一、用法，用來干什么，什么時(shí)候用二、步驟，前因后果，算法的步驟，公式三、程序四、舉例五、前面國賽用到此算法的備注一下馬氏鏈模型用來干什么馬爾可夫預(yù)測法是應(yīng)用概率論中馬爾可夫鏈(Markovchain)的理論和方法來研究分析時(shí)間序列的變化規(guī)律，并由此預(yù)測其未來變化趨勢的一種預(yù)測技術(shù)。什么時(shí)候用應(yīng)用馬爾可夫鏈的計(jì)算方法進(jìn)行馬爾可夫分析，主要目的是根據(jù)某些變量現(xiàn)在的情況及其變動(dòng)趨向，來預(yù)測它在未來某特定區(qū)間可能產(chǎn)生的變動(dòng)，作為提供某種決策的依據(jù)。馬爾可夫鏈的基本原理我們知道，要描述某種特定時(shí)期的隨機(jī)現(xiàn)象如某種藥品在未來某時(shí)期的銷售情況，比如說第n季度是暢銷還是滯銷，用一個(gè)隨機(jī)變量Xn^可以了，但要描述未來所有時(shí)期的情況，則需要一系列的隨機(jī)變量X1，％，…，*，???.稱｛Xt，tET，T是參數(shù)集｝為隨機(jī)過程，｛X」的取值集合稱為狀態(tài)空間.若隨機(jī)過程｛*｝的參數(shù)為非負(fù)整數(shù)，Xn為離散隨機(jī)變量，且｛X」具有無后效性(或稱馬爾可夫性)，則稱這一隨機(jī)過程為馬爾可夫鏈(簡稱馬氏鏈).所謂無后效性，直觀地說，就是如果把｛Xi｝的參數(shù)n看作時(shí)間的話，那么它在將來取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與過去取什么值無關(guān).對具有N個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈，描述它的概率性質(zhì)，最重要的是它在n時(shí)刻處于狀態(tài)i下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率：P(X"]=jIXn=i)=Pjj(n)i,j=1,2,…,N若假定上式與n無關(guān)，即Pjj(0)=pij⑴=…=pij(n)=…，則可記為p..(此時(shí)，稱過程是平穩(wěn)的)，并記P1NP2NP1NP2N⑴.PNNP=P21P22......PPN1N2稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣.轉(zhuǎn)移概率矩陣具有下述性質(zhì)：

⑴PijZ0,/,j=1,2,…,N.即每個(gè)元素非負(fù).i=1,2,…,N.即矩陣每行的元素和等于1.如果我們考慮狀態(tài)多次轉(zhuǎn)移的情況，則有過程在n時(shí)刻處于狀態(tài)i,n+k時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀P(XP(X二n+k=jIXn=i)=P(?(n)i,j=1,2,…,N同樣由平穩(wěn)性，上式概率與n無關(guān)，可寫成P(k).記ijP(k)=(，P(k)p(k)1112p2k)p22)……一、、?…p(k)1N…p(k)2N……1p(k)p(k)'N1N2…p(k)NN態(tài)j的k步轉(zhuǎn)移概率:(2)稱辨步轉(zhuǎn)移概率矩陣?其中聽具有性質(zhì):p：?>0,i,j=1,2,…,N；￡p(?=1,i=1,2,…，N.lJj=1l]一般地有，若P為一步轉(zhuǎn)移矩陣，則k步轉(zhuǎn)移矩陣p(kp(k)p(k)…p(k)11121Np(k)p(k)…p(k)21222N…………p(k)p(k)…p(k)N1N2NNP(k)=(3)(2)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算在馬爾可夫預(yù)測方法中，系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率的估算非常重要.估算的方法通常有兩種:一是主觀概率法，它是根據(jù)人們長期積累的經(jīng)驗(yàn)以及對預(yù)測事件的了解，對事件發(fā)生的可能性大小的一種主觀估計(jì)，這種方法一般是在缺乏歷史統(tǒng)計(jì)資料或資料不全的情況下使用.二是統(tǒng)計(jì)估算法，現(xiàn)通過實(shí)例介紹如下.例3記錄了某抗病毒藥的6年24個(gè)季度的銷售情況，得到表1.試求其銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣.表1某抗病毒藥24個(gè)季度的銷售情況季度銷售狀態(tài)季度銷售狀態(tài)季度銷售狀態(tài)季度銷售狀態(tài)

