費(fèi)馬原理與變折射率光學(xué)第1頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.1—1.5費(fèi)馬原理1.1折射率及其意義1.2光程概念及其意義1.3費(fèi)馬原理及其數(shù)學(xué)形式1.4由費(fèi)馬原理導(dǎo)出幾何光學(xué)三定律1.5物象等光程性1.7某些特例(某些特殊的共軛點(diǎn))1.6費(fèi)馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)第2頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.1折射率它是透明介質(zhì)的光學(xué)物性參數(shù)。最初源于折射定律：有--Snell定律。寫成不變量形式，第3頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.1折射率標(biāo)識(shí)符號(hào)色視覺波長/nm冕牌玻璃特重火石F綠486.11.52861.7328D黃589.61.52301.7205C紅656.31.52051.7076典型數(shù)據(jù)：色散本領(lǐng)：色散率：倒數(shù)forc.g.forf.g.第4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.1折射率惠更斯原理次波源、微觀次波面，宏觀包絡(luò)面，中心——切點(diǎn)連線。應(yīng)用于“界面的反射、折射”時(shí)，將賦與折射率以新的物理意義：于是（）介質(zhì)相對折射率n(相對真空,)真空光速/介質(zhì)光速第5頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.1折射率進(jìn)而，導(dǎo)出如何導(dǎo)出?據(jù)波速=頻率×波長有 顯然，得第6頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.1折射率物理考慮在線性介質(zhì)的光場中，擾動(dòng)的時(shí)間頻率f僅由光源決定，與介質(zhì)無關(guān)f~光源的本征頻率。最終得例如，某(橙色)在水中,，變?yōu)?/p>

(蘭色?)第7頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.1折射率可見光波長區(qū)間與頻率量級(jí)(peta)(M.G.T.P.)聯(lián)系視覺色效應(yīng)所謂“色散關(guān)系”、“色散理論”，給出

函數(shù)，或者,.

第8頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.2光程(opticalpath)均勻介質(zhì)光程介質(zhì)分區(qū)均勻光程變折射率介質(zhì)：光程第9頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.2光程(opticalpath)其初步意義a.相位差與光程的關(guān)系圖1.5由光程導(dǎo)出相位差沿波的傳播方向，相位逐點(diǎn)落后，所以有：即（普遍）第10頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.2光程(opticalpath)b.時(shí)差與光程的關(guān)系即，或給出光程的又一定義：光線經(jīng)歷QP兩點(diǎn)的光程等于傳播時(shí)間乘以真空光速，雖然光實(shí)際上傳播于介質(zhì)中。第11頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.3費(fèi)馬原理實(shí)際光線的傳播路徑，與鄰近各種可能的虛擬路徑相比較，具有什么特別的“品性”?第12頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.3費(fèi)馬原理表述：光線沿光程為平穩(wěn)值的路徑而傳播。解說：示意圖：第13頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.3費(fèi)馬原理數(shù)學(xué)表達(dá)式注意到被稱為泛函or程函，eikonal.通俗道，“函數(shù)的函數(shù)”。“平穩(wěn)值”滿足 變分為零，或簡寫其中，為變分運(yùn)算符號(hào)上述方程為變分方程，旨在求出泛函的極值?！兎衷砜梢?，費(fèi)馬原理開創(chuàng)了以變分原理反映自然規(guī)律的研究路線或表述方式。第14頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.4由費(fèi)馬原理導(dǎo)出幾何光學(xué)三定律由費(fèi)馬原理導(dǎo)出均勻介質(zhì)，光的直線傳播定律；介質(zhì)界面，光的反射定律；介質(zhì)界面，光的折射定律。如是，則說明

費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)三定律的一個(gè)理論概括。第15頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.4.1反射光束的等光程性M為動(dòng)點(diǎn)，入射-反射光程為L（QMP）；M為待定的反射點(diǎn)，以滿足L（QMP）為極值：引入鏡象對稱點(diǎn)Q′，則,且于是，它成為極小值的條件是為直線，當(dāng)時(shí)。即

反射角等于入射角，反射線與入射線同在一個(gè)入射面內(nèi)。這正是光在界面的反射定律。第16頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.4.2折射光束的等光程性M為待定點(diǎn)，設(shè)，有

入射—折射光程于是，普遍的變分方程,在此被簡化為一元微分方程即得此即Snell定律。第17頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.5物像等光程性費(fèi)馬原理的一個(gè)推論：

物象之間各條光線的光程是相等的。

——物象等光程性。物點(diǎn)Q 象點(diǎn)Q′同心光束 同心光束(同心光束的共軛變換)等光程性是指即與i無關(guān)?？扇》醋C法證之。第18頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.5物像等光程性意義：

