專題17向量中的隱圓問題

【考點預測】

一.向量極化恒等式推出的隱圓

乘積型：PAPB=A

定理：平面內，若A,8為定點，且后?麗=2,則P的軌跡是以M為圓心為半徑的圓

證明：由=根據(jù)極化恒等式可知，PM2--AB2=A,所以=

4

以M為圓心為半徑的圓.

二.極化恒等式和型：PA2+PB2=A

A-^AB2

定理：若4,8為定點，P滿足以2+依2=3則/>的軌跡是以45中點用為圓心，11——為半徑

的圓。(A.--AB2>0)

A.--AB2

證明：PA2+PB2=21PM2+AB)2]=A,所以PM={——1——，即P的軌跡是以他中點M為圓

三.定幕方和型

mPA2+PB2=n

若A,B為定點，4川+加郎二〃，則尸的軌跡為圓.

mPA2+nPB2=A

證明：mPA2+PB2="nm[(x+c)2+y2]+[(x-c)2+y2]=M

=>(/?+l)(x2+><2)+2c(m-l)x+(m+l)c2-n=0=>x2+y2+——?x+'。"+。_'L=。.

機+1zn+1

四.與向量模相關構成隱圓

【典例例題】

例1.(2022?江蘇?揚中市第二高級中學模擬預測)己知￡與B為單位向量，且2，萬，向量"滿足I3-力1=2,

則|3|的可能取值有()

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標系，由向量的坐標計算公式可得^-a-5=(x-Ly-D,進而由向量模的計算公式可得

(x-l)2+(y-l)2=4,分析可得C在以(l,l)為圓心，半徑為2的圓上，結合點與圓的位置關系分析可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，設麗=&，OB=b'OC=c<

以。為坐標原點，礪的方向為x軸正方向，礪的方向為y軸的正方向建立坐標系，

則A(1,O),8(0,1),設C(x,y),貝(j[一1一5=(x-l,y-1),

^\c-a-b\=2,則有(f2+(y_l)2=4,

則C在以(U)為圓心，半徑為2的圓上，

設(1,1)為點“，貝則有IOM倒。C|『+IOMI,

即2-檢J|OC|2+6.,

則1司的取值范圍為[2-血,2+0]；

故選：D.

例2.(2022.全國.高三專題練習)在中，AC=3,8C=4,NC=90。.P為AABC所在平面內的動點，

且PC=1,則麗.方的取值范圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.1-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】

【分析】

依題意建立平面直角坐標系，設P(8s0,sin0),表示出百，PB，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及

正弦函數(shù)的性質計算可得；

【詳解】

解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則C(0,0),4(3,0),8(0,4),

因為PC=1,所以P在以。為圓心，I為半徑的圓上運動,

設P(cos仇sin〃)，Oe.[0,2句，

所以A4=(3-cos^,-sin^),尸尸=(一cos6,4—sin。),

所以P/CP?=(-cos6)x(3-cos，)+(4-sin6)x(-sin。)

./\34

=cos?6一3cos。一4sin6+sin2。=l-3cos0-4sin^=l-5sin(^+^),其中sine=《,cos^=-

因為一l<sin(e+0)<l,所以-4W1—5sin(e+e)W6,gpPA-PBG[-4,6]；

故選：D

例3.(2022?山東?德州市教育科學研究院三模)已知平面向量￡=(2,0),1=(0,1),且非零向量2滿足

(a-2c)l(b-c),則M的最大值是()

A.IB.y[2c.GD.2

【答案】B

【解析】

【分析】

由0-2")4坂-工)得《，將’轉化為(0,0)和圓上點(x,y)之間的距離，即可

設c=(%,>>)

求出最大值.