11（暢銷）71（暢銷）131（暢銷）192（滯銷）21（暢銷）81（暢銷）141（暢銷）201（暢銷）32（滯銷）91（暢銷）152（滯銷）212（滯銷）41（暢銷）102（滯銷）162（滯銷）221（暢銷）52（滯銷）111（暢銷）171（暢銷）231（暢銷）62（滯銷）122（滯銷）181（暢銷）241（暢銷）分析表中的數(shù)據(jù)，其中有15個(gè)季度暢銷，9個(gè)季度滯銷，連續(xù)出現(xiàn)暢銷和由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷以及由滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的次數(shù)均為7,連續(xù)滯銷的次數(shù)為2.由此，可得到下面的市場狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表（表2）.現(xiàn)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率.以頻率代替概率，可得連續(xù)暢銷的概率：p=連續(xù)出現(xiàn)暢銷的次數(shù)==0511出現(xiàn)暢銷的次數(shù)15-1分母中的數(shù)為15減1是因?yàn)榈?4季度是暢銷，無后續(xù)記錄，需減1.同樣得由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷的概率：p=暢銷轉(zhuǎn)入滯銷的次數(shù)==0512出現(xiàn)暢銷的次數(shù)15-1.滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的概率：p=滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的次數(shù)=7=07821出現(xiàn)滯銷的次數(shù)9.連續(xù)滯銷的概率:p=連續(xù)滯銷的次數(shù)=2=022

22出現(xiàn)滯銷的次數(shù)9.綜上，得銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為:0.5]0.22)從上面的計(jì)算過程知，所求轉(zhuǎn)移概率矩陣P的元素其實(shí)可以直接通過表2中的數(shù)字計(jì)算而得到，即將表中數(shù)分別除以該數(shù)所在行的數(shù)字和便可：7PTOC\o"1-5"\h\z7+77P—7+77P—7+22P—7+7Matlab程序：formatratclca=[112122111212,112211212111];fori=1:2forj=1:2f(i,j)=length(findstr([ij],a));endendfni=(sum(f'))'fori=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i);endp由此，推廣到一般情況，我們得到估計(jì)轉(zhuǎn)移概率的方法：假定系統(tǒng)有m種狀態(tài)S1，S2,…，Sm，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移的歷史記錄，得到表3的統(tǒng)計(jì)表格，以P,/表示系統(tǒng)從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率估計(jì)值，則由表3的數(shù)據(jù)計(jì)算估計(jì)值的公式如下:

n/\??p..=—jiJmi,j=1,n/\??p..=—jiJmi,j=1,2,…，m(3)帶利潤的馬氏鏈在馬氏鏈模型中，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的狀態(tài)可能發(fā)生轉(zhuǎn)移，這種轉(zhuǎn)移常常會(huì)引起某種經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變化.如抗病毒藥的銷售狀態(tài)有暢銷和滯銷兩種，在時(shí)間變化過程中，有時(shí)呈連續(xù)暢銷或連續(xù)滯銷，有時(shí)由暢銷轉(zhuǎn)為滯銷或由滯銷轉(zhuǎn)為暢銷，每次轉(zhuǎn)移不是盈利就是虧本.假定連續(xù)暢銷時(shí)盈r11元，連續(xù)滯銷時(shí)虧本r22元，由暢銷轉(zhuǎn)為滯銷盈利ri2元，由滯銷轉(zhuǎn)為暢銷盈利r2i元，這種隨著系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，賦予一定利潤的馬氏鏈，稱為有利潤的馬氏鏈.對于一般的具有轉(zhuǎn)移矩陣fPiiP=P21…pI"N1P12P22…PN2…………P1N]P2N…Pnn)的馬氏鏈，當(dāng)系統(tǒng)由i轉(zhuǎn)移到j(luò)時(shí)，R=賦予利潤rijfrr1112rr2122……rrN1N2(i，j=1，2，…，N)，……r2N………rNNJ則稱(5)為系統(tǒng)的利潤矩陣，r..>0稱為盈利，r..<0稱為虧本，r..=0稱為不虧不盈.隨著時(shí)間的變化，系統(tǒng)的狀態(tài)不斷地轉(zhuǎn)移，從而可得到一系列利潤，由于狀態(tài)的轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的，因而一系列的利潤是隨機(jī)變量，其概率關(guān)系由馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率決定.例如從抗病毒藥的銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，得到一步利潤隨機(jī)變量叫】)、x21)的概率分布分別為:

