2022年遼寧高考數(shù)學真題及答案

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合［■，則日()

A.國B.日c.aD.國

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合日后可求目.

［詳解］I-I,故

故選：B.

2.［三.()

A.I2HJB.c.目D.臼

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求「X1

［詳解］■—■

故選：D.

3.中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，縣哲學的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖

面圖，?■是舉，r~^是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為［，若目是公差為0.1的等差數(shù)列，且直

線回的斜率為0.725,則叵］()

A

【答案】D

【解析】

,則可得關(guān)于區(qū)的方程，求出其解后可得正確的選

，則I-?

,且

所以Ix1，故目

故選：D

4.己知，若IXI，則叵］（)

A.0B.SC.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得

【詳解】解：［X］,|_I，即，解得叵］,

故選：C

5.有甲乙丙丁戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排

列方式有多少種（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解

【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，

有日種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個

位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5

名同學共有：種不同的排列方式，

故選：B

6.角國滿足I■，則（）

A.I一■B.I一—

C.IxID.IxI

【答案】D

【解析】

【分析】由兩角和差g正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】由已知得：

叩：—■

所以IX■,

故選：D

7.正三棱臺高為1,上下底邊長分別為回和叵],所有頂點在同一球面上，則球的表面

積是（）

A.日B.回C.EE1D.國

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面目半徑a,再根據(jù)球心距，圓面半

徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑□，所以[xI,即

三],設(shè)球心到上下底面的距離分別為a,球的半徑為四，所以1x?

IX|,故|X|或|X|,即|[或

■一■,解得目符合題意，所以球的表面積為【一■

故選：A.

8.若函數(shù)臼的定義域為R,且r--■，則

（）

A.□B.SC.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)a的一個周期為回，求出函數(shù)一個周期中的

IX■的值，即可解出.

[詳解]因為■■，令可得，

[,所以IX|,令國可得，I,即

[X],所以函數(shù)叵]為偶函數(shù)，令國得，

■rU■,即有■,從而可知

I,故I,即

IxI,所以函數(shù)目的一個周期為可.

因為^^一■,,

?■一■,[XI,所以

一個周期內(nèi)的J.由于22除以6余4,

所以

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.函數(shù)■—■的圖象以□中心對稱，則（）

A.叵1以在□單調(diào)遞減

B.日曰在|x]有2個極值點

C.直線S是一條對稱軸

D.直線國是一條切線

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出.

【詳解】由題意得：，所以日,目，

即[xI，

又目，所以日時，S,故

對A,當|x|時，,由正弦函數(shù)目圖象知日在

□上是單調(diào)遞減；

對B,當閆時，I—I,由正弦函數(shù)目圖象知日只

有1個極值點，由解得叵]，即叵|為函數(shù)的唯一極值點;

對C,當區(qū)I時，I區(qū)］,直線□不是對稱軸;

對D,由[XI得:

解得或

從而得:目或"I

岡處的切線斜率為

所以函數(shù)日在點

切線方程為:[xI即1HI-

故選:AD.

10.已知0為坐標原點，過拋物線的焦點廠的直線與。交于A,6兩點,

點4在第一象限，點目，若N3，貝!J()

A.直線a的斜率為aB.IxI

C.IXID.1_

【答案】ACD

【解析】

【分析】由r^i及拋物線方程求得目,再由斜率公式即可判斷A選項:

表示出直線a的方程，聯(lián)立拋物線求得,即可求出□判斷B選項；由拋

物線的定義求出叵］即可判斷C選項；由心□,NI求得日

口為鈍角即可判斷D選項.

【詳解】

對于A,易得區(qū)],由可得點岡在臼的垂直平分線上，則日點橫坐標

為區(qū)I

代入拋物線可得Ix|，則IX|,則直線區(qū)的斜率為

SA正確;

對于B,由斜率為0可得直線3的方程為IX|,聯(lián)立拋物線方程得

設(shè)目，則|x[,則叵]，代入拋物線得目

解得叵|,則|x|,

則[,B錯誤；

對于C,由拋物線定義知：[,C正確；

對于I),,則

口為鈍角,

又

則NJ為鈍角，

又■一F■,則U一■,D正確.

故選：ACD.

11.如圖，四邊形目為正方形，目平面日，,記

三棱錐N1?-1的體積分別為國，則（）

B.日

D.LBJ

【答案】CD

【解析】

【分析】直接由體積公式計算a連接回交叵）于點回，連接口由

設(shè)1，因為日平面目，口，則

,連接回交叵]于點B，連接1*1,易

得N1

又日平面目，山平面IX|,則,又

平面㈢，則EJ平面L^J

又，過目作于日，易得四邊形日為矩形，則

則

I

,則【x■\X1

則,則日目,故

A、B錯誤；C、D正確.