【詳解】

設c=(x,y),則4_2。=(2_2%_2,),/?_。，=(_占1_,),

(tz-2c)-(^-c)=(2-2x)-(-x)+(-2y)-(l-^)=2x2-2x+2y2-2y=0,

X-1則點(x,y)在以(],為圓心,孝為半徑的圓上，則(卜乒丁表示(0,0)和

整理得+丁

22

圓上點?y)之間的距離,

2

X-1匚上,故口的最大值是2x曰=技

故選：B.

例4.(2022.全國.高三專題練習)己知平面向量￡,例c，滿足同明=￡石=2,且3-2斗伍一'=0,

則|￡-4的最小值為()

A.旦「V3

D.--------------------D.互

2222

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量數(shù)量積的夾角公式可得色?9=1,設4(1，石)，3(2,0),c(x,y),S=(2,0),￡=(1,G),c=(x,y),

根據(jù)數(shù)量積的坐標表示可得點C(x,y)的軌跡為圓〃，由幾何意義可知：的最小值為|加4|減去半徑R即

可求解.

【詳解】

ILI一一/rf\ab21

因為卜卜忖=〃為=2,所以cos(a力廣麗=Q=5,

因為04。勺4兀，所以(灑.

不妨設A0,右)，8(2,0),C(x,y),亂麗=(2,0),2=麗=(1,6),

c=OC=(x,y),則辦一c=(2-x,-y),a-2c=(l-2x,石-2y),

因為@=0,所以(2—x)(l_2x)—(退一2y)y=0,

化簡為：卜-胃+卜=￥)=?,

所以"=(x,y)對應的點C(x,y)是以知仁,坐)為圓心，半徑為/?=等的圓,

所以的最小值為|K4|-R=岑)-等

故選：B.

例5.(2022?全國?高三專題練習)已知平面向量公，b，"，滿足W=W=2,

￡與石的夾角為60,且片_27"+3=0,則|力+；|的最小值為()

A.#,-1B.1

C.GD.2>/3-1

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可得/=4,將原等式化為7-27"+才=1，得出(￡-")2=1,

設"=(x,y),￡=(1,6)石=(2,0),進而得出。-1)2+()-6)2=1,表示以C(l，6),半徑為1的圓；而

B+4,=&x+2)+/衣不圓心到定點8(-2,0)的距離減去半徑，利用數(shù)形結合的思想即可解得答案.

I1mm

【詳解】

由題意知，同=忖=2,(￡石)=60°,則片=4，

由c-一2a?c+3=0可得。一2〃?c+〃~=1,即(a-c)2=1,

設c=(x,y),a=(1,5/3),^=(2,0),則4一。=(1-x,百一y),B+c=(x+2,y),

所以0_1廠+(y—=1,忸+d=J(x+2)+)/,

所以"=。，y)表示以。(1，6),半徑為1的圓，

R+《=J（x+2）+y2表示圓C上的點（x，y）到定點8（-2,0）的距離，

而|）+；|的最小值即為圓心到定點伙-2,0）的距離減去半徑，如圖所示,

又BC=?1+2)2+(6-=2+，所以忸+"，?=8C_[=2G_1.

例6.（2022?全國?高三專題練習）已知A8CD是邊長為2的正方

?PC的最小值是（)

口5

A.-2B.---C.-3D.-4

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件建立平面直角坐標系，利用向量運算的坐標表示即可計算作答.

【詳解】

A8CZ）是邊長為2的正方形，則以點A為原點，直線A8,AD分別為x軸，），軸建立平面直角坐標系，如圖:

設點尸（％y）,

PA=(-x,-y),PB=(2-x,-y),PC=(2-x,2-y),于是得:

_._.35

(~PA+PB)-PC=(2-2x-2y)-(2-x,2-y)=2(x-l)(x-2)+2y(y-2)=2(x-^)2+2(y-l)2--,

3_.5

當x=/,y=l時，（麗+麗）.前取得最小值一：,

所以（西+方）.定的最小值是-|.

