本文格式為Word版，下載可任意編輯——信號(hào)與線性系統(tǒng)三四章習(xí)題答案第3章連續(xù)信號(hào)的正交分解

重點(diǎn)、難點(diǎn)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、正交函數(shù)

（1）兩函數(shù)正交條件

①兩實(shí)函數(shù)f1(t)和f2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交的條件：

??t2t2t1f1(t)f2(t)dt?0

②兩復(fù)函數(shù)f1(t)和f2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交的條件：

t1f1(t)f2*(t)dt??f1*(t)f2(t)dt?0

t1t2**式中，f1(t),f2(t)分別是f1(t),f2(t)的復(fù)共軛函數(shù)。

（2）正交函數(shù)集假使函數(shù)g1(t),g2(t)gn(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間

(t1,t2)內(nèi)滿足

?t2t1?o,i?jgi(t)gj(t)dt??

k?o,i?j?i則此函數(shù)集成為在區(qū)間(t1,t2)的正交函數(shù)集。假使在這個(gè)正交函數(shù)集之外不存在

g(t)(0??g2(t)dt??)

t1t2滿足等式

?t2t1g(t)gi(t)dt?0(i?1,2n)

則此函數(shù)集為完備正義函數(shù)集.

2．周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

任何周期為T的周期信號(hào)f(t)，若滿足狄里赫萊條件，則可展為傅里葉級(jí)數(shù)。（1）三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)

a0?f(t)???(ancosn?t?bnsinn?t)

2n?11

式中，??2?;ao,an,bn為相關(guān)系數(shù)，T2t0?Tf(t)dttT?02?Tan??tt0f(t)cosn?tdt

T02?Tbn??tt0f(t)sinn?tdtT0a0?

（2）指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

?f(t)?n????cenjn?t

1??jn?t,n?0,?1,?2,或f(t)??Ane2n???

?An?式中

2t0?T?jn?tf(t)edt?t0T1?cn?An

2與三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)比較，其相關(guān)系數(shù)存在如下關(guān)系：

?an?jbn,n?0?An??a0,n?0

?a?jb,n?0n?n?

3．非周期信號(hào)的傅里葉變換

傅里葉變換定義式：

正變換式F(j?)?????f(t)e?j?tdt

1反變換式f(t)?2?????F(j?)ej?td?

由于頻譜密度函數(shù)F(j?)為復(fù)函數(shù)，故可表示為

F(j?)?F(j?)e式中F(J?)是?的偶函數(shù)；?(?)是?的奇函數(shù)

2

j?(?)

4．周期信號(hào)的傅里葉變換

周期信號(hào)f(t)可表示為指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：

?f(t)??1A?nejn?t

n???2式中，??2?T,T為信號(hào)f(t)的周期。f(t)的傅里葉變換為

?f(t)??A?n?(??n?)

n?????式中An?22?T2f(t)e?jn?tTdt

?T

?或An?2TF0(j?)??n?

式中F0(j?)為單個(gè)非周期信號(hào)的傅里葉變換。

5．傅里葉變換性質(zhì)

（

1

）

線

性

F

?f1(t)??F1(j?)

F

?a1f1(t)?a2f2(t)??a1F1(j?)?a2F2(j?)

（2）延時(shí)特性F

?f(t?t0)??F(j?)e?j?t0

（3）移頻特性f(t)ej?ct?F(j??j?c)f(t)cos(?1ct)?2?F(j??j?c)?F(j?j?c)?（4）尺度變換f(at)?1jaF(?a)（5）奇偶特性實(shí)信號(hào)的頻譜函數(shù)、實(shí)部偶函數(shù)、虛部奇函數(shù)（6）對(duì)稱特性F(jt)?2?(??)

（7）時(shí)域微分dnf(t)dtn?(j?)nF(j?)3

f2(t)??F2(j?)則

F

?時(shí)域積分

?t??f(?)d???F(0)?(?)?1F(j?)j?dF(j?)d??jf(t)頻域積分?f(0)?(t)???f(j?)d?

??t（8）頻域微分?jtf(t)?（9）卷積定理f1(t)?f2(t)?F1(j?)F2(j?)f(t)?f2(t)?