嚴(yán)格等光程 嚴(yán)格成象 近似等光程 近似成象 非等光程 不成象表明：有了這個(gè)推論，便將“成象”的理論，推進(jìn)到現(xiàn)實(shí)的可操作的理論分析的境界。第19頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.6費(fèi)馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)1.6.1由費(fèi)馬原理導(dǎo)出球面鏡傍軸成象及其物象公式圖1.11待求“象點(diǎn)”，鏡面半徑，鏡心于左，；鏡心于右，思路：提出等光程要求：在同一介質(zhì)中，上述要求即為其中（1)第20頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.6費(fèi)馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)(同等近似處理)代入等光程方程(1)，有（消去d）（與d無關(guān)，成象，近似成象）物象距關(guān)系式:焦距(當(dāng)s=∞)正負(fù)號(hào)約定：物象點(diǎn)在左,物象點(diǎn)在右,第21頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.6費(fèi)馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)1.6.2由費(fèi)馬原理導(dǎo)出球面折射傍軸成象及其物象關(guān)系任意傾角入射線，相應(yīng)的折射光線為，顯然光程是△與x的函數(shù)。

令求解x(是否有解)。利用反射時(shí)曾經(jīng)出現(xiàn)的近似結(jié)果，即傍軸條件有第22頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.6費(fèi)馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)

求導(dǎo)整理(此方程決定的x與△無關(guān))顯然，得以滿足.namely,上述方程表明，球面傍軸確實(shí)能夠成象，令

得像方焦距

令

得物方焦距第23頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.6費(fèi)馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)1.6.3討論“極大值”情況實(shí)際光線光程為“極大植”的一個(gè)情形

經(jīng)象點(diǎn)Q′，到達(dá)Q″(向右位移)，則實(shí)際光線與鄰近的比較，其光程

系非等光程，是極大?極小?第24頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.6費(fèi)馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)幾何分析：光程差：即經(jīng)象點(diǎn)中軸光線，其光程這是球面折射面半徑r>0情況；若r<0時(shí)，與上述結(jié)論相反。第25頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.6費(fèi)馬原理應(yīng)用于球面折反系統(tǒng)解析方法：考察，虛擬光程L(QMQ″)的變化率考慮到,以及最后得當(dāng)

當(dāng)，結(jié)論反號(hào)?？傊?，“經(jīng)象點(diǎn)，態(tài)反轉(zhuǎn)”，這是第一例。第26頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例1.7.1反射等光程面

---橢球面、拋物面、雙曲面球面折射或球面反射只能在傍軸條件下近似成像，而不能實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格成像或理想成像。所謂理想成像系統(tǒng)，是對物空間所有物點(diǎn)發(fā)出的同心光束均能實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格成像的光學(xué)系統(tǒng)。至今只發(fā)現(xiàn)一個(gè)---平面鏡，放大率是1，應(yīng)用有限。如果只要求有一對嚴(yán)格意義的共軛點(diǎn)Q，Q′，即從Q點(diǎn)發(fā)出的任意寬光束，經(jīng)某一特殊曲面的反射或折射，而成為以Q′為中心的同心光束，是可以實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)像等光程原理，這些特殊形狀的曲面概被稱為等光程面。反射等光程面有三種，旋轉(zhuǎn)橢球面、旋轉(zhuǎn)拋物面和轉(zhuǎn)雙曲面，如圖1.14所示。第27頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例對(a),(b)有對(c)有負(fù)號(hào)意味著MQ′一段是虛光程第28頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例拋物鏡面廣泛地用于天文望遠(yuǎn)鏡。大口徑拋物鏡面，通常其中心部分留有一個(gè)光孔，在其前面適當(dāng)距離處置放一個(gè)小鏡面，如圖1.15所示。圖(a)中小鏡面為凹面鏡，圖(b)中小鏡面為凸雙曲面。遙遠(yuǎn)星體發(fā)來的平行光束，先經(jīng)拋物鏡面聚集，由聚焦點(diǎn)發(fā)出的同心光束再鏡面反射，通過中心光孔，最后射入接收器，供觀測者觀察、采集和分析。反射無色散，天文望鏡中的光學(xué)元件均采用反射鏡，其形狀有所不同。這對輸出的圖像質(zhì)量和光譜分析有利的。第29頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例1.7.2球面折射的齊明點(diǎn)對于單球面折射，一般而言只能實(shí)現(xiàn)傍軸成像，但也存在一對特殊共軛點(diǎn)，可以寬光束嚴(yán)格成像，如下圖所示。這一對共軛點(diǎn)稱為齊明點(diǎn)。顯微鏡就工作于齊明點(diǎn)。第30頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例如果以折射面球心C為參考，則齊明點(diǎn)的位置被確定為：當(dāng)然，這里的線度幾何量