故選：B

例7.（2022?江西?新余市第一中學模擬預測（理））已知平面向量￡￡"滿足忖=羽=75=4,r-4t+9=-3,

則的最小值為（）

A.72-1B.立一1C.75-2D.V7-2

2

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件可得W=4,同=2,=設礪=￡=（2,0）,OB=b={2,2^,OC='c={x,y）,可得

點C（x,y）的軌跡為圓，由圓的性質即可求解.

【詳解】

因為慟=羽=￡4=4,所以忖=4,同=2,

儂（砌=前［=￡=］因為0?詞4兀，所以（詞g

設OA=〃=（2,0）,03=5=（2,26）,OC=c=（x,y）,

c-a=^x-2yy）,c+石=（x+2,2\/5+y）,

所以（2—2）伍+5）=（%—2）（工+2）+），（26+），）=一3,

即x?+（y+百）=4,

所以點c（x,y）在以M（o,-石）為圓心，半徑〃=2的圓上，

J（x_2『+y2表示圓/+卜+石）=4上的點（x,y）與定點A（2,0）的距離，

所以44的最小值為|M4|—r=，（0-2）2+96-0）2-2=五一2,

故選：D.

例8.（2022?全國?高三專題練習）設向量心b.5滿足|初=|6|=1,a-ft=-,（a-c）-（b-c）=0,則|c：|的

最小值是（）A.1土!■B.立二1C.6D.1

22

【答案】B

【解析】

建立坐標系,以向量a,方的角平分線所在的直線為x軸，使得1,5的坐標分別為

2

+1表示以母可為圓心，/為半徑的圓，求出圓心到

設5的坐標為（X,>1），由已知可得

原點的距離，再減去半徑即為所求

【詳解】

解：建立坐標系，以向量入5的角平分線所在的直線為X軸，使得G,B的坐標分別為

設C的坐標為(x,y),

H^(a-c)-0-c)=O,

則任I的最小值表示圓I二的點到原點的距離的最小值,

因為圓到原點的距離為4，所以圓上的點到原點的距離的最小值為日十

【點睛】

此題考查平面向量的數(shù)量積運算，解題的關鍵是寫出滿足條件的對應的點，考查數(shù)學轉化思想，考查數(shù)形

結合的思想，屬于中檔題

例9.（2022?全國?高三專題練習）已知向量入b，工滿足忖=4,￡在?方向上的投影為2,c-^-a）=-3,

則|B-"|的最小值為（）

A.6,-1B.百+1C.2石-2D.273+2

【答案】A

【解析】

【分析】

設2，B向量的夾角為e,可得C°S，=R,即可求in。，不妨設1=)=(2,2抬)，各=礪=(皿0)(巾>0),

設三方=(x,y),由"?-￡)=-3,整理可知點C的軌跡是以(1,G)為圓心，半徑廠=1的圓，而

\b-c\=^m-x)2+y2=\BC\,結合圓的性質，可求出怛。的最小值.

【詳解】

221

設2,坂向量的夾角為e，則Wcos6=2,則cos”甲廠5，

因為?！闧()]],所以6=1.

不妨設a=西=(2,2道)，b=OB=(/n,0)(w>0),設c=OC=(x,y),

貝|]3伍_4=(》,/)?(》_2,)，_26)=_3,gSW(^-l)2+(y-V3)2=l.

所以點c的軌跡是以(i,G)為圓心，半徑廠=i的圓，記圓心為。，

又B-c=(〃LX,_y),BP|S-c|=+y2=|BC\，

當直線BC過圓心O,且垂直于x軸時，忸?？扇〉米钚≈?，即忸q“「6-r=x/5-l.