1?F1(j?)F2(j?)?2?習(xí)題詳解

3.1已知在時(shí)間區(qū)間(0,2?)上的方波信號(hào)為

0?t???1,f(t)??

??t?2??1,?（1）如用在同一時(shí)間區(qū)間上的正弦信號(hào)來(lái)近似表示此方波信號(hào)，要求方均誤差最小，

寫出此正弦信號(hào)的表達(dá)式；

（2）證明此信號(hào)與同一時(shí)間區(qū)間上的余弦信號(hào)cosnt(n為整數(shù))正交。

正交函數(shù)集，兩函數(shù)的正交條件。

兩實(shí)函數(shù)f1(t)和f2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交的條件；

?????所以當(dāng)f(t)?2?t2t1f1(t)f2(t)dt?0

（1）設(shè)函數(shù)f(t)近似為c12sint

2?c120f(t)sintdt2??0sintdt

2???0sintdt??sintdt?2??2?01?cos2tdt2

?2?2?4?

4?sint時(shí)，方均誤差最小。

?2?cosntcosntd(nt)??d(nt)?0（2）?f(t)cosntdt??00?nn所以此信號(hào)與同一時(shí)間內(nèi)的余弦信號(hào)cosnt(n為整數(shù))正交。

4

3.2已知f1(t)?cost?sint,f2(t)?cost。求f2(t)在f1(t)上的分量系數(shù)c12及此二信號(hào)間的相關(guān)系數(shù)???。

分量系數(shù)c12與相關(guān)系數(shù)???的定義、算法。

c12分量系數(shù)

的計(jì)算公式c12??t2t1f1(t)f2(t)dtt2t1

?f(t)dt2相關(guān)系數(shù)???的計(jì)算公式

?12?分量系數(shù)

c12?t2t1f1(t)f2(t)dt12

?t2f2(t)dt??t2f2(t)dt??????t11????t12?2???0(cost?sint)costdt?2?0cos2dt??2?0cos2tdt??0sin2tdt022?2?costdt2?sin2t?02dt?1?2??1

1?cos2tdt?022?相關(guān)系數(shù)

?12??t2t1f1(t)f2(t)dt12??2?0(cost?sint)costdt12

?t2f2(t)dtt2f2(t)dt??t12????t11???2?(cost?sint)2dt2?cos2tdt??0????0?12?2?1?cos2t?2??(1?sin2t)dtdt??0??2?0?

????2???212??2??22

3.3證明兩相互正交的信號(hào)f1(t)和f2(t)同時(shí)作用于單位電阻上產(chǎn)生的功率，等于每一信號(hào)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的功率之和。以f1(t)和f2(t)分別為以下兩組函數(shù)來(lái)驗(yàn)證此結(jié)論。

5

（1）f1(t)?cos?t,f2(t)?sin?t

0（2）f1(t)?cos?t,f2(t)?sin(?t?30)

功率的定義，正交函數(shù)。

1T功率P??2Tf2(t)dt

T?2和信號(hào)f(t)的功率為

TTT1T1222P??2Tf(t)dt??2Tf1(t)dt??2Tf2(t)dt?2?2Tf1(t)f2(t)dt

??T?2T?222T2T?2由于f1(t)、f2(t)正交，所以

?2f1(t)f2(t)dt?0

所以P?P1?P2，即兩相互正交信號(hào)的功率等于每一信號(hào)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生功率之和。

1T（1）易知f1(t)與f2(t)相互正交，由P??2Tf2(t)dt，得

T?2f1(t)功率為

P1?1?2cos?tdt???2?12?2?cos?tdt2??01?2f2(t)功率為

P2?1?2sin?tdt???2?12?2?sin?tdt2??01?21T2和信號(hào)功率為P??2T?f1(t)?f2(t)?dt

T?21?2?1?2?

