大招21凹凸反轉

大招總結

說到凹凸反轉這個方法，估計有不少同學也是略知一二.在2014年，全國1卷(理科)

導數壓軸就考到一個比較復雜的恒成立證明問題，當年官方標答的解法就用了凹凸反轉.在

本講中，我們將詳細介紹一下這個方法.

題型及處理方法：

題型1：式子比較復雜的恒成立證明

例如，要證明/(力>0,而這里/(X)又比較復雜，直接分析其單調性與值域比較困難,

這時可以考慮將/(x)>0通過一些手段等價轉化為〃(x)>g(x),如果此時可以容易求出

A(x)最小值〃(西)=〃2與g(x)最大值g(W)=M,而且容易得出(或者mNM

且x產9)，那么就可以說明〃(x)>g(x),即〃x)>0.

題型2:比較復雜的恒成立(存在)求參

這里為了更為通俗易懂，咱們以一個簡單的例子來說明這個方法的原理.

r2+2x+3

例如，VxwR,-X<一?二成立，則。的取值范圍為.

e

對于此題，如果將原式轉為—xe—+2X+3,可以很容易判斷出f(x)=-xex+a和

g(x)=d+2x+3單調性，且可以發(fā)現他們都在x=-l處取得極值(如上圖所示)，所以要

使原不等式成立，只需/(—l)<g(—1)即可，即e*“<2,?<l+ln2.

不難看出，這種做法其實就是將原式等價變形，使得不等號左右兩側函數形成“頂對頂”

的情形，進而解出參數范圍.而如何構造出這樣的“頂對頂”函數，這就需要對常見的函數

圖像有一些了解.在這一講，我們會簡單介紹一些常見的函數模型作為引導.

常用基本函數模型：

基

本erX

eA-%x-exxex

模X7

型

d

圖

■jL

像4

r

部

分

同

e*-2xlx2-evev

類(x+l)ev

x+12x+l

型e2'-JCx-e2v

^2.r+lev+l

函xe2r+l

ex-2x2v

數2x-eX

舉

例

基

本InxX

x-lnx\nx—xxlnx

模X\nx

型

￥y

圖^

—

像

部

分

同

2x—\nx

\nx-x2

類

x-ln(2x+l)InxX

型(x-l)lnx

ln(2x+l)-xx+1In(x-l)

函

x2-Inx

\nx-2x

數

舉

例

這里只給出了部分函數，可以對初學者起引導作用，而在實際解導數壓軸題的時候，所

用到的函數模型，遠不止這些.例如對勾函數，二次函數，三角函數，或者各種組合函數，

只要研究起來比較方便，都可以用來解題.

凹凸反轉法屬于一個嘗試性方法，對于基本方法難以處理的形式復雜的式子，可以考慮

使用此法.但要想靈活應用，就得熟知各種基本函數模型和一些基礎的極限知識，要在短時

間內湊出口凸函數，并且要在短時間內判斷出此法能否成功解題.如果能成功，那在考場上

絕對是大賺.

典型例題

例1.(2014.全國高考真題(理))設函數〃x)=ae'lnx+—,曲線y=/(x)在點

X

(1J(1))處的切線方程為y=e(x—l)+2.

⑴求a,b.

⑵證明：/(%)>1.

解(1)”=1,b=2.

(2)方法1：(凹凸反轉)：

2

即證：evlnx+—ev-1>1

x

左右同時除以e\讓原式中的元素變得熟悉，即lnx+2>4.

exe

2x

此時，如果左右同時乘以X,會發(fā)現不等式左右兩側都是基本的凹凸函數.^lnx+->7.

接下來，分析不等式左右兩側函數最值即可.

2

令g(x)=xlnx+-,易得g(x)2g

e

y]

令〃(x)=1,x>0,易得〃(x)?秋1)=一.不能同時取“=”

即g(x)>〃(x)

2

所以e'lnx+-e'T〉1

X

注意：正式的解答過程中，得求導分析g(x),/z(x)單調性，才能得出最值.

