§2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面平行的判定定理.2.掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問題．知識點直線與平面平行的判定定理思考1如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內(nèi)，把這塊木板繞AB轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，AB的對邊CD(不落在α內(nèi))和平面α有何位置關(guān)系？答案平行．思考2如圖，平面α外的直線a平行于平面α內(nèi)的直線b.這兩條直線共面嗎？直線a與平面α相交嗎？答案由于直線a∥b，所以兩條直線共面．直線a與平面α不相交．梳理線面平行的判定定理表示定理圖形文字符號直線與平面平行的判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α1．若直線l上有兩點到平面α的距離相等，則l∥平面α.(×)2．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行．(×)3．兩條平行線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行．(×)類型一線面平行判定定理的理解例1如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是()A．相交B．b∥αC．b?αD．b∥α或b?α考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案D解析由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.反思與感悟用判定定理判定直線a和平面α平行時，必須具備三個條件(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個條件缺一不可．跟蹤訓(xùn)練1下列說法正確的是()A．若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥αB．若直線a在平面α外，則a∥αC．若直線a∩b＝?，直線b?α，則a∥αD．若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案D解析A錯誤，直線l還可以在平面α內(nèi)；B錯誤，直線a在平面α外，包括平行和相交；C錯誤，a還可以與平面α相交或在平面α內(nèi)．故選D.類型二直線與平面平行的證明eq\x(命題角度1以錐體為背景證明線面平行)例2如圖，S是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且eq\f(AM,SM)＝eq\f(DN,NB).求證：MN∥平面SBC.考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的證明證明連接AN并延長交BC于P，連接SP.因為AD∥BC，所以eq\f(DN,NB)＝eq\f(AN,NP)，又因為eq\f(AM,SM)＝eq\f(DN,NB)，所以eq\f(AM,SM)＝eq\f(AN,NP)，所以MN∥SP，又MN?平面SBC，SP?平面SBC，所以MN∥平面SBC.引申探究本例中若M，N分別是SA，BD的中點，試證明MN∥平面SBC.證明連接AC，由平行四邊形的性質(zhì)可知AC必過BD的中點N，在△SAC中，M，N分別為SA，AC的中點，所以MN∥SC，又因為SC?平面SBC，MN?平面SBC，所以MN∥平面SBC.反思與感悟利用直線與平面平行的判定定理證線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)；利用平行四邊形的性質(zhì)；利用平行線分線段成比例定理．跟蹤訓(xùn)練2如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點，M，N分別是AB，PC的中點．求證：MN∥平面PAD.考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的證明證明如圖，取PD的中點G，連接GA，GN.∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點，∴GN∥DC，GN＝eq\f(1,2)DC.∵M(jìn)為平行四邊形ABCD的邊AB的中點，∴AM＝eq\f(1,2)DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四邊形AMNG為平行四邊形，∴MN∥AG.又∵M(jìn)N?平面PAD，AG?平面PAD，∴MN∥平面PAD.eq\x(命題角度2以柱體為背景證明線面平行)例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是棱BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結(jié)論．考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的證明解如圖，取線段AB的中點為M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點．由已知得，O為AC1的中點，連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，所以MD∥AC且MD＝eq\f(1,2)AC，OE∥AC且OE＝eq\f(1,2)AC，因此MD∥OE且MD＝OE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE∥MO.因為直線DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，所以直線DE∥平面A1MC.即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直線DE∥平面A1MC.引申探究將本例改為在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M為AB的中點，求證：BC1∥平面A1CM.證明如圖，連接AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點．又因為M是AB的中點，連接MF，所以BC1∥MF.因為MF?平面A1CM，BC1?平面A1CM，所以BC1∥平面A1CM.反思與感悟證明以柱體為背景包裝的線面平行證明題，常用線面平行的判定定理，遇到題目中含有線段中點，常利用取中點去尋找平行線．跟蹤訓(xùn)練3如圖，O是長方體ABCD－A1B1C1D1底面對角線AC與BD的交點，求證：B1O∥平面A1C1D.考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的證明證明如圖，連接B1D1交A1C1于點O1，連接DO1，∵B1B∥D1D，B1B＝D1D，∴四邊形B1BDD1為平行四邊形，∴O1B1∥DO，O1B1＝DO，∴O1B1OD為平行四邊形，∴B1O∥O1D，∵B1O?平面A1C1D，O1D?平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.1．有以下四個說法，其中正確的說法是()①若直線與平面沒有公共點，則直線與平面平行；②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線不相交，則直線與平面平行；③若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線不相交，則直線與平面平行；④若平面外的直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則直線與平面不相交．A．①②B．①②③C．①③④D．①②④考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案D解析③中若直線在平面內(nèi)，雖與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但直線與平面不平行，故③不正確，①②④正確．2．若M，N分別是△ABC邊AB，AC的中點，則MN與過直線BC的平面β的位置關(guān)系是()A．MN∥βB．MN與β相交或MN?βC．MN∥β或MN?βD．MN∥β或MN與β相交或MN?β考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案C解析若平面β是△ABC所在的平面，則MN?β.若MN?β，則MN∥β.故選C.3.如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有()A．1個B．2個C．3個D．