu)造兩種傾向都有增長(zhǎng)，不過(guò)一般數(shù)學(xué)家維持著微妙的平衡。第2頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一數(shù)學(xué)哲學(xué)的三大流派從1900年到1930年左右，數(shù)學(xué)的危機(jī)使許多數(shù)學(xué)家都卷入到一場(chǎng)大辯論當(dāng)中。他們看到這次危機(jī)涉及數(shù)學(xué)的根本，必須對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)加以嚴(yán)密的考察。在這場(chǎng)大辯論中，原來(lái)的不明顯的意見(jiàn)分歧擴(kuò)展成為學(xué)派的爭(zhēng)論，以羅素為代表的邏輯主義，以布勞威爾為代表的直覺(jué)主義，以希爾伯特為代表的形式主義三大學(xué)派應(yīng)運(yùn)而生。第3頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一邏輯主義羅素在1903年出版的《數(shù)學(xué)的原理》中對(duì)于數(shù)學(xué)的本性發(fā)表了自己的見(jiàn)解。他說(shuō)：“純粹數(shù)學(xué)是所有形如“p蘊(yùn)涵q”’的所有命題類，其中p和q都包含數(shù)目相同的一個(gè)或多個(gè)變?cè)拿}，且p和q除了邏輯常項(xiàng)之外，不包含任何常項(xiàng)。所謂邏輯常項(xiàng)是可由下面這些對(duì)象定義的概念：蘊(yùn)涵，一個(gè)項(xiàng)與它所屬類的關(guān)系，如此這般的概念，關(guān)系的概念，以及象涉及上述形式一般命題概念的其他概念。除此之外，數(shù)學(xué)使用一個(gè)不是它所考慮的命題組成部分的概念，即真假的概念?！钡?頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一邏輯主義的論點(diǎn)也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亞諾、懷特海等人表達(dá)過(guò)。戴德金在1872年出版了《連續(xù)性及無(wú)理數(shù)》一文，在這篇文章中，他把有理數(shù)做為已知，進(jìn)而分析連續(xù)性這個(gè)概念。為了要徹底解決這個(gè)問(wèn)題，必須考慮有理數(shù)乃至自然數(shù)產(chǎn)生的問(wèn)題。他認(rèn)為應(yīng)該建立在邏輯基礎(chǔ)上，但沒(méi)有實(shí)行。不加定義的概念有基本命題、命題函數(shù)、斷言、或、否(非)；這里講的命題是指陳述一件事實(shí)或描述一種關(guān)系的一個(gè)語(yǔ)句，如“張三是人”，“蘋(píng)果是紅的”等等，由這些概念可定義邏輯上最重要的概念“蘊(yùn)涵”。第5頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一要想由邏輯推出數(shù)學(xué)，第一步是推出“數(shù)”來(lái)，這件事皮亞諾及弗雷格都做了。羅素在消除悖論之后，成功地用“類”來(lái)定義1。這個(gè)過(guò)程極為繁瑣費(fèi)力，一直到《數(shù)學(xué)原理》第一卷的363頁(yè)才推出“1”的定義，而第二卷費(fèi)了很大力氣證明了n×m＝m×n。

第6頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在《數(shù)學(xué)的原理》及《數(shù)學(xué)原理》中，羅素的目標(biāo)在于證明“數(shù)學(xué)和邏輯是全等的”這個(gè)邏輯主義論題，它可以分析為三部分內(nèi)容：

1、每條數(shù)學(xué)真理都能夠表示為完全用邏輯表達(dá)或表示的語(yǔ)言。簡(jiǎn)單來(lái)講，即每條數(shù)學(xué)真理都能夠表示為真正的邏輯命題。

2、每一條真的邏輯命題如果是一條數(shù)學(xué)真理的翻譯，則它就是邏輯真理。

3、每條數(shù)學(xué)真理一旦表示為一個(gè)邏輯命題，就可由少數(shù)邏輯公理及邏輯規(guī)則推導(dǎo)出來(lái)。

這三方面不完全一樣，羅素只是分別在各處用一條或兩條表示過(guò)邏輯主義。由于哥德?tīng)柕牟煌耆ɡ恚?是錯(cuò)的，但是還可以堅(jiān)持1和2。第7頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)邏輯主義致命打擊的是哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ恚C明了從邏輯并不能推出算術(shù)的正確性來(lái)，顯然把數(shù)學(xué)全部化歸為邏輯徹底失敗了。但是，羅素等人的歷史功績(jī)是不可磨滅的，他們?yōu)閿?shù)學(xué)奠定了邏輯基礎(chǔ)。在一段時(shí)期內(nèi)，《數(shù)學(xué)原理》是一部引導(dǎo)數(shù)學(xué)邏輯家的經(jīng)典，至今它還有一定的意義。

