第一部分隨機(jī)事件及其概率答案：2/96已知P（A）=0.8,P(A-B)=0.5,且答案：3/8A與B獨(dú)立，則P（B）=基礎(chǔ)練習(xí)一．填空7從1，2，…，10共十個數(shù)字中任取一個，然后放回，先后取出1設(shè)P(A)0.4,P(B)0.5,若P(AB)0.7,則P(AB)5個數(shù)字，則所得5個數(shù)字全不相同的事件的概率等于答案：0.55___________9876=0.3024372三次獨(dú)立重復(fù)射擊中，至少有一次擊中的概率為則每次擊,答案：64104中的概率為8箱中盛有8個白球6個黑球，從其中任意地接連取出8個球，答案：1/4若每球被取出后不放還，則最后取出的球是白球的概率等于3箱中盛有8個白球6個黑球，從其中任意地接連取出8個球，_________________8若每球被取出后不放還，則最后取出的球是白球的概率等于答案：14_________________。9平面上有10個點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，這些點(diǎn)可以確定_____個三角形。答案：1208答案：144任取兩個正整數(shù)，則它們之和為偶數(shù)的概率是_______答案：1/210設(shè)樣本空間U={1，2，10}，A={2，3，4，}，B={3，4，5，}，C={5，5設(shè)10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中任取兩件，已知兩件中有6，7}，則ABC表示的集合=______________________。一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為__________答案：3(1p{1,2,5,6,7,8,9,10})5.13(1p)52(1p)51二．計(jì)算題21一打靶場備有5支某種型號的槍,其中3支已經(jīng)校正.某人使用已校正的槍擊中目標(biāo)的概率為p,使用未經(jīng)校正的機(jī)地1,2支未經(jīng)2某人共買了11只水果,其中有3只是二級品,8只是一級品.隨將水果分給A、B、C三人,各人分別得到4只、6只、1只.級品的概率.C未拿到二級品,求A,B均拿到二校正(1)求未p.他隨機(jī)地取一支槍進(jìn)行射擊,已知他射2拿到二C槍擊中目標(biāo)的概率為(2)已知級品的概率.擊了5次,都未擊中,求他使用的是已校正的槍的概率(設(shè)各次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立).(3)求A,B均拿到二級品而C未拿到二級品的概率.解以表示事件“射擊了M5次均未擊中”,以表示事件“取得C的槍是已經(jīng)校正的”，則P(C)3/5,解以A，B，C，分別表示事件，A，BC取到二級品,則示事件，A，BC未取到二級品.(1)P(C)8/11.ABC，，表P(C)2/5,又,按題設(shè)P(M|C)(1p),P(M|C)(1p)2,551由貝葉斯公式P(C|M)P(MC),P(M)(2)就是需要求P(AB|C).已知未取C到二級品,這時(shí)A,B將7只一級品和3只二級品全部分掉.而A、B均取到二級品,只需AP(M|C)P(C)取到1只至2只二級品,其它的為一級品.于是P(M|C)P(C)P(M|C)P(C)3737(1p)5531322P(AB|C)4.110105(1p)53(1p)52445512p(1p)(1p)p2p(1p).(3)P(ABC)P(AB|C)P(C)32/55.3一系統(tǒng)由兩個只能傳輸字符0和1的獨(dú)立工作的子系統(tǒng)4甲乙二人輪流擲一骰子,每輪擲一次,誰先擲得6點(diǎn)誰得勝,從甲開始擲,問甲、乙得勝的概率各為多少?L和L1L串聯(lián)而成(如圖13-1),每個子系統(tǒng)輸入為0輸出為0的概率為解以A表示事件“第i次投擲時(shí)投擲者才得6點(diǎn)”.事件A發(fā)生,2ii表示在前i1p.今在圖中a端輸因各次投擲相互獨(dú)立,故有次甲或乙均未得6點(diǎn),而在第i次投擲甲或乙得6點(diǎn).p(0p1);而輸入為1輸出為1的概率也是入字符1,求系統(tǒng)的端輸出字符0的概率.Lbi11.5P(A)i66aL1Lb因甲為首擲,故甲擲奇數(shù)輪次,從而甲勝的概率為2P{甲勝}P{AAA}解“系統(tǒng)的輸入為1輸出為0”這一事件(記L(10))是兩個L135不相容事件之和,即P(A)P(A)P(A)L(10)L(11)L(10)L(10)L(00),這里1351212(因A,A兩兩不相容)12的記號“L(11)”表示事件“子系統(tǒng)L的輸入為1輸出為1,其11115254余3個記號的含義類似.