線(xiàn)性代數(shù)講義第一章第1頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第一章行列式二階、三階行列式n階行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開(kāi)Cramer法則第2頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二用消元法解二元線(xiàn)性方程組1、二階行列式§1.二階與三階行列式第3頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二方程組的解為由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.第4頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二為便于記憶，引入記號(hào)

其中，數(shù)稱(chēng)為行列式的元素。該記號(hào)為一個(gè)數(shù)表，橫排稱(chēng)為行，豎排稱(chēng)為列，共有兩行兩列，故稱(chēng)之為二階行列式。每一元素有兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)下標(biāo)i稱(chēng)為行標(biāo)，表明該元素位于行列式的第i行；第二個(gè)下標(biāo)j稱(chēng)為列標(biāo)，表明該元素位于行列式的第j列；第5頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二主對(duì)角線(xiàn)輔對(duì)角線(xiàn)若記對(duì)于二元線(xiàn)性方程組第6頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二則二元線(xiàn)性方程組的解為第7頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三階行列式的計(jì)算:對(duì)角線(xiàn)法則第8頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§2n階行列式的定義1.全排列與逆序數(shù)定義1

如，1234和4312都是4階排列，而53142為一個(gè)5階排列。顯然，n階全排列的個(gè)數(shù)為n！個(gè)。定義2

第9頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1

求下列排列的逆序數(shù)逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列.2.n階行列式的定義考察三階行列式的定義第10頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積，其中，行標(biāo)均按自然順序排列，列標(biāo)為3階排列，當(dāng)列標(biāo)取遍所有的3階排列后，就得到三階行列式代數(shù)和中的所有項(xiàng)；

（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于三個(gè)元素的列標(biāo)排列的奇偶性．（1）三階行列式共有6項(xiàng)，即3階排列的個(gè)數(shù)；故第11頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二定義3第12頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例2

計(jì)算下三角形行列式解展開(kāi)式的一般項(xiàng)為不為零的項(xiàng)只有第13頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二定義4

將一個(gè)排列中的兩個(gè)數(shù)位置對(duì)調(diào)稱(chēng)為對(duì)換，將相鄰兩個(gè)數(shù)位置對(duì)調(diào)稱(chēng)為相鄰對(duì)換。

定理1

一次對(duì)換改變排列的奇偶性。

定理2

定理3第14頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§3行列式的性質(zhì)稱(chēng)之為D的轉(zhuǎn)置行列式。記性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.第15頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)2

交換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).說(shuō)明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.例如推論1

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明第16頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.推論2

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．第17頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二推論3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明第18頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如第19頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例3

第20頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解第21頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第22頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第23頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等;2、交換行列式的兩行或兩列,行列式的值變號(hào);3、用數(shù)k乘行列式的某一行(列),等于以數(shù)k乘此行列式;5、將行列式某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變.行列式的性質(zhì)4、如果行列式的某一列(行)的每一個(gè)元素都可寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)的和，則此行列式可以寫(xiě)成兩個(gè)行列式的和;第24頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．例4

第25頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解將第列都加到第一列得例5

計(jì)算n階行列式

第26頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第27頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§4行列式按行(列)展開(kāi)余子式與代數(shù)余子式行列式按行（列）展開(kāi)法則第28頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，余下來(lái)的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如1、

余子式與代數(shù)余子式第29頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第30頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、行列式按行（列）展開(kāi)法則

第31頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例6定理4

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即第32頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第33頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證相同考察下述行列式第34頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二同理第35頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)第36頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

證用數(shù)學(xué)歸納法例7證明范德蒙德(Vandermonde)行列式第37頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第38頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二n-1階范德蒙德行列式第39頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例8

計(jì)算n+1階行列式第40頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：計(jì)算n階行列式第41頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§5

Cramer法則

非齊次與齊次線(xiàn)性方程組的概念Cramer法則齊次線(xiàn)性方程組的相關(guān)定理第42頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二設(shè)線(xiàn)性方程組則稱(chēng)此方程組為n元非

齊次線(xiàn)性方程組;則稱(chēng)方程組為n元齊次線(xiàn)性方程組.1、非齊次與齊次線(xiàn)性方程組的概念第43頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2、Cramer法則定理5

如果n元線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式第44頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期二其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組