故選：CD.

12.對任意x,y,IXI，則（）

A.Ix?B.

C.D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.

【詳解】因為IXI（日R）,由Ix■可變形為,

,解得,當且僅當N1時,

,當且僅當日時,口，所以A錯誤，B正確;

由可變形為,解得[,當且僅當

三|時取等號，所以C正確;

因為U變形可得EHJ，設(shè)r^i，所以

,因此

,所以當IX|時滿足等式，但是NI不

成立，所以D錯誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機變量才服從正態(tài)分布目，且\一■,則

［X】.

【答案】曰##曰.

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因為1^1,所以I一■,因此

故答案為：叵1.

14.寫出曲線過坐標原點的切線方程：

【答案】①.S②.a

【解析】

［分析】分日和國兩種情況，當日時設(shè)切點為日，求出函數(shù)目導(dǎo)函數(shù)，

即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出可，即可求出切線

方程，當a時同理可得；

【詳解】解：因為目，

當臼時口，設(shè)切點為目，由叵］，所以a,所以切線方程為

L—1

又切線過坐標原點，所以L_EJ,解得叵］,所以切線方程為

|X|，即岡；

當回時TXI,設(shè)切點為IX|，由叵］,所以國,所以切線

方程為r,

又切線過坐標原點，所以［X］，解得國，所以切線方程為

|XI,即區(qū)］；

故答案為：叵］;區(qū)］

15.已知點IxI，若直線日關(guān)于山的對稱直線與圓

I一■存在公共點，則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】國

【解析】

【分析】首先求出點網(wǎng)關(guān)于匹I對稱點回的坐標，即可得到直線」的方程，根據(jù)圓心到直

線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：國關(guān)于目對稱的點的坐標為,目在直線回

上，

所以LrJ所在直線即為直線三,所以直線目為目，即L―;

圓I,圓心IXI,半徑叵］,

依題意圓心到直線」的距離

即■一■，解得其］,即

故答案為：

16.已知橢圓叵］，直線/與橢圓在第一象限交于46兩點，與x軸，y軸分別交

T-M,N兩點，且「一■,則直線/的方程為

［答案］IX?

【解析】

【分析】令國的中點為回，設(shè)目，目，利用點差法得到目

設(shè)直線,叵1,目，求出回、目的坐標，再根據(jù)區(qū)I求出日、a,

即可得解;

【詳解】解：令叵1的中點為日，因為IX|,所以［

設(shè)IX1,|X|,則E目

所以,即

所以,即目，設(shè)直線國,日,

令國得日令叵］得區(qū)］即|x|與］，所以目

即S,解得a或□（舍去）,

又【X1,即,解得日或目（舍去）,

所以直線,即I1■

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知0為等差數(shù)列，□是公比為2的等比數(shù)列，且1一■.

（1）證明：臼；

（2）求集合I―?中元素個數(shù).

【答案】（1）證明見解析；

（2）a.

【解析】

【分析】（1）設(shè)數(shù)列S的公差為可，根據(jù)題意列出方程組即可證出；

（2）根據(jù)題意化簡可得日，即可解出.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列S的公差為日，所以，[I,即可解得，目

所以原命題得證.