方法2：對于此題，同構也是不錯的選擇，這里不再贅述.

例2.(2018.全國高考真題(文))已知函數〃x)=一~—

(1)求曲線y=/(x)在點(0,-1)處的切線方程；

(2)證明：當時，/(x)+e>0.

解:(1)略

(2)方法1：(常規(guī)構造函數)

當aNl時，/(x)+e>(x2+x-l+eJt+l)e_x.

令g(x)=f+x—1+e'",則g，(x)=2x+l+ev",gff(x)=2+ev+l>0.

當x<—l時，g'(x)<g'(—l)=0,g(x)單調遞減;

當尤>—1時，g'(x)>g'(—1)=0,g(x)單調遞增；

所以g(x)2g(—1)=0

Hltt/(x)+e>0.

方法1:(凹凸反轉)

..../\ax~+x—1%2+X-1

當a型時，〃x)+e=F—+此+e.

ex

.,__x~+x—1八

故只需x證：----；—+e>0.

e

分離為熟悉的函數，即證：￥+工-1?一尸.

可以看出，左右同時加x,不等式左右兩邊即為常見的基本凹凸函數模型.

接下來，檢驗左右兩側最值即可.

即證/+2%-12%-6川

令p(x)=f+2x-l,易得〃(x)2〃1)=-2.

令q(x)=x—e。易得q(x)Wq(—1)=—2.(這里卷面書寫得求導說明下函數單調性，再

得出最值)

BP/?(%)>-2>^r(x),刀=一1時取"="

綜上：當aNl時，/(x)+e>0.

e

例3.當時，證明：％o2e@>lnx+l.

這已經是第三個例題了，我們寫一個正規(guī)的過程吧.

e胃登

解：證明：由于x>(),故當時，x2eftV>x2e3,故只需證無?e3>mx+l

er

e3lnx+1

>

等價于證：~x3

ex

z、eT

令"x)=下x>0,則((x)=

當xe(o,m時，r(x)<0,單調遞減;

當時，r(x)>0,/(x)單調遞增；

所以=.

22

人/、lnx+1，/、x-3x(lnx+1)-2-3Inx

令g(x)=1T—g(x)=------------'

(_2\

3

當尤E0,e時，g'(x)>(),g(x)單調遞增；

\/

(2、

當e3,+oc時，g<x)<0,g(x)單調遞減;

(二、e2

所以g(x)?ge3=—.

綜上，當x>0時，〃x)>g(x).

、e

所以,。之§時,x2eav>lnx+l

例4.(2021.湖北模擬)已知函數/("=千'其中e=2.71828…為自然對數的底數.

(1)求/(X)的單調區(qū)間；

(2)e'—2xln龍一米一120對Vx>0恒成立，kmM-2,證明：A>1.1.

解方法1法1)U(x)=>e；e'+l="(x_i+eT),

易證當xwO時，e'>x+l,則e-*>—x+l,即e-'+x-l>。,

所以/'(x)>(),故在(-8,0),(0,加。)上單調遞增;

ex-l

(2)由題意得Vx>0,--------2\nx>k,

x

e'—1

令尸(x)=---------21nx,要證即證產

2冗?e'—e"—2x+1

令g(x)=x?e'-e"-2x+l,則g'(x)=xe"-2,g"(x)=(x+l)?e">0,

所以g'(x)在(0,m)上單調遞增，又以(0)=—2<0,g'(l)=e-2>0.

2

故*?0,1),使得g'U)=O,即e%=—,

所以Vxe(O,Xo),有g<x)<0,g(x)單調遞減，

Vxe(x0,-H?),g<x)>0,g(x)單調遞增.