邏輯主義也不是后繼無(wú)人，英國(guó)的拉姆塞、美國(guó)的奎因都對(duì)邏輯主義作了進(jìn)一步的發(fā)展。第8頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一直覺(jué)主義直覺(jué)主義有著長(zhǎng)遠(yuǎn)的歷史，它植根于數(shù)學(xué)的構(gòu)造性當(dāng)中。古代數(shù)學(xué)大多是算，只是在歐幾里得幾何學(xué)中邏輯才起一定作用。到了十七世紀(jì)解析幾何和微積分發(fā)明之后，計(jì)算的傾向大大超過(guò)了邏輯傾向。十七、十八世紀(jì)的創(chuàng)造，并不考慮邏輯的嚴(yán)格，而只是醉心于計(jì)算。第9頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一極端的構(gòu)造主義者，象克洛耐克否認(rèn)無(wú)理數(shù)存在，否認(rèn)連續(xù)函數(shù)，他認(rèn)為任何東西部要有構(gòu)造步驟或判斷準(zhǔn)則，但即使他本人的工作也不符合他自己的要求。法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒等人是半直覺(jué)主義者，有人稱為法國(guó)經(jīng)驗(yàn)主義者。他們反對(duì)實(shí)無(wú)窮，反對(duì)實(shí)數(shù)集合，反對(duì)選擇公理，主要因?yàn)樗麄冋J(rèn)為根本不能進(jìn)行無(wú)窮的構(gòu)造。

第10頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一現(xiàn)代直覺(jué)主義真正的奠基人是布勞威爾，他于1881年2月27日生于荷蘭奧弗西。1897年進(jìn)入阿姆斯待丹大學(xué)學(xué)習(xí)，一直到1904年，他很快掌握了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)并且發(fā)表關(guān)于幾何第一個(gè)結(jié)果。他多少受曼諾利的影響，關(guān)心當(dāng)時(shí)的基礎(chǔ)問(wèn)題，在1907年博士論文中闡述自己對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的觀點(diǎn)。布勞威爾是從哲學(xué)中得出自己觀點(diǎn)的，基本的直覺(jué)是按照時(shí)間順序出現(xiàn)的感覺(jué)，而這形成自然數(shù)的概念。這倒不是新鮮的，他認(rèn)為數(shù)學(xué)思維是頭腦中的自由構(gòu)造，與經(jīng)驗(yàn)世界無(wú)關(guān)，只受基本數(shù)學(xué)直覺(jué)為基礎(chǔ)的限制，在這方面他是不同于法國(guó)經(jīng)驗(yàn)主義者的。數(shù)學(xué)概念進(jìn)入人腦是先于語(yǔ)言、邏輯和經(jīng)驗(yàn)的，決定概念的正確性是直覺(jué)，而不是經(jīng)驗(yàn)及邏輯。這些充分暴露了他唯心主義和神秘主義的思想傾向。第11頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一布勞威爾認(rèn)為數(shù)學(xué)直覺(jué)的世界和感覺(jué)的世界是互相對(duì)立的，日常的語(yǔ)言屬于感覺(jué)世界，不屬于數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)獨(dú)立于語(yǔ)言存在，而邏輯是從屬于語(yǔ)言的，它不是揭露真理的工具，而是運(yùn)用語(yǔ)言的手段。正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)中最主要的進(jìn)展不是靠邏輯形式完美化而得到，而是靠基本理論本身的變革。

第12頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一布勞威爾認(rèn)為邏輯規(guī)律并不對(duì)數(shù)學(xué)有什么約束作用，數(shù)學(xué)是自由的，不一定遵守什么邏輯規(guī)則。他認(rèn)為經(jīng)典邏輯是從有限集合的數(shù)學(xué)抽象出來(lái)，沒(méi)有理由運(yùn)用到無(wú)窮集合。1908年，他反對(duì)把排中律運(yùn)用于無(wú)窮集合上，因?yàn)橛懈F集合可以逐個(gè)檢查，而無(wú)窮集合則辦不到，因此存在不可斷定真假的第三種情況，就是說(shuō)有既不可證明，又非得要證明的命題。