本題考查向量的模，考查向量的數(shù)量積及向量的投影，注意利用數(shù)形結合的方法，屬于難題.例10.(2022?全

國?高三專題練習)己知A4?C是邊長為4省的等邊三角形，其中心為O,尸為平面內一點，若OP=1,則

麗.麗的最小值是

A.—11B.~6C.—3D.—15

【答案】A

【解析】

【分析】

作出圖像如下圖所示，取A8的中點為。，由。。=1,則P在以。為圓心，以1為半徑的圓上，再由公式

可哈蟀+珂一(西一可Q時一(叫[.“一2,可得選項?

44

【詳解】

作出圖像如下圖所示，取A8的中點為。，則0￡>=46X1X'=2,因為OP=1,則P在以。為圓心，以

23

1為半徑的圓上，

則麗而：(麗■時-例一時R呵：(時=P4-12?又為圓。上的點0到。的距離，則

44

/.麗.麗的最小值為-11.

故選：A.

本題考查向量的數(shù)量積的最值，轉化法是解決此類問題的常用方法，屬于中檔題.

例11.(2022?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學高三階段練習(理))已知工為單位向量，向量2滿足:

R-@.(G-5@=0,貝雨+0的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】

可設;=(1,0),?=(x,y),根據(jù)(2-q-0-5")=0,可得x,y的關系式，并得出x，y的范圍，

\a+e\=^x+[)2+y2,將>用x表示，再根據(jù)函數(shù)的最值即可得解.

【詳解】

解：可設e=(l,0),a=(x,y),

則(a-e).(a-5e)=(x-l,y)-(x-5,y)=x2-6x+5+y2=0,

GP(x-3)2+y2=4,則K十，-2這yW2,

卜z+=^(x+1)2+y1=j8x-4,

當x=5時，j8x-4取得最大值為6,

即k+e|的最大值為6.

故選：C

例12.（2022?全國?高三專題練習）已知向量入b，3為平面向量，同咽=2￡3=1,且"使得2-22與

所成夾角為60，則口的最大值為（）

A.73+1B.6D.77+1

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)已知條件求出向量￡,5的夾角，建立平面直角坐標系，設3（1，°），設）=￡，OB=b^

OX根據(jù)線性運算可得"-2ci=He，c-b=BC^ZACB=60,結合正弦定理可求出點C的軌跡，

當CM。三點共線時取得最大值，即可求解.

【詳解】

因為同=W=2￡4=1,所以2同卡「05（￡石）=1,可得cos?.B）=；,

因為0Y?3）M180。，所以（￡??=6（T,

如圖所示：在平面直角坐標系中，A［岑）8（1,0）,

不妨設雙=日，OB=b^延長OA到OA'使得。A=A4',則兩=2公，

點C為平面直角坐標系中的點，OC=c，貝匹-2d=近，c-b=BC^

則滿足題意時，ZACB=60,結合點A,8為定點，且M'M=6，

由正弦定理可得：-^-=2R,可得R=l,則點C的軌跡是以M住，坐］為圓心，1為半徑的優(yōu)弧上，

sin60122J

當CM,O三點共線，即點C位于圖中點/位置時，口取得最大值，

6丫+1=百+1，

故選：A.

例13.(2022?北京市第十二中學三模)為等邊三角形,

且邊長為2,則而與灰的夾角大小為120、若|叫=1,CE=EA，則而.詼的最小值為

【答案】-3-6

【解析】

【分析】

以點B為坐標原點，麗、麗分別為x、V軸的正方向建立平面直角坐標系，設點D(cosasine),利用平

面向量數(shù)量積的坐標運算以及余弦函數(shù)的有界性可求得而?麗的最小值.

【詳解】

因為AA8C是邊長為2的等邊三角形，且屋=麗，則E為AC的中點，故BEJ.AC,

所以，而?麗=G(cose-6)*-G-3,當且僅當cos6=T時，等號成立，

因此，而?麗的最小值為-石-3.

故答案為：-6-3.