??(cos?t?sin?t)dt

??2?6

2?0(cos?t?sin?t)2dt

?1?P1?P2

所以結(jié)論成立。

（2）易知f1(t)，f2(t)不相互正交

1?12cos?tdt?2????21?P2?sin2(?t?300)dt?2???12?002?(sin?tcos30?cos?tsin30)dt?02?P1??12??2?0313(sin2?t?cos2?t?sin?tcos?t)dt4421221?12?20而Pcos?t?sin(?t?30)?dt?f1(t)?f2(t)?dt??0?1??????2?212?2200??cos?t?sin(?t?30)?2cos?tsin(?t?30)?dt???02?12???cos2?t?sin2(?t?300)?sin(2??300)?sin300????dt2?033??0??P1?P222?即不滿足題意，所以題目結(jié)論成立。

3.12利用傅里葉變換的移頻特性求圖3.11所示信號(hào)的傅里葉變換。

傅里葉變換的移頻特性。

若F

?f1(t)??F1(j?)，F(xiàn)

f(t)?f2(t)ej?ct的傅里葉變換為

F(j?)?F1(j??j?c)

由移頻特性來(lái)求各圖的頻譜函數(shù)。

圖3.11

(a)圖(a)峰值一樣為矩形包絡(luò)，由圖(a)可知

7

f1(t)?cos5t??(t??)??(t??)?

(G2?(t)??(t??)??(t??))

由于G2?(t)?2?Sa(??)由傅里葉變換的移頻性質(zhì)知

f(t)cos(?0t)?所以f1(t)?11F?j(???0)??F?j(???0)?221?2??Sa??(??5)??Sa??(??5)??2F1(j?)???Sa??(??5)??Sa??(??5)??

(b)圖(b)為三角形包絡(luò)，由圖(b)可知

f2(t)?cos5t?(1?2??t???()，由移頻性質(zhì)得

a2?2t)2?1?F2(j?)???2Sa2???(??5)2?Sa2?(??5)?2??(c)圖(c)為矩形包絡(luò)，由圖(a)右移2?后得到，所以

f3(t)?cos5t??(t??)??(t?3?)?

利用時(shí)延特性

??(t??)??(t?3?)??2?Sa(??)ej2??

所以F3(j?)??Sa??(??5)??Sa??(??5)?e

3.15求以下傅里葉函數(shù)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)。（1）F(j?)??(???0)??(???0)（2）F(j?)??Sa(（3）F(j?)????2?j?

??2)

1

(a?j?)2（4）F(j?)??2?2

傅里葉反變換以及傅里葉變換的基本性質(zhì)。

能直接使用傅里葉反變換的就直接求，不能用的可利用傅里葉的一些基本

8

性質(zhì)來(lái)解答，如對(duì)稱性。

（1）利用定義

f(t)??（2）由于G2(t)??Sa(12?j?t?(???)??(???)ed???cc????sin?ct1?j?t(ec?ej?ct)?2?j?w?)2所以f(t)??(t?)??(t?)

??22（3）由于e??t?(t)?1

a?j?由頻域微分特性，得(jt)e??t?(t)??j2(a?j?)1

(a?j?)22j?即te??t?(t)?（4）由于sgn(t)?利用頻域微分特性(jt)sgn(t)?即tsgn(t)?2j?2

?2?2所以f(t)?tsgn(t)

3.16試用以下特性求圖3.12所示信號(hào)的傅里葉變換。

圖3.12

（1）用延時(shí)特性與線性特性；（2）用時(shí)域微分、積分特性。

9

傅里葉變換的延時(shí)特性，若f(t)?F(j?)則f(t?t0)?F(j?)e?j?t。

線性特性：

若f1(t)?F1(j?)f2(t)?F2(j?)。則a1f1(t)?a2f2(t)?a1F1(j?)?a2F2(j?)微分特性：

若f(t)?F1(j?)，則積分特性

若f(t)?F1(j?)，則?tdf(t)?j?F(j?)dt1F(j?)j???f(t)dt?（1）由圖3.12(a)易得信號(hào)表達(dá)式

f(t)?G2(t?2)?G2(t?2)

①由G?(t)??Sa(??2)

得G2(t)?2Sa(?)又由延時(shí)特性得G2(t?2)?2Sa(?)ej2?，G2(t?2)?2Sa(?)ej2??j2?