于是由子系統(tǒng)工作的獨(dú)立性得666P{L(10)}P{L(11)L(10)}P{L(10)L(00)}12121161(5/6)2116.P{L(11)}P{L(10)}P{L(10)}P{L(00)}同樣,乙勝的概率為2121P{乙勝}P{AAA}246今有P(A)P(A)P(A)246P(A)P(B)(1/3)(7/12)7/36P(AB).551555.3按定義A,B相互獨(dú)立.666611A“第一次擲得點(diǎn)數(shù)2或5”,B5將一顆骰子擲兩次,考慮事件6A，B兩人輪流射擊,每次各人射擊一槍,射擊的次序?yàn)锳,B,A,B,A,射擊直至擊中兩槍為止.設(shè)各人擊中的概率均為p,“兩次點(diǎn)數(shù)之和至少為7”，求P(A),P(B),并問事件A,B是否相互獨(dú)立.且各次擊中與否相互獨(dú)立.求擊中的兩槍是由同一人射擊的概率.解總是在奇數(shù)輪射擊,在偶數(shù)輪射擊.先考慮擊中兩槍的ABA解將骰子擲一次共有6種等可能結(jié)果,故P(A)2/61/3.設(shè)以情況.以A表示事件“在第輪(n1,2,)射擊時(shí)又一次n21A2n1X表示第i次擲出骰子的點(diǎn)數(shù),則i擊中,射擊在此時(shí)結(jié)束”.A發(fā)生表示“前2n輪中共射擊n槍A2n1P(B)P({XX7})1P({XX6}).A而其中擊中一槍,且在第2n1輪時(shí)擊中第二槍”（這一事件記為C），同時(shí)“在前2n輪中共射擊n槍但一槍未中”(這一事件記1212B因?qū)Ⅶ蛔訑S兩次共有36個樣本點(diǎn),其中XX6有為)，因此D12XX2,3,4,5,6共5種情況,這5種情況分別含有1,2,3,4,5P(A)P(CD)P(C)P(D)2n112個樣本點(diǎn),故np(1p)p(1p)nn1P(B)1(12345)/3615/127/12.1npp以(X,X)記兩次投擲的結(jié)果,則AB共有2(1)2n1.12(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)這7個樣本點(diǎn).故注意到A,A,A,兩兩互不相容,故由A擊中了兩槍而結(jié)束射擊357P(AB)7/36.(這一事件仍記為)的概率為A1n1nP(B)P(B)p(1p)n1p(1p)n12(n1)P(A)P(A)P(A)np2(1p)2n1n12n12n1n1n1n1np2(1p)2np2(1p)2n[(1p)2]n1n1p2(1p)n[(1p)2]n1n1n11(1p)2p2(1p)2.11p[1(1p)2]2(2p)2p2(1p).[1(1P)2]2(2p)2因此,由一人擊中兩槍的概率為1p(1p)21p.1(1x)2()()P(AB)PAPB(2p)2(2p)22pnx,x1.這一公式可自等(此處級數(shù)求和用到公式n1n17有3個獨(dú)立工作的元件1,元件2,元件3,它們的可靠性分別為11x比級數(shù)xn,x1兩邊求導(dǎo)而得到.)p,p,p.設(shè)由它們組成一個“3個元件取2個元件的表決系統(tǒng)”,n0123若兩槍均由B擊中,以B表示事件“B在第2(n1)輪記為2/3[G].這一系統(tǒng)的運(yùn)行方式是當(dāng)且僅當(dāng)3個元件中至少有22(n1)(n1,2,)射擊時(shí)又一次擊中,射擊在此時(shí)結(jié)束”.B發(fā)生表個正常工作時(shí)這一系統(tǒng)正常工作.求這一2/3[G]系統(tǒng)的可靠性.2(n1)示在前2n1輪中B射擊iGn槍其中擊中一槍,且B在第2(n1)輪解以表示事件“第個元件正常工作”，以表示事件“2/3[G]Ai時(shí)擊中第2槍，同時(shí)A在前2n1輪中共射擊A,A,A,兩兩互不相容,故B擊中B)的概率為n1槍,但一槍未中.系統(tǒng)正常工作”，則G可表示為下述兩兩互不相容的事件之和：GAAAAAAAAAAAA注意到了兩槍而結(jié)束射擊321468121323123(這一事件仍記為因A,A,A相互獨(dú)立,故有123P(G)P(AAA3)P(AA2A)P(A1AA)P(AAA)解基本事件總數(shù)C410A所包含的事件數(shù)C1C2C121323123C12C25P(A)P(A)P(A3)P(A)P(A2)P(A)P(A1)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)1212132312354P(A)13pp(1p)p(1p)p(1p)ppppp.211231231231238甲、乙、丙三部機(jī)床獨(dú)立工作由一名工人照看，某段時(shí)間內(nèi)甲、或用P(A)=1乙、丙三部機(jī)床不需要照看的概率依次為3/4、2/3、1/2，求在這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照看的概率及恰有1臺機(jī)床需要工人1086413P(A)1109872110在區(qū)間[0，3]上隨機(jī)地，等可能地任意取兩數(shù)，記事照看的概率。