例14.(2022.江蘇泰州.模擬預測)平面向量4,51滿足同=1,同=2,G與■的夾角為60、且

傳-24(-5)=0則?的最小值是

【答案】6-1##-1+6

【解析】

【分析】

設,=(1,0),6=設歷=d=(x,y),根據(jù)e-21＞卜-6)=0結合數(shù)量積的運算求得c的軌跡是以

加§,3)為圓心，1為半徑的圓，利用國的幾何意義可求得答案.

【詳解】

由題意不妨設0為坐標原點，令。=。,0)，B=設反=5=(x,y),

由于e-21＞卜-5)=0,

(x-2,y)?(x-1,y-＞/3)=0,x2-3x+2+y2-y/3y=0,

即f卜一等)=1,故c的軌跡是以M(|當為圓心，1為半徑的圓，

故?zHOMIT=6-1，

故答案為：＞/3—1

例15.(2022?浙江嘉興?模擬預測)平面向量2尻a［滿足

|萬|=|6|=2dZ=l,5=/i＜?+(2-/l)B(/leR)j1+46|=JI,則|1+1|的最小值為.

【答案】石-友

【解析】

【分析】

設〃=OA,h=OB,c=OC,d=-OD,利用平面向量的幾何意義及平面向量等和線定理進行求解.

【詳解】

解析：幾何意義+等和線

由題記2=礪石=而忑=反,7=-無，則由|初=仍|=2萬4=1,

.jr

得|西1=1礪|=1,MZAOB=y.

作圖，如右圖所示:

△AOBQABNQBMN為正三角形,OM=ME，

C

由乙=/11+(2—彳明，得C在直線MN匕

y.'.'d+4b=-OD+OE=DE^：.\DE\=\d+4b\=y/2,即點。在以點E為圓心，&為半徑的圓匕

：.\c+d\=\OC-OD\=\DC\^^-^.

故答案為：百-0.

例16.(2022?浙江金華?三模)已知平面向量￡,b，工滿足32=35=同明=1,當R-斗?-?取到最

小值時，對任意實數(shù)4,+(1-為4的最小值是.

【答案】74##—

z2

【解析】

【分析】

構造單位圓，設出向量詼=￡,而=3，OC=c.由題設得到CA、C8是圓。的兩條切線，后=」不，從

COS，

而由當取到最小值時，求得cos”2一，結合痛+(1＜肪表示的是以O為起點，終點在A8

上的向量，可求得答案.

【詳解】

如圖，設0408為單位圓。的兩條半徑，記方=￡,而乩，元=入

設/46^=/8。。=，,。€（0,1）,由題意A￡=AB=W=W=1,

一1

可知。、C8是圓。的兩條切線，則中高

故（。-c）?仿-c）=J+&B-2=+cos20-2—4—+2COS261-3>25/2-3,

\\）cos~0COS-0

當且僅當忌萬=2cos2?,即cos2=#時取“="，此時3。=2一；，

因為蘇+(1-，而表示的是以。為起點，終點在A3上的向量,

故當該向量垂直于向量血時，其模卜￡+(IT)4最小,

記Afinoc=。，則O￡>_LA3,則k2+（1-/1肪1=|04|=1xcos?=2石，

故答案為：2a

例17.（2022?浙江紹興?模擬預測）己知平面向量萬、及d滿足：M與5的夾角為

手（1＞卜-5）=0,同麗=2,記M是卜一小|的最大值，則M的最小值是.

【答案】叵口

2

【解析】

【分析】

設次=昆麗=尻反=不,E為43中點，令|萬|=x,|5|=y,|A8|=2r,|OE|=f,結合圖形，利用向量的線性運

算求出〃=^-及-51a=|函|+|覺|,轉化為函數(shù)求最小值即可.