所以F(j?)?2Sa(?)e?2Sa(?)e?j2?

?4Sa(?)cos(2?)?2?(sin3??sin?)

②f(t)??(t?3)??(t?1)??(t?1)??(t?3)

f?(t)??(t?3)??(t?1)??(t?1)??(t?3)?ej3??ej??e?j??e?j3?

?2?(sin3??sin?)j?

2即f?(t)??(sin3??sin?)?j?2(sin3??sin?)

所以f(t)?（2）圖3.12(b)：

?f(t)?G2(t)cos由頻移特性得

?2t

10

1H(jn?1)?jn?1C11??11?jn?11?jn?R?jn?1C輸出頻率響應(yīng)為

r(jn?1)?H(jn?1)e(jn?1)?當(dāng)n?0時(shí)，r0(t)?11?n2?2arctann?4A2(1?n)?2A?

當(dāng)n?2,4,6……時(shí)，代入得各頻率分量復(fù)振幅。將各分量轉(zhuǎn)換到時(shí)域并經(jīng)疊加得總輸出為

r(t)?2A??4A3?1?4?2cos(2?t?arctan2?)

?

4A15?1?16?2cos(4?t?arctan4?)?…

4.2如圖4.2(b)所示的周期性矩形脈沖信號(hào)，其頻率為f?10kHz，加到一諧振頻率為

f0?1的并聯(lián)諧振電路上，以取得三倍頻信號(hào)輸出。并聯(lián)諧振電路的轉(zhuǎn)移

2?LC?30kHz函數(shù)為H(j?)?1??1?jQ(?0)?0?，假使要求輸出中其他分量的幅度小于三次諧波分量幅

度的1%，求并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因素Q。

品質(zhì)因素Q的定義以及與諧振電路的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(j?)之間的關(guān)系?；?/p>

與三次諧波的輸出幅度和求法。

Rml?0.01Rln3Rln?IH

16

圖4.2

i(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為

A2A111?(cos?t?cos3?t?cos5?t?cos7?t?...)2?357由于該電路的主要輸出為30kHz的正弦信號(hào)，即三次諧波分量，所以回路應(yīng)對(duì)三次諧

i(t)?波調(diào)諧。又由于諧振曲線對(duì)稱，且基波幅度大于五次諧波，所以只需考慮基波的輸出幅度是否滿足要求。

H3?1??1?jQ(0?0)?0?0?1

Rm3?Im3?H3?2A2A?1?3?3?H1?1?1???0??1?jQ?3?0?1??0?0?3??181?Q2(?)23

?Rml?Iml?H1?2A64?1?Q29

由題意，應(yīng)有Rml?0.01Rm3，即

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2A?1?Q21?Q2649?0.012A3?64?(300)2922由于(300)?1?(300)所以Q?264(300)29Q?112.5

4.6一帶限信號(hào)的頻譜如圖4.5(a)所示，若此信號(hào)通過(guò)如圖4—5(b)所示系統(tǒng)。試?yán)L出A，B，C，D各點(diǎn)的信號(hào)頻譜的圖形。系統(tǒng)中兩個(gè)理想濾波器的截止頻率均為?c，尋常內(nèi)傳輸

值為1，相移均為零。?c??1。

圖4.5

輸出信號(hào)的頻譜響應(yīng)，等于輸入信號(hào)的頻譜響應(yīng)與轉(zhuǎn)移函數(shù)之積。R(j?)?E(j?)?H(j?)

A，B，C，D各點(diǎn)的信號(hào)頻譜圖形如圖4.6所示。

18

圖4.6

4.8求e(t)?sin2?t的信號(hào)通過(guò)圖4.9(a)所示的系統(tǒng)后的輸出。系統(tǒng)中理想通濾波器的2?t傳輸特性如圖4.9(b)所示，其相位特性?(?)?0。

輸出信號(hào)的頻譜響應(yīng)等于輸入信號(hào)的頻譜響應(yīng)與轉(zhuǎn)移函數(shù)之積。

圖4.9

R(j?)?E(j?)?H(j?)

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R(t)?F?1?R(j?)?

首先對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，由傅里葉