所以g(x)?g(xo),g(0)=0,

/、23A〉。,

g(x。)="0,e"—e'。—2XQ+1=2-------2/+1<0,g

（3）

所以存在％€X,-

o，使得g（玉）=°，即9=?；

且滿足Vxe(O,x,),F(x)<0,E(x)單調遞減；

Vx€&,+o)),F(x)>o,尸(x)單調遞增；

■-11

所以F(x)NR(xJ=———21nx-21nXj;

X]X—1

12

令=-21nx,則--<0,故故x）單調遞成

x-lif

33=2-n|,

又X]</,所以〃?)〉/?

(33、333?°

則只需證明2l—ln—>l.l=ln-<0.45——<e'0.45一<e9,

2-222>

20

Q（3、⑻9

又e>§=2?6,可先證明-<,又35=243,28=256,則35<28,

3

219、20\21(3、208\9

所以33°<248=,所以5<<e9,證畢！

(IJ<0-(1)<?7737

注：關于20—lng）>l.l=lng3<0.45的證明下面再給出一種證法：

2

由對數均值不等式（需要證明）得即1113-1112<一,

In3-ln26

13

又一<0.452,所以In二=ln3—ln2<0.45,證畢！

62

方法2凹凸反轉

x>0,，要證原式

el-1

只需要------21nx-攵N0

X

稍作變形^^^-x+x-21nxNk恒成立

X

..x-l/、

構造g(x)=―e；——X,g'(x)=--------------

XX

由單調性可知gGL=g⑴=e_2

2

構造根(x)=x-21n九，m'(x)=1—

x

由單調性可知加(力,皿=2-21n2

因此Ave—2+2—21n2=e—21n2*1.3

因此爆ax>1」

-jr~Z7Y_3

例5.(2021春匯川區(qū)校級月考)已知函數/(x)=xlnx,g(x)=-—-~-

(1)求〃力的最小值；

(2)證明：對一切xe(0,+oo),者除Inx>一7---成立.

解⑴/")的定義域是(0,+為)，

/"(x)=lnx+l,

令r(x)>o,解得：尤>：,

令/'(x)<0,解得：0<x<1,

故/")在(0,j遞減，在1%+8)遞增，

函數/(x)的最小值=一:；

(2)凹凸反轉

JQ2

證明：問題等價于證明xlnx〉/一1,xe(0,+8),

由(1)知道/(X)的最小值/=；

x*21—X

設〃(x)=/_jxe(0,+oo),則

故〃(x)在(0,1)遞增,在(1,+8)遞減，

易知〃(x)m”=〃(l)=-J

/、12

故對一切xe(0,+8),都有l(wèi)nx>-Y---成立.

7eex

總結：

在例1中，利用原式中僅有的各種“元素”，通過簡單變形就實現了凹凸反轉.在例2中，

在原式的簡單變形的基礎上，給原不等式的左右兩邊同時加(減)某個函數，實現凹凸反

轉.在例3中，在原式的簡單變形的基礎上，給原不等式左右兩邊同時乘(除)某個函數,

實現凹凸反轉.這正是實現凹凸反轉的三種最基本的常用手段.

在嘗試過程中，盡量保證對所湊出的函數比較熟悉，這樣可以在較短時間內判斷此法能否成

功解題.

自我檢測

1.(高考真題)已知函數/(力=恁"-1!1%-1.

(D設x=2是/(X)的極值點.求“，并求〃力的單調區(qū)間;

(2)證明：當。2：時，/(x)>0.

答案：

(1)略

(2)證明：當時，/(x)>ev''-lnx-1.

故只需證：e'1—Inx—10.即證：e'1-x—l^lnx-x.

令g(x)=e'T-1一1,x>0,則g'(x)=ei-l.

當x?O,l),g'(x)<0,g(x)單調遞減;

當x?l,+oo),g'(x)>0,g(x)單調遞增；

即g(x)之=.令〃(x)=ln%_x,則.