【詳解】

設礪=互而=瓦歷=當王為AB中點,4-1?1=x,|&|=y,\AB|=2r,|OE|=t,

7IT

貝ijZAOB=w，x+y=2①，

因為oZ=，（OA+OB）,AB=OB-OA,

2

故有麗?麗=|OE|2-1|AB\2^>-^xy=t2-r2,

尤2+\j2_A,2

cosZAOB=-----------=^>-jQ7=x2+y2-4r2n4產=（+y）2-xy②，

2xyx

由①②得產=1-^-,從而/=/一（孫=1_1■孫平￡（0,1],

424

因為伍一々）?卜一5）=0,所以ACL8C,即點C在以48為直徑的圓E匕

■.\c-a-b\=\c-{a+b）\^OE+EC-WE\^EO+EC\^EO\+\EC\,

.-.M=lc-a-blmax=IEdl+IECI=r+r=]ll-jxy+Jl-^xy>^-,

當且僅當|利=出|=1時，即盯=1時等號成立.

故答案為：避過

2

【點睛】

關鍵點點睛：在平面上分別作出向量對應的有向線段，利用極化恒等式得出3?麗聯(lián)立

4

方程后可得產曰一?，產=1-1孫孫e(0』]是解題的關鍵，再將向量模用孫表示出來，即可利用函數(shù)單

調性求最值.

例18.(2022?浙江?慈溪中學模擬預測)已知平面向量滿足|￡|=3出|=3,若「=(2—2/L”+3'(/lwR),

且沫=器，則cos(￡,3￡一》的最小值為.【答案】半

【解析】

【分析】

根據(jù)題意作出圖形，設￡=囪，b=OB>c=OC>23=兩，32=砥，39=函，則

C=(l-X)函+2函(2eR),再根據(jù)題意得點C是直線Aq與NAOB的角平分線的交點，得到

B.COB,31_T

玄=京=1=5,進而得到cosa，3a-c)=cosNC3。，求解計算即可.

【詳解】

如卜圖所小，設Q=OA,b=OB，c=OC，2tz=O\,3a=OA^,3B=OB、,

因為"=(2—2；1)￡+3/1灰；1￡1<),所以忑=(1一丸)的+4函(4eR),

因此點C在直線A片上，又由于￡，="，因此OC是N4O8的角平分線，

1?1⑸

B.COB.31

因此點C是直線A5.與ZAOB的角平分線的交點.根據(jù)角平分線的性質可芳="=N7?

C/1]O/\OZ

12

過點C作OB1的平行線交。4于點M,則。M=2,CM==2.

因此點C在以M為圓心，半在為2的圓上運動由于cos?,3￡-?=cos(弧頁')=cosNC&。，由此當直線

AC相切于0M時，

NC&O有最大值，COSNC&O有最小值.設此時切點為C。，則MC°=2,MA2=7,

故COSNG,A0=￥.綜合上述，cosG，3￡一》的最小值為平.

故答案為：亞

7

【點睛】

與平面向量有關的最值問題，常見處理方法有兩種：

第一種：利用坐標進行轉化；

第二種：利用點的幾何意義轉化成軌跡問題求解.

例19.(2022.遼寧.一模)已知向量￡、5、c，且同=3,45,同=1,。=0,則忖+加一目的最小值為

【答案】734-l##-l+V34

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，建立直角坐標系，寫出I、B、。+5坐標，求出2終點軌跡，數(shù)形結合即可求解.

【詳解】

不妨設。=(3,0),5=(0,5),1+5=(3,5),

，=1,則2起點在原點，終點軌跡為單位圓/+丁=1,

...當a+6與"同向時，卜+B-c］最小，為1y+5?-1=.

故答案為:

例20.（2022.浙江.寧波市邦州高級中學高三開學考試）己知平面向量公，各和單位向量不，區(qū)滿足不=-e2，

1

pi-e1+^2|=3|G+^-e^,b=Aa+/jee2A+/j=2,當￡變化時，代的最小值為切，則皿的最大值為

0

【答案】I

【解析】

【分析】

UUUUL1UU1Llllll1UUUUUUUI

設4=。4=(-1,0),02=。8=(1,0),〃=OF=(x,y),由條件得出點尸的軌跡方程，又設b=OE,2q=OO.

uimuuii..uuin

即OE=+由條件可得E,F,。三點共線，根據(jù)幾何關系可得答案.