均含正負(fù)號(hào)，其約定是：球面半徑r>0或r<0，分別對應(yīng)球心C在球面頂點(diǎn)的右側(cè)或左側(cè)；物距

或

，分別對應(yīng)物點(diǎn)在球心C的左方或右方；像距的正負(fù)符號(hào)的約定與物距的相反，

或

，分別對應(yīng)像點(diǎn)

在球心C的右方或左方。有了這一套正負(fù)號(hào)定則，就使得各種不同情形下的齊明點(diǎn)位置公式，都可以歸結(jié)為上面通用的公式。第31頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例

比如對于圖中顯示的那種情況，r＜0，物方介質(zhì)折射率設(shè)為n=1.5,像方空氣折射率

，代入上式，得到,，這表明

，點(diǎn)均在球心左側(cè)，顯然，這是一個(gè)實(shí)物形成虛像的情形。

另外，這一對特殊位置的共軛點(diǎn)，聯(lián)系著若干幾何學(xué)上的特殊性質(zhì)，參見圖1.16(b)。從齊明點(diǎn)Q0發(fā)出一入射線，傾角為u，對應(yīng)的折射角為i′，兩者恰好相等，;同時(shí)，對應(yīng)角的出射光線的傾角為u′與入射角i也相等，；當(dāng)入射線傾角時(shí)，某入射角恰好等于全反射臨界角，此時(shí)折射角為

，即折射光線恰好沿球面在該點(diǎn)的切線方向。

第32頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例圖1.17為顯微鏡物鏡列舉，復(fù)合鏡頭是為了消色差。第33頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例

1.7.3阿貝正弦定理

顯微鏡的觀察對象是一個(gè)小物，如右圖所示。小物上各點(diǎn)是否均處于齊明點(diǎn)位置，均能以寬光束出射而嚴(yán)格成像?利用球體的中心對稱性，讓軸光線QCO繞球心轉(zhuǎn)一角度，顯然與齊明點(diǎn)(Q，Q′)同在一圓弧上的各點(diǎn)，比如(P，P′)，均是一對齊明點(diǎn)。即弧形線確能嚴(yán)格成像于。

第34頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例當(dāng)圓弧很短時(shí)被很好地近似為一條直線，即，這表明置于齊明點(diǎn)位置的傍軸小物可以寬光束嚴(yán)格成像。用像差語言表達(dá)：工作于齊明點(diǎn)位置的傍軸小物，既消除了一般軸上物點(diǎn)產(chǎn)生的球差(spherialaberration)，也消除了一般軸外小物產(chǎn)生的彗差(comaticaberration)。有意思的是，入射光線傾角u、小物線度y和物方折射率n三者(n,y,u)，與像方對應(yīng)量之間有一個(gè)關(guān)系式：

這是德國物理學(xué)家阿貝，在蔡司公司工作期間為研究改善顯微鏡成像質(zhì)量而發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要定理，現(xiàn)今依然是光學(xué)設(shè)計(jì)的基本依據(jù)之一，被稱為阿貝正弦定理(Abbesinetheorem)。茲證明如下(參見圖1.18)。（式1.23)第35頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例

證明：在△QCM和△MCQ′中，分別利用三角正弦定理，得故有

再利用折射定律，改寫為

；利用相似三角形定理，將軸向的物像距之比

轉(zhuǎn)化為橫向物像線度之比,即

。于是，上式成為

，再寫成不變量形式如（1.23)式。第36頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例阿貝正弦定理是普遍成立的，適用于復(fù)合透鏡，它是傍軸小物很好成像，以消球差和消彗差所必須滿足的條件，故也稱其為阿貝正弦條件。在本書論述顯微鏡的分辨本領(lǐng)問題和傅里葉光學(xué)中的阿貝相干成像原理時(shí)將要用到阿貝正弦條件。阿貝正弦定理的價(jià)值還在于，它將橫向線放大率與光錐孔徑角正弦值之比值聯(lián)系起來，兩者成反比關(guān)系：

它表明，如果像被放大了，則光束聚散角要變小。在露天電影場合，人們可以發(fā)覺一束束細(xì)銳光束，從放映機(jī)中發(fā)出而掃射于屏幕上，就是這個(gè)道理。

第37頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例1.7.4雙曲面透鏡聚焦平行光束例題：如圖1.19所示，一寬平行光束入射于一透鏡，要求被嚴(yán)格聚焦于點(diǎn)。試問透鏡第二曲應(yīng)當(dāng)是何形狀?根據(jù)系統(tǒng)的軸對稱性，我們只需要確定曲線的形狀，再繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的曲面便是待求曲面。設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，取極坐標(biāo)

描述動(dòng)點(diǎn)的軌跡，它應(yīng)當(dāng)滿足等光程性，即,其中H點(diǎn)是M點(diǎn)對軸光線的垂足。第38頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例