當xe(O,l),“(尤)>0,人⑺單調遞增；當XG(1,+8),〃'(X)<0,〃(x)單調遞減；

gp/z(x)</z(l)=-l.gpg(x)>-l>//(%),當x=l時取“二”

所以，當時，/(x)>0.

另外，此題用隱零點、放縮、同構等方法都可以解決，都是非常不錯的方法，請讀者自行嘗

試.

2.(高考真題)已知函數/(x)=e'-ln(x+w).

(1)設x=0是/(%)的極值點，求肛并討論“X)的單調性；

(2)當機〈2時，證明f(x)>0.

答案：

(1)略

(2)證明：當znW2時，/(x)=ev-ln(x+m)>e'-ln(x+2).

故只需證：e"—ln(x+2)>0.即證：e*—x>ln(x+2)—x.

令g(x)=e'-x,x>-2,貝口(力=6*-1.

當x?-2,0),g'(x)<0,g(x)單調遞減;

當XG(0,+oo),g'(x)>0,g(x)單調遞增；即g(x)?g⑼=1.

11-X—1

令〃(x)=ln(x+2)-x------1=-----

x+2x+2

當2,-1),〃'(x)>0,單調遞增；

當xe(—1,”)，"(x)<0,〃(x)單調遞減；

即〃(x)V〃(一l)=l.不能同時取“=”所以g(x)>〃(x).

綜上，當機42時，f(x)>Q.

3.(高考真題)設函數“x)=e2x-alnx.

(1)討論/(x)的導函數/'(力的零點的個數.

(2)證明：當。>0時/(x)N2a+aln—.

答案：

(1)略

2

(2)證明：即證e~"-alnxN2〃+aln—.

a

2

等價于證：e2x-2ax>a\nx-2ax+2a+a\n—.

a

令g(x)=e2'—2以，x>0,貝ij/(%)=2。2,一2。.

“(八Ina

當T。,方,g'(x)<0,g(x)單調遞減；

\naIn<7

當"------,4-oo,g'(x)>0,g(x)單調遞增；即g(x"g=a-a\na.

2

h(x}=a\nx-2ax+2a+aIn2貝ij/(工)=3—2a=

axx

尤e|j,+co

當〃'(x)>0,〃(x)單調遞增；當,〃(x)<0,〃(x)單調遞減;

即/2(X)VMg),1c,2,

=。In——a^-2a+a\n—=a-a\na.

2a

2

所以g(x)z〃(x).綜上，當a>0時.f(x)224+〃ln-.

4.(甘肅省天水市第一中學2021屆一模)已知函數/(x)=xsinx,尸(同為

“力的導數，且g(x)=/'(x).證明：

(1)g(x)在內有唯一零點.

⑵仆)<2.

(參考數據：sin2=0.9903,cos2?-0.4161,tan2?_2.1850,血*1.4142)

答案：

(1)略

(2)證明：即證xsinx<2,xw((),〃).

r2

等價于證：sinx+-<-+-xe(0,?).

2x2

/\Xzi

令g(x)=sinx+],無w((),"),貝ijg'(x)=cosx+/.

當。弓

xe,g'(x)>0,8(同單調遞增；

,(271

當z『,g'(x)<0,g(x)單調遞減;

℃/\2乃?6萬1?83.3.

即g(x)<g—l=^~+7<v+T=2'

3

令〃(x)=2+：N2j2q=2,當x=l時取管

所以g(x)<〃(x).綜上，xw(O㈤,xsinx<2.

5.(江西省黃州市2021屆高三上學期期末考試)已知函數/(%)=肥'.

(1)求函數/(無)的最小值；

(2)證明：f(x)>e'+Inx——.

答案：

(1)略

1,、1,1,1

(2)證明：即證xe'>e'+Inx—.等價于證：(x—l)e'—>Inx—x—.

2'/222

令8(彳)=("1""-5%2,x>o.x>。時，g<x)=x(e'-l)>0.