2

【詳解】

ULILIULlLtl1llliu

設q=OA=(-LO),02=08=(1,0),a=OF=(x,y)

111tl1uu

則o-q+e2=(x+2,y),a+ex-e2=(x-2,j?)

|FJIT||FITIT!-1

由+可=3卜+4_/卜則(x+2)?~+y2=9r[(x—2)9'+y2]

即點尸在圓(x-|j+y2='上.

iiurr///IT\uiuuiiuuuinuunumi..uiun

由人=A,a+〃q,22+〃=2,即b=Aa+—-y2e]j,2+5=1設/?=OE,2q=OO,即OE-AOFH—。。,由

222

2+^=1,則E,F,短三點共線.

當OELD尸時，內取得最小值m

2

故當￡＞尸與圓(x-|j+9=彳9相切時，也取得最大值.

4

如圖設圓心為由△“)￡：與AOCF相似

232

嗒嗡，即0ECF—x—=—

=^=923

2

例21.(2022?浙江?湖州中學高三階段練習)已知平面

向量祇5,乙滿足：卜-可=無5+1,同=同=1,貝中萬-5+W的最小值為

【答案】2&-1##-1+2夜

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標系，設弧=￡=(1,0),OB^b=[x,y),求出8的軌跡方程，再根據(jù)怩4+4的幾何意義

求其最小值.

如圖，在平面直角坐標系中，設。4=a=(l,0),O8=B=(x,y),則4(1,0),B(x,y),

則a-b=(x-l,y),|a-^|=ab+l^>^/(x-1)2+y2=x+l^>y2=4x,

即8的軌跡為拋物線：丁=4萬.

設4(3,0),則g=兩，3&-5=麗，

設"=HC，?.?同=1，故C的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓，

/.|3a-S+c|=|BC|,可看作拋物線上任意點B到以A'(3,o)為圓心，半徑為1的圓上任一點C的距離，

則忸C|2忸A[_l=J(x_3)2+y2_i=J(X-3)2+4X-1="(X-1)2+8-1N2>/5-1，當x=l時取等號.

故忻-B+q的最小值為2&-1.

故答案為：20-1.

例22.(2022?浙江?高三專題練習)己知心石、工是平面向量，工是單位向量.若/_47"+2"2=0，

t^-3be+2e=0<則/一2￡/+42的最大值為?

【答案】7

【解析】

【分析】

作詼=￡，麗=?，OE=e<OC=2e>分析可知則點8在以線段CE為直徑的圓。匕點A在以點C為

圓心，0為半徑的圓C上，可得/-27B+2片=|網(wǎng)麗。設NBCE=6,利用圓的幾何性質結合二次

函數(shù)的基本性質可求得二一癡石+22的最大值.

【詳解】

因為片-4力+2工Jo,則*2甲=2,即歸―24=也,

因為7_3尻工+2%=0-即倒一切.―2@=0,

作函=￡，OB=b，OE=e>OC=2e，則|12片同=0,

（h-e）（b-2^）=EB-CB=0,則

固定點E，則E為OC的中點，則點8在以線段CE為直徑的圓。上，

點A在以點C為圓心，及為半徑的圓C匕如下圖所示：

設NBCE=e,則,q=cose,

因為閾=2,OB=（CB-CO）2=CB2-2|CB||CO|COS6?+CO2=4-3COS2（9,

故J-2Z歷+2^4（Bq+及『+|^2=（cos，+0）2+4-3cos2〃

（J5Y

=-2cos，6+2&cose+6=-2cos。----+7<7,

I2J

當cos8=等時，等號成立，即/_打出+%2的最大值為7.

故答案為：7.