4個考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案D解析由直線與平面平行的判定定理知，EF與平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故與EF平行的平面有4個．4．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則A1C1與平面ACE的位置關(guān)系為________．考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案平行解析∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACE，AC?平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.5．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，AA1＝eq\r(3).若D是棱CC1的中點，E是棱AB的中點，證明：DE∥平面AB1C1.考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的證明證明取AB1的中點H，連接EH，HC1.∵E為棱AB的中點，∴EH∥BB1且EH＝eq\f(1,2)BB1.又∵D為棱CC1的中點，∴DC1＝eq\f(1,2)CC1，又BB1∥CC1且BB1＝CC1，∴EH∥DC1且EH＝DC1，∴四邊形EHC1D為平行四邊形，∴DE∥HC1.又∵HC1?平面AB1C1，DE?平面AB1C1，∴DE∥平面AB1C1.1．判斷或證明線面平行的常用方法(1)定義法：證明直線與平面無公共點(不易操作)．(2)判定定理法：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(3)排除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內(nèi)．2．證明線線平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)．(2)利用平行四邊形的性質(zhì)．(3)利用平行線分線段成比例定理.一、選擇題1．下列條件中能得出直線m與平面α平行的是()A．直線m與平面α內(nèi)所有直線平行B．直線m與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行C．直線m與平面α沒有公共點D．直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案C解析A，本身說法錯誤；B，當(dāng)直線m在平面α內(nèi)時，m與α不平行；C，能推出m與α平行；D，當(dāng)直線m在平面α內(nèi)時，m與α不平行．故選C.2．若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案B解析若在平面α內(nèi)存在與直線l平行的直線，因l?α，故l∥α，這與題意矛盾．3．過直線l外兩點，作與l平行的平面，則這樣的平面()A．不可能作出B．只能作出一個C．能作出無數(shù)個D．上述三種情況都存在考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案D解析設(shè)直線外兩點為A，B，若直線AB∥l，則過A，B可作無數(shù)個平面與l平行；若直線AB與l異面，則只能作一個平面與l平行；若直線AB與l相交，則過A，B沒有平面與l平行．4.如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線交點為O，M為PB的中點，給出五個結(jié)論：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正確的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案C解析由題意知，OM是△BPD的中位線，∴OM∥PD，故①正確；PD?平面PCD，OM?平面PCD，∴OM∥平面PCD，故②正確；同理可得：OM∥平面PDA，故③正確；OM與平面PBA和平面PBC都相交，故④，⑤不正確．故共有3個結(jié)論正確．5．直線a，b為異面直線，過直線a與直線b平行的平面()A．有且只有一個B．有無數(shù)多個C．有且只有一個或不存在D．不存在考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案A解析在a上任取一點A，則過A與b平行的直線有且只有一條，設(shè)為b′，又∵a∩b′＝A，∴a與b′確定一個平面α，即為過a與b平行的平面，可知它是唯一的．6．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的是()A．①③B．①④C．②③D．②④考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案B解析對于①，如圖，連接BC交PN于點D，連接MD.由MD∥AB，AB?平面MNP，MD?平面MNP，得AB∥平面MNP.對于④，由AB∥NP，AB?平面MNP，NP?平面MNP，可得AB∥平面MNP.7．如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(BG,GD)，則與平面EFGH平行的直線有()A．0條B．1條C．2條D．3條考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案C解析∵eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,FC)，∴EF∥AB.又EF?平面EFGH，AB?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理，由eq\f(BF,FC)＝eq\f(BG,GD)，可證CD∥平面EFGH.∴與平面EFGH平行的直線有2條．8．如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中點，D是AA1上的動點，且eq\f(AD,DA1)＝m，若AE∥平面DB1C，則m的值為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案B解析如圖，取CB1的中點G，連接GE，DG，當(dāng)m＝1時，AD＝GE＝eq\f(1,2)BB1且AD∥GE，∴四邊形ADGE為平行四邊形，則AE∥DG，又AE?平面DB1C，DG?平面DB1C，可得AE∥平面DB1C.二、填空題9．已知l，m是兩條直線，α是平面，若要得到“l(fā)∥α”，則需要在條件“m?α，l∥m”中另外添加的一個條件是________．考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案l?α10．三棱錐SABC中，G為△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，則EG與平面SBC的關(guān)系為________．考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案平行解析如圖，延長AG交BC于F，連接SF，則由G為△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF?平面SBC，EG?平面SBC，∴EG∥平面SBC.11．如圖，在五面體FE－ABCD中，四邊形CDEF為矩形，M，N分別是BF，BC的中點，則MN與平面ADE的位置關(guān)系是________．考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案平行解析∵M(jìn)，N分別是BF，BC的中點，∴MN∥CF.又四邊形CDEF為矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，∴MN∥平面ADE.三、解答題12．如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C為底面圓周上一點．(1)若弧BC的中點為D.求證：AC∥平面POD；(2)如果△PAB的面積是9，求此圓錐的表面積．考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的證明(1)證明設(shè)BC∩OD＝E，∵D是弧BC的中點，∴E是BC的中點，又∵O是AB的中點，∴AC∥OE，又∵AC?平面POD，OE?平面POD，∴AC∥平面POD.(2)解設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，母線長為l，∵圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，∴h＝r，l＝eq\r(2)r，∵S△PAB＝eq\f(1,2)×2r×h＝r2＝9，∴r＝3，∴S表＝πrl＋πr2＝πr×eq\r(2)r＋πr2＝9(1＋eq\r(2)