第13頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1908年到1913年，布勞威爾主要從事拓?fù)鋵W(xué)的研究，他運(yùn)用單形逼近的方法證明了維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃裕@在數(shù)學(xué)上是個(gè)了不起的成就，是極重要的拓?fù)浞椒?。他在李群、幾何等方面也有出色的工作，不過(guò)很快他又轉(zhuǎn)向基礎(chǔ)研究。第14頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一布勞威爾象康德和彭加勒一樣，認(rèn)為數(shù)學(xué)定理是先驗(yàn)綜合真理。他在1912年的阿姆斯特丹大學(xué)就職演說(shuō)中，他承認(rèn)由于非歐幾何的發(fā)展，康德的空間學(xué)說(shuō)不可信。但他同弗雷格和羅素相反，仍然堅(jiān)持康德的觀點(diǎn)，算術(shù)是從對(duì)時(shí)間的直覺(jué)導(dǎo)出的。由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在算術(shù)基礎(chǔ)上的，所以整個(gè)數(shù)學(xué)也是如此。第15頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1909年他同希爾伯特通信，指出形式主義和直覺(jué)主義的爭(zhēng)論焦點(diǎn)。1912年說(shuō)到這個(gè)問(wèn)題之后，他一直到1917年才又開(kāi)始這方面的論戰(zhàn)。從這時(shí)起到二十年代末他發(fā)表一系列的文章，開(kāi)始建立一個(gè)不依靠排中律的集合論，接著又建立構(gòu)造的測(cè)度論及函數(shù)論，這是他從消極的否定轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極的構(gòu)造。同時(shí)他試圖使數(shù)學(xué)家相信排中律導(dǎo)出矛盾。他運(yùn)用了扇定理，這個(gè)定理及選擇序列、散集等是他的直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的獨(dú)創(chuàng)。第16頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三十年代初期由于哥德?tīng)柕墓ぷ?，許多數(shù)學(xué)家開(kāi)始重視直覺(jué)主義。外爾早在1920年左右就表示效忠于直覺(jué)主義，從而激起希爾伯特的極大憤怒。他吸收了直覺(jué)主義一些思想，開(kāi)始用有限主義方法來(lái)完成證明論方案，企圖一勞永逸地解決基礎(chǔ)問(wèn)題，不料沒(méi)能成功，于是還得求助于無(wú)窮。第17頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1967年，美國(guó)數(shù)學(xué)家畢肖普出版《構(gòu)造性分析》一書(shū)，開(kāi)始了構(gòu)造主義的時(shí)期。他們不象以前直覺(jué)主義者那樣偏激，而是積極采用構(gòu)造的方法解決一個(gè)個(gè)具體問(wèn)題。不去單純的否定或爭(zhēng)論。畢肖普自信會(huì)取得大多數(shù)人的支持，不過(guò)沒(méi)有能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗麄儺吘钩删陀邢蓿y于同整個(gè)數(shù)學(xué)汪洋大海相比，可是十幾年來(lái)構(gòu)造主義還是取得一定進(jìn)展，如《構(gòu)造性泛函分析》等書(shū)問(wèn)世，說(shuō)明它還有一定的市場(chǎng)。

第18頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一形式主義一般認(rèn)為形式主義的奠基人是希爾伯特，但是希爾伯特自己并不自命為形式主義者。并且，希爾伯特的思想有一個(gè)發(fā)展變化的過(guò)程，我們簡(jiǎn)單地介紹一下。希爾伯特是二十世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家，他不僅是數(shù)學(xué)上一些分支的公認(rèn)權(quán)威，而且恐怕也是最后一位在幾乎所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都做出偉大貢獻(xiàn)的全才。更重要的是，他對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題有著長(zhǎng)時(shí)期的持久關(guān)注，他的思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)也占有統(tǒng)治地位。