【點睛】

方法點睛：求向量模的常見思路與方法：

（1）求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應用。-2=I—"12，勿忘記開方：（2）

7￡=/=@或同=正，此性質可用來求向量的模，可實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉化；

⑶一些常見的等式應熟記：如僅土坂）=a±2ct'b+b,（〃+今（〃一石）=〃2-六等

例23.（2022?浙江?舟山市田家炳中學高三開學考試）已知向量）與萬的夾角為。，sin9=^,|a-S|=4,

7

向量c-a,c-B的夾角為言，|c-a|=26,則a-c的最大值是.

【答案】25

【解析】

【分析】

根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)正弦定理可求出。尸=近.記線段AC的中點為M,AB的中點N,在RtZ\PAN中，

可求出cosNPAB=義,sinZPAN=g，從而可求出cosZPAM=cosfNPAB+2]=，然后在^PAM中,

幣幣16）2百

根據(jù)余弦定理求出P"=7，從而可求出礪?反=兩；!5125.

4

【詳解】

如圖，作圓P,使得AB=4,sinNAO8=2^,

且點0在優(yōu)弧A8上，點C滿足AC_LBC,AC=2G，

則厲=￡,礪=反近=2,符合題意.

記線段AC的中點為M,

在AOAB中,由正弦定理,得。=用，

取AB的中點N,連接PN,在RtAPAN中，PA=OP=y/l，AN=2,

26

所以cos/PAB=萬,sinZ.PAN=萬

所以cosZPAM=cos(NPA8+^j=環(huán),

在△fAW中，由余弦定理，MPM1=PA1+AM2-2PA-AMcosZPAM=7,

HOM<OP+PM=2>J1,

uuuuuuu-----?--------1------------------1-----

因為+03=2%，OA-OC=CA'所以04=0時+5。,℃=0時_/。,

所以72=西.反=（兩彳可（麗彳司=麗2_；次

0

=|西［-3425,當且僅當點P在線段上時，等號成立

所以7"的最大值是25.

故答案為：25.

例24.(2022?浙江,模擬預測)已知平面向量萬,反d2滿足|不|=|5|=2,alb,\b+2c\=2,^(d-a)-(d+2b)<4,

則修+W|的最大值是.

【答案】7io+4##4+Vio

【解析】

【分析】

由已知條件可設萬=方=(2,0)石=麗=(0,2),c=OC,d=OD,-2b=OE.由已知可確定點C在以N(O,-1)

為圓心，1為半徑的圓上，D在以M(l,-2)為圓心3為半徑的圓內(含邊界)，則所求即為圓面M內一點與圓

P上一點之間的距離，從而可得答案.

【詳解】

ab=0''?aVb乂|：|=|Z>|=2,則可設1=。4=(2,0),5=0月=(0,2),

i5c=OC,d=OD,-2b=OE.由|5+2C|=2n5-1=1知C在以N(0,-l)為圓心，1為半徑的圓上,

取AE的中點為M(l,-2),

由(2_4>(2+25)=(而_)>(而_詼)=而.而=(祝+礪>(而+礪)

=-(瘋+麗)麗)=應2_忒.又AE=2B

所以(1_泊?(2+25)=面2_涼2=蠲2_544=>|。知區(qū)3

所以。在以M(l,-2)為圓心3為半徑的圓內(含邊界)，如圖所示.

作圓N關于x軸的對稱圓圓尸，其中P(0,l),

則五+2|=|2-(-心|表示圓面M內一點與圓P上一點之間的距離,

所以|^+2|=|2_(_^)|4|C'q=|MP|+z;+4=M+l+3=Vi^+4,

即憶+力的最大值為Jid+4.

故答案為：\/10+4.

例25.(2022?四川省瀘縣第四中學模擬預測(理))已知￡,坂是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量"滿

足R-4儂一2")=0,則同的最大值是.

【答案】苴

2

【解析】

【分析