【小問2詳解】

由（1）知，E，所以■,即IXI

亦即IX■，解得,所以滿足等式的解r^i,故集合

~~~■中的元素個數(shù)為IXI.

18.記目的三個內(nèi)角分別為4B,C,其對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長

的三個正三角形的面積依次為日，已知

(1)求日的面積；

(2)若日,求b.

【答案】(1)g

(2)g

【解析】

【分析】(1)先表示出耳，再由求得IXI，結(jié)合余弦

定理及平方關(guān)系求得山，再由面積公式求解即可;

(2)由正弦定理得[xI,即可求解.

【小問1詳解】

由題意得,則

即?k?，由余弦定理得|x]，整理得r^i，則N1

又回，

則|\[x],貝ij[zx：|

【小問2詳解】

由正弦定理得：|x|,則

19.在某地區(qū)進行流行病調(diào)查，隨機調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)

據(jù)頻率分布直方圖.

頻率

組距

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

(2)估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間目的概率；

(3)己知該地區(qū)這種疾病的患病率為E3，該地區(qū)年齡位于區(qū)間口的人口占該地區(qū)

總?cè)丝诘?,從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間回，求此人患該種疾病的

概率.(樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到

0.0001)

【答案】(1)日歲；

(2)叵I；

(3)日.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；

(2)設(shè)叵］｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間目｝，根據(jù)對立事件的概率公式

IX■即可解出；

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【小問1詳解】

平均年齡

(歲).

【小問2詳解】

設(shè)a｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間目｝，所以

【小問3詳解】

設(shè)a任選一人年齡位于區(qū)間日，a任選一人患這種疾病習,

則由條件概率公式可得

20.如圖，a是三棱錐鼻1的高,IK1,E良a的中點.

c

￡

(1)求證：目平面3；

(2)若I=■，月，目，求二面角Ix1的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)日

【解析】

【分析】(1)連接區(qū)并延長交叵］于點四，連接回、臼，根據(jù)三角形全等得到W),

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到日為國的中點從而得到日，即

可得證；

(2)過點回作目，如圖建立平面直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值,

再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；

日小問1詳解】

證明：連接a并延長交叵］于點日，連接回、回，

因為a是三棱錐N1的高，所以日平面回，r^i平面目，

所以1xf、IXJ,

又,所以I―■,即NI,所以I一?,

又后1，即r^i,所以1^--,

所以1?

所以三1，即1—■，所以因為國的中點，又回為目的中點，所以

又回平面目,方)平面包,

所以回平面日

【小問2詳解】

解：過點臼作口，如圖建立平面直角坐標系,

因為目口，所以

所以N1，所以IX|,|X|,|X|,IX|,所以

PH-

則，IX■

設(shè)平面目四法向量為三］,則EH]，令閆，則

目，回，所以IX|

設(shè)平面臼的法向量為,則，令國，則

日目,所以[X]

所以

設(shè)二面角1X1為回，由圖可知二面角1X|為鈍二面角,

所以Ix?,所以|X|

故二面角[-1的正弦值為目；

21.設(shè)雙曲線[xD的右焦點為目，漸近線方程為目.

（1）求C的方程；

（2）過尸的直線與。的兩條漸近線分別交于45兩點，點Ix?在。上，

且1―1.過戶且斜率為3的直線與過0且斜率為日的直線交于點M,請從

下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個條件成立：

①材在日上；②三I；③1x1.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】（1）國

（2）見解析

【解析】

【分析】（1）利用焦點坐標求得H的值，利用漸近線方程求得S的關(guān)系，進而利用國

的平方關(guān)系求得S的值，得到雙曲線的方程；

（2）先分析得到直線H的斜率存在且不為零，設(shè)直線47的斜率為人.欣加,外）,由③

14M=|5網(wǎng)等價分析得到EH3；由直線臼和叵]的斜率得到直線方程，結(jié)合

雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線％的斜率區(qū)|，由②三]等價轉(zhuǎn)化為

日，由①臼在直線臼上等價于IX■,然后選擇兩個作為已知條件一

個作為結(jié)論，進行證明即可.

【小問1詳解】

右焦點為日，二國，：漸近線方程為目，，叵I,日

[,:.曰,/.IXI.

...C的方程為:H

【小問2詳解】

由已知得直線a的斜率存在且不為零，直線a的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線LrJ的斜率存在且不為零；

若選①③推②，則日為線段凹的中點，假若直線LrJ的斜率不存在，則由雙曲線的對稱

性可知日在目軸上，即為焦點回，此時由對稱性可知網(wǎng)、日關(guān)于可軸對稱，與從而國,

已知不符；

總之，直線a的斜率存在且不為零.

設(shè)直線a的斜率為日，直線a方程為fx?,

則條件①臼在目上，等價于nW■；

兩漸近線的方程合并為三I,

聯(lián)立消去y并化簡整理得：I一?

設(shè)IXI，線段中點為日，則

設(shè)IX|,

則條件③r^i等價于

移項并利用平方差公式整理得:

，即

即IXI

由題意知直線目的斜率為叵］，直線叵］的斜率為s,

/.由,

I

所以直線叵1的斜率

直線J，即

代入雙曲線的方程，即Ix1中,

解得E的橫坐標：IXI

???叵1-

???條件②N1等價于1_?,

綜上所述：

條件①臼在國上，等價于[x1；

條件②目等價于日；

條件③1x1等價于；

選①②推③：

由①②解得：[，，③成立;

選①③推②：

由①③解得：國,臼’

日，，②成立；

選②