件B為兩數(shù)之最小者小于1，求事件B的概率。解設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙不需要照看，則A、B、C相y互獨(dú)立pN3（1）P(ABC)P(ABC)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)3/41GMo13（2）P(ABCABCABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)設(shè)所取兩數(shù)為x,y.則0x3,0y3.(x,y)的一切可能值1/42/31/23/41/31/23/42/31/211/24解9從5雙不同鞋號的鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有對應(yīng)著xoy平面上的正方形OMNP.3分二只鞋子配成一雙的概率是多少？事件B對應(yīng)著圖中陰影部分的區(qū)域G=P(C)P(AB)5125則P(B)329故AB與C獨(dú)立三．證明題3設(shè)隨機(jī)事件A，B，C滿足P(BC)>0，0<P(C)<1，則等式P(ABC)=P(AC)P(BC)成立的充要條件為P(ABC)=P(AC)1設(shè)P（B）0,A與A互不相容。證明：12P(AA)|BP(AB)P(AB)證明：“必要性”1212由P(BC)>0,0<P(C)<1知P(BC)>0P(AA)BP(ABAB)證明：P(AA)B1P(B)21P(B)2而P(ABC)=P(AC)P(BC)得12PABCPCPABCPABCPBCPABC由于A與A互不相容,則AB、互不相容ABPAC1212PBCPBCPC那么P(ABAB)P(AB)P(AB)1212“充分性”P(AA)BP(AB)P(AB)/P(B)1212所以PCPABCPABCPABCPACPABCPBCPCPBCPBCP(AB)/P(B)P(AB)/P(B)PABCPACPBC12P(AB)P(AB)即122證明題：設(shè)A,B,C三事件相互獨(dú)立，求證AB與C獨(dú)立自測題證明：P[(AB)C]=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)=P(C)[P(A)+P(B)P(AB)]一、填空題1從自然數(shù)1至10中任取一數(shù)，設(shè)A表示事件“取得的數(shù)是偶數(shù)”，1某乒乓球隊(duì)有6名女隊(duì)員，8名男隊(duì)員，從中選出2名女隊(duì)員，2名男隊(duì)員進(jìn)行混合雙打練習(xí)，共有多少種分組方法。B表示事件“取得的數(shù)小于5”則AB表示事件_____________。答案：取得的數(shù)是{1,3，5，6，7，8，9，10}中的一個答案：從6名女隊(duì)員中選2名的方法共有C6從8名男隊(duì)員中選2名的方法共有C8=15(種)=28(種)22將5個球隨機(jī)地放入5個盒子中，(每個盒子中裝多少個球不限)則每盒中各有一球的事件的概率等于_______________________。2答案：246252名女隊(duì)員，2名男隊(duì)員搭擋方法共有P2=2(種)3設(shè)隨機(jī)事件A,B互不相容，且P(A)0.3，P(B)0.6，則CC故共有22628=840(種)分組方法2設(shè)E、F、G是三個隨機(jī)事件，試?yán)檬录倪\(yùn)算性質(zhì)化簡下列P(BA)EFEF答案：4/7各式：(1)EFEFEF4任意投擲四顆均勻的骰子，則四顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)全不相同的事件的概率等于______________。(2)(3)EFFG答案：518答案：(1)原式EEEFEFFFE5事件A,B相互獨(dú)立，且P(A)=p,(0<p<1)，P(B)=q(0<q<1),則P{AB}_____________。EFEFEFFEFFE(2)原式(3)原式EFEGFFFGFEG答案：1pq二、計(jì)算題3盒中有10只外形相同的晶體管，其中有4只次品，6只正品，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取一只測試，測試后不放回，直到找出4只次品，事件E對應(yīng)著圖中陰影部分G，G的面積為:求最后一只次品晶體管在第10次測試時(shí)發(fā)現(xiàn)的概率答案：A表事件"在第10次測試時(shí)發(fā)現(xiàn)最后一只次品管子"。1222dx22ln2ln2212ln2ln1221122dx