x(1)氣1r12x21)r21r22概率p11P12概率P21P22其中叩p廣1,叩p廣1-如果藥品處于暢銷階段，即銷售狀態(tài)為i=1,我們想知道，經(jīng)過n個(gè)季度以后，期望獲得的利潤是多少？為此，引入一些計(jì)算公式.首先，定義v(-)為抗病毒藥現(xiàn)在處于i(i=1,2)，經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移之后的總期望利潤，i則一步轉(zhuǎn)移的期望利潤為：v(1)=E(x⑴)=rp+rp=￡rpiii1i1i2i2ijijj=1其中E(x(1))是隨機(jī)變量x⑴的數(shù)學(xué)期望.二步轉(zhuǎn)移的期望利潤為：v⑵=E(x(2))=[r+v⑴]p+[r+v⑴]p=￡[r+v(1)]piii11i1i22i2ijjijj=1其中隨機(jī)變量礦)(稱為二步利潤隨機(jī)變量)的分布為:P(平)=rtj+v?=P3j=1，2例如，若(0.5(0.50.5)

^0.40.6/(93)<3-7>則抗病毒藥銷售的一步利潤隨機(jī)變量：-70.50.50.40.6抗病毒藥暢銷和滯銷時(shí)的一步轉(zhuǎn)移的期望利潤分別為：0.50.50.40.6v⑴=E(x⑴)=rp+rp=9x0.5+3x0.5=6111V1112^12v⑴=E(x⑴)=rp+rp=3x0.4一7x0.6=-32221212222二步利潤隨機(jī)變量為:9+63-33+6-7-30.50.50.40.69+63-33+6-7-30.50.50.40.6抗病毒藥暢銷和滯銷時(shí)的二步轉(zhuǎn)移的期望利潤分別為:H2)=E料2))Fi+H1叫1+[「2+啰圮2=(9+6)x0.5+(3-3)x0.5=7.5堂=馳2））=［命+七⑴農(nóng)1+吃+呼］〃22=(3+6)x0.4+(-7-3)x0.6=-2.4一般地定義k步轉(zhuǎn)移利潤隨機(jī)變量x（幻（i=1,2,…N）的分布為:iP(x(k)=r,.+v(k-1))=pj=1,2,…N則系統(tǒng)處于狀態(tài)i經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移后所得的期望利潤v（幻的遞推計(jì)算式為:iv(k)=E(x(k))=2(r.?+v(k-1))p1j=1l]Jl]N