即g(x)>g(0)=—1.令/?(x)=lnx-^-1g，則/(x)=，-x=^-x)(]+x).

當XG(O,1),〃'(力>0,/2(x)單調遞增；當XG(l,+oo),〃'(X)<O,〃(x)單調遞減;

即〃(x)V〃⑴=一1.所以g(x)>—12〃(x).綜上，J'(x)>e*+lnx—g.

6.(自編)若Mx>0,xlnx+4x<ef+a+x3-x2,求”的取值范圍.

答案：

x+a

xlnx+4x<ex+a-l-x3-%2,即Vx>0,lnx+x-x2+4<---成立.

x

e"+a

令/(x)=lnx+x-12+4,g(x)=---.

X

尸(力=91一2%=1-二2/=(1一曰2%+1)極大值“1)=4

g'(x)=e'",T),g0)=”

因此⑴=4,g(x)/g(l)=e"i.

所以只需/(l)<g(l),即4<e"*,解得a>-l+21n2.

2v

xe

7.已知〃￡(0,2e),證明：-----6?Inx>0.

X+1

答案：

、cx2ev1八eAa\nx

證明：------41nx>0,即----->―z—.

X+lX+1X

A'77InY

所以，等價于證：ae(O,2e)時，—>—.

xv

exe

令g(九)=——-,x>0.x>0時，g'(x)=7-----y>0

x+1(x+1)

即g(x)〉g(O)=l.令〃=,則/(x)=a",

當"(x)>(),〃(x)單調遞增；當XG(&,+8),〃(X)<(),〃(X)單調遞

減；

gp/i(x)</?^Vej=-^.由于ae(O,2e),所以〃(x)w?<l.

所以g(x)>l>〃(x).綜上，ae(O,2e)時，-----alnx>0.

8.當x>0時，證明：x2+(x2-2x)ev+x+l>0.

答案：

證明：當x>0時，X?+(f-2x)e*+x+l>0等價于x+，+l>-(x-2)e'.

即只需證：當x>0時，Fl>—(%—2)e'.

設g(x)=_(x_2)e*,x>0.則g<x)=_(x_l)e”.

當XG(O,1)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增；

當xe(l,+8)時，gz(x)<0,g(x)單調遞減；即g(x)<g(l)=e.

設/(x)=x+1+l,當x>0時，/(x)=x+—+1>2L--+1=3,x=l時取"=".

XXyX

即“X)2"1)=3.

即/(x)23>eNg(x),即當x>0時，x+—+1>-(x-2)e'.

X

所以，當x>0時，x2+(x2-2x)ev4-x+l>0.

9.證明：x2-41nx-xsinx-cosx+l>0.(參考數據:In2?0.693,sin2?0.909,

cos2?-0.416)

答案：

4

證明：/(x)=x2-41nx-xsinx-cosx+l,貝ij,f'(x)=2x-----xcosx.

44Y2—4

當x>2時，/r(x)=2x------xcosx>2x------x=------->0,/(x)單調遞增.

所以，當x>2時，/(x)>/(2)=5-41n2-2sin2-cos2>5-4x0.7-2+04>0.

當0vxv2時，x1-41nx-xsinx-cosx+l>0等價于x2-41nx+l>xsinx+cosx.

42x2—4

設6(x)=x?-41nx+l,xe(0,2),則加(x)=2x——=---------.

xx

當x￡(O,0)時，加(x)<0,單調遞減；當時，加(x)>0,加(x)單

調遞增.

即m(x)>=3-21n2>3-2x0.7=1.6.

n(x)=xsinx+cosx,XG(0,2),貝ij〃’(x)=xcosx.

當xe(0m時，n(x)>0,單調遞增；

當工€怎,2卜寸，n(x)<0,〃(x)單調遞減；

即〃,即xe(0,2)時，〃z(x)>1.6>〃(x).

所以，當xe(0,2