第19頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一大衛(wèi)·希爾伯特，1862年1月23日出生在東普魯士的哥尼斯堡。他一直在家鄉(xiāng)上學(xué)，1885年取得博士學(xué)位，1886年就任哥尼斯堡大學(xué)講師。1888年因?yàn)榻鉀Q了不變式理論中著名的“哥爾丹問(wèn)題”開(kāi)始在數(shù)學(xué)界嶄露頭角，1891年他升任副教授，1893年升任教授。1895年，他應(yīng)克萊因之邀，任哥丁根大學(xué)教授，由此開(kāi)辟了哥丁根大學(xué)的黃金時(shí)代。他在哥丁根大學(xué)任教至1930年退休，其間培養(yǎng)了各國(guó)數(shù)學(xué)家，單是他指導(dǎo)的博士論文就有五、六十篇。由于他的影響，哥丁根成為世界數(shù)學(xué)的中心，繁盛了三、四十年，一直到希特勒掌權(quán)后才迅速地衰落下去。晚年學(xué)生大都離開(kāi)，他于1948年2月14在孤寂中逝世。第20頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一關(guān)于數(shù)學(xué)中的存在，他認(rèn)為不限于感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的存在。在物理世界中，他認(rèn)為沒(méi)有無(wú)窮小、無(wú)窮大和無(wú)窮集合，但是在數(shù)學(xué)理論的各個(gè)分支中卻都有無(wú)窮集合，如自然數(shù)的集合，一個(gè)線段里所有點(diǎn)的集合等等。這種不是經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛑苯域?yàn)證的對(duì)象，他稱之為“理想元素”。引進(jìn)理想元素的方法在數(shù)學(xué)中其實(shí)由來(lái)已久，比如代數(shù)中虛數(shù)的引進(jìn)，幾何中無(wú)窮點(diǎn)的引進(jìn)，微積分中無(wú)窮小與無(wú)窮大的引進(jìn)等等。但是理想元素的引進(jìn)必須不把矛盾帶到原來(lái)的較窄狹的領(lǐng)域內(nèi)。由于理想元素不能靠直觀經(jīng)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，只能靠邏輯來(lái)驗(yàn)證，因此合理性的唯一判據(jù)就是無(wú)矛盾性。這種無(wú)矛盾性的真理觀實(shí)際上是形式主義基本論點(diǎn)。第21頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一關(guān)于理想元素的命題為真呢？這個(gè)問(wèn)題，希爾伯特不認(rèn)為每個(gè)個(gè)公式都必須得到驗(yàn)證，每一個(gè)概念都必須得到解釋，然后通過(guò)直觀驗(yàn)證。在1900年的《論數(shù)的概念中》，希爾伯特提議用公理化方法來(lái)代替“生成的”方法。在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中，希爾伯特超過(guò)解析幾何選出的算術(shù)模型來(lái)證明他的幾何公理的無(wú)矛盾性。這樣證明的是相對(duì)無(wú)矛盾性，也就是把幾何學(xué)的無(wú)矛盾性歸于實(shí)數(shù)的算術(shù)公理的無(wú)矛盾性。于是他在1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上把算術(shù)公理的無(wú)矛盾性列為他那著名23個(gè)問(wèn)題中的第二個(gè)。他沒(méi)有指出任何解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，而只是強(qiáng)調(diào)相對(duì)無(wú)矛盾性的證明沒(méi)有問(wèn)題。

第22頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一希爾伯特認(rèn)為比較深入的觀點(diǎn)是下面幾種：一是弗雷格的邏輯主義，他把數(shù)學(xué)規(guī)則建立在邏輯的基礎(chǔ)上；二是戴德金的先驗(yàn)主義，他是根據(jù)哲學(xué)上的論證來(lái)推斷無(wú)窮的存在，不過(guò)他對(duì)數(shù)的論述中包含著“所有對(duì)象的集合”這類矛盾了；三是康托爾的主觀主義觀點(diǎn)，他清楚地區(qū)分“相容集”及“不相容集”。但是他沒(méi)有提供明顯的判據(jù)，因此缺乏客觀的可靠性。第23頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一希爾伯特認(rèn)為所有困難都可以通過(guò)給數(shù)的概念建立完全而嚴(yán)格的基礎(chǔ)而得到克服，這就是公理化方法。1904年以后，希爾伯特把主要精力放在研究積分方程等分析問(wèn)題以及物理學(xué)公理此等方面，沒(méi)有發(fā)表什么數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的著作。這時(shí)，各種流派進(jìn)行的激烈斗爭(zhēng)，也不能不使希爾伯特關(guān)心。尤其是布勞威爾直覺(jué)主義的出現(xiàn)，他感到對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)的生存和發(fā)展是個(gè)極大的威脅，于是他開(kāi)始投入戰(zhàn)斗。第24頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一希爾伯特建議兩條最基本的原則：一、形式主義原則：所有符號(hào)完全看做沒(méi)有意義的內(nèi)容，即使將符號(hào)、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而只是把它們看作純粹的形式對(duì)象，研究它們的結(jié)構(gòu)性質(zhì)；二、有限主義原則，即總能在有限機(jī)械步驟之內(nèi)驗(yàn)證形式理論之內(nèi)一串公式是否一個(gè)證明。應(yīng)用數(shù)學(xué)方法于這樣一個(gè)形式理論，避免涉及無(wú)窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的方法。這個(gè)思想是只應(yīng)用靠得住的方法，因?yàn)橐C明數(shù)學(xué)或其一部分無(wú)矛盾的方法是大家公認(rèn)可靠的，整個(gè)數(shù)學(xué)才有牢固的基礎(chǔ)。第25頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期一數(shù)學(xué)哲學(xué)曾經(jīng)關(guān)注的問(wèn)題1、數(shù)學(xué)的對(duì)象以及它們與現(xiàn)實(shí)世界(或?qū)嵲?的關(guān)系；2、(由此產(chǎn)生的)數(shù)學(xué)中的“存在”，乃至無(wú)窮的意義；3、數(shù)學(xué)