=V⑴+2V(k-1)pjij

j=1（6）XNrp+2v(k-1)pijijjijj=N

=V⑴+2V(k-1)pjij

j=1（6）稱一步轉(zhuǎn)移的期望利潤為即時(shí)的期望利潤，并記v(1)=q,,i=1,2,…N.可能的應(yīng)用題型買A、B、C三藥題型一、市場占有率預(yù)測例題1在購買該藥的總共1000家對象（購買力相當(dāng)?shù)尼t(yī)院、藥店等）中廠的各有400家、300家、300家，預(yù)測A、B、C買A、B、C三藥表5顧客訂貨情況表合計(jì)下季度訂貨情況合計(jì)ABC來A160120120400自B1809030300C1803090300合計(jì)5202402401000模型建立與求解一、問題分析目前的市場占有情況為：在購買該藥的總共1000家對象（購買力相當(dāng)?shù)尼t(yī)院、藥店等）中，買A、B、C三藥廠的各有400家、300家、300家，那么A、B、C三藥廠目前的市場占有份額分別為：40%、30%、30%.稱（0.4,0.3,0.3）為目前市場的占有分布或稱初始分布.此外，我們需要查清使用對象的流動(dòng)情況。流動(dòng)情況的調(diào)查可通過發(fā)放信息調(diào)查表來了解顧客以往的資料或?qū)淼馁徺I意向，也可從下一時(shí)期的訂貨單得出。由題已知顧客訂貨情況如下表5表5顧客訂貨情況表下季度訂貨情況合計(jì)ABC來A160120120400自B1809030300C1803090300合計(jì)5202402401000二、模型的建立2.1模型構(gòu)建假定在未來的時(shí)期內(nèi)，顧客相同間隔時(shí)間的流動(dòng)情況不因時(shí)期的不同而發(fā)生變化，以1、2、3分別表示顧客買A、B、C三廠家的藥這三個(gè)狀態(tài)，以季度為模型的步長（即轉(zhuǎn)移一步所需的時(shí)間），那么根據(jù)表5,我們可以得模型的轉(zhuǎn)移概率矩陣：ppp1112ppp2122p31p32p13)2333矩陣中的第一行(0.4，0.30.3)為買B廠和C廠的各有30%.同樣，度的流向.f竺400180300竺"3001204009030030300]400如300理300)f0.40.30.30.60.30.1k0.60.10.3表示目前是A廠的顧客下季度有40%仍買A廠的藥，轉(zhuǎn)第二行、第三行分別表示目前是B廠和C廠的顧客下季由P我們可以計(jì)算任意的k步轉(zhuǎn)移矩陣，如三步轉(zhuǎn)移矩陣:(0.40.30.3'3(0.4960.2520.252、0.60.30.1=0.5040.2520.244、0.60.10.3,、0.5040.2440.252,P(3)=P3=從這個(gè)矩陣的各行可知三個(gè)季度以后各廠家顧客的流動(dòng)情況.如從第二行(0.504，0.252，0.244)知，B廠的顧客三個(gè)季度后有50.4%轉(zhuǎn)向買A廠的藥，25.2%仍買B廠的，24.4%轉(zhuǎn)向買C廠的藥.設(shè)S(k)=(p件,p；k),p(k))表示預(yù)測對象k季度以后的市場占有率，初始分布則為S(0)=(p(0),p(0),p(0))，市場占有率的預(yù)測模型為123，S(k)=S(0)-Pk=S(k-1).P(7)已知S(0)=(0.4,0.3,0.3)，由此，我們可預(yù)測任意時(shí)期A、B、C三廠家的市場占有率.例如，三個(gè)季度以后的預(yù)測值為:'0.496S⑶=(p(3),p(3),p(3))=S(0).P3=(0.40.30.3)0.504"0.5040.2520.2520.2520.2440.2440.252=(0.50080.24960.2496)大致上，A廠占有一半的市場，B廠、C廠各占四分之一.模型(7)可推廣到N個(gè)狀態(tài)的情形:S(k)=S(k-1)P=S(0)Pk=(p(0),p(0),???p(0))12Npp…p11121Npp…p21:22:…2N:pp…pN1N2NN7V(8)如果我們按公式（7）繼續(xù)逐步求A、B、C三家的市場占有率，會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k大到一定的程度，S（k將不會(huì)有多少改變，即有穩(wěn)定的市場占有率，設(shè)其穩(wěn)定值為S=（p1,p2,p3），滿足P1+P2+P3=1.事實(shí)上，如果市場的顧客流動(dòng)趨向長期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過一段時(shí)期以后的市場占有率將會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，即顧客的流動(dòng)，不會(huì)影響市場的占有率，而且這種占有率與初始分布無關(guān).如何求出這種穩(wěn)定的市場占有率呢？2.2模型求解0.30.30.30.10.10.3(0.4以A、B、C三家的情況為例，當(dāng)市場出現(xiàn)平衡狀態(tài)時(shí)，從公式（7）可得方程S=SP,(p,p,p)=(p,p,p)(0.4、0.6由此得P1=0.4pi+0.6p2+0.6p3p2=0.3pi+0.3p2+0.1p3P3=0.3pi+0.1p2+0.3p3經(jīng)整理，并加上條件P1+P2+P3=1，得'-0.6p+0.6p+0.6p=00.3p1-0.7p2+0.1p3=00.3p1+0.1p2-0.7p3=0R+p2+p3=10.40.30.3，0.60.30.1,0.60.10.3上方程組是三個(gè)變量四個(gè)方程的方程組，在前三個(gè)方程中只有二個(gè)是獨(dú)立的，任意刪去一個(gè)，從剩下的三個(gè)方程中，可求出唯一解:P1=0.5，p2=0.25，p3=0.25這就是A、B、C三家的最終市場占有率.一般N個(gè)狀態(tài)的穩(wěn)定市場占有率（穩(wěn)態(tài)概率）S=（p1,p2,PN）可通過解方程組

'p11'p11P12…P1N、(p,p，…p)=(p,p,…p)12N12Np21P22….??P2N<Pn1PN2…PNN>（9）蕓七Tk=1求得，而(9)的前N個(gè)方程中只有N-1個(gè)是獨(dú)立的，可任意刪去一個(gè)。MATLAB程序：formatratp=[0.40.30.3，0.60.30.1,0.60.10.3];a=[p'-eye(3);ones(1,3)];b=[zeros(3,1);1];p_limit=a\b題型二、期望利潤預(yù)測企業(yè)追逐市場占有率的真正目的是使利潤增加，因此，競爭各方無論是為了奪回市場份額，還是為了保住或者提高市場份額，在制訂對策時(shí)都必須對期望利潤進(jìn)行預(yù)測.預(yù)測主要分兩步進(jìn)行：①市場統(tǒng)計(jì)調(diào)查.首先調(diào)查銷路的變