由圖可知，光程，故上式化為

即解出：其中為長度，是設(shè)計(jì)參數(shù)，事先由焦距要求給出。

（1.25）由二次曲線的極坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)形式：

看出(1.25)式符合此標(biāo)準(zhǔn)形式，且離心率

，這表明(1.25)式確定的動(dòng)點(diǎn)軌跡應(yīng)當(dāng)是一條曲線，即待求的曲面是旋轉(zhuǎn)雙曲面。第39頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例例設(shè)計(jì)要求是：透鏡材料n=1.5，第一表面即圓形平面的半徑為R=5.0cm,焦點(diǎn)F′離O點(diǎn)的距離為D=10.00cm,參見圖1.20。

根據(jù)(1.25)式，將n=1.5代入，得到極坐標(biāo)方程的具體形式為：第40頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.7若干重要的特例據(jù)此，首先算得若干特征量如下，最大會(huì)聚角，最大矢徑長度,最短矢徑長度透鏡中心厚度。接著算出一系列值，列表如下：按上列數(shù)據(jù)，精確繪制如圖1.20。第41頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二1.6-1.8變折射率光學(xué)2.1自然變折射率2.2人工變折射率2.3強(qiáng)光變折射率2.4光線方程2.5實(shí)例2.6費(fèi)馬原理幾度大放異彩第42頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.1自然變折射率---大氣光學(xué)現(xiàn)象2.1.1寒冷海面上空———海市蜃樓高度y，有T，有n，典型數(shù)據(jù)：折射率介電常數(shù)光密到光疏第43頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.1自然變折射率---大氣光學(xué)現(xiàn)象海市蜃樓第44頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.1自然變折射率---大氣光學(xué)現(xiàn)象2.1.2熾熱地面上空———沙洲神泉高度y，有T，有n，相當(dāng)于鏡像，故倒像。第45頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.1自然變折射率---大氣光學(xué)現(xiàn)象2.1.3大氣電離層(D層)D區(qū)折射率變化函數(shù)：當(dāng)時(shí)，拋物型，被用于研究電磁波被電離層反射。理論上的根據(jù)：介電常數(shù)與溫度、濃度的關(guān)系又溫度分布。玻耳茲曼分布

得，函數(shù)。對T，n的理解。對“沿水平方向”的光線將繼續(xù)彎曲的理解。孤立一根光線是不存在的，與光線相聯(lián)系的是一光錐或光束，其小面積波前上，子波有不同速度。另一角度審視，沿水平方向直線行進(jìn)的光線，不是“極值路徑”，違背費(fèi)馬原理。第46頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.1自然變折射率---大氣光學(xué)現(xiàn)象2.1.4大氣中聲線的變曲類似于沙洲神泉類似于海市蜃樓姑蘇城外寒山寺，夜半鐘聲到管船。(張繼)新秋松影下，半夜鐘聲后。(白居易)秋水臨水月，夜半隔山鐘。(皇甫冉)半夜、夜半、午夜———

鐘聲、笛聲、琴聲……第47頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.1自然變折射率---大氣光學(xué)現(xiàn)象地面附近空氣中聲速公式：它可以解釋放地面聲音晚上比白天傳得遠(yuǎn)的原因，已如前面所說。我們還看到，這條曲線拐了幾個(gè)彎。聲速局部極小處C點(diǎn)，在此高程上發(fā)聲，任何方向的聲音都會(huì)折射彎向水平。因?yàn)閺腃點(diǎn)往下，其梯度和夜間地面上聲速梯度一樣；從C往上，是遠(yuǎn)離C的高度聲速變大，所以聲音總會(huì)彎向過C的水平線。即這個(gè)高程，聲音傳得特別遠(yuǎn)，稱為聲道，而具有聲速極大值的D點(diǎn)則相反，當(dāng)聲音傳播接近它時(shí)，有一部分會(huì)折射返回聲波來的那一側(cè)，猶如波的反射。第48頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.2人工變折射率微透鏡

量級(jí)，制成微透鏡列陣，用于集成光學(xué)中的光互連。薄片厚度：有焦距公式：

，或其相對孔徑：第49頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.2人工變折射率拋物型聚光纖維，單根傳象第50頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.3強(qiáng)光變折射率非線性效應(yīng)n(I)在強(qiáng)光條件下(108W/cm2)，顯現(xiàn)!又當(dāng)光束被限制于介質(zhì)棒中傳播時(shí)，發(fā)生衍射，其光強(qiáng)分布I(r)。于是有n(r)強(qiáng)光光學(xué)中的一個(gè)重要課題———強(qiáng)光與晶體介質(zhì)的相互作用在信息光學(xué)中，用于光存儲(chǔ)；“讀出”、“寫入”。左圖類似于凸透鏡；“自聚焦”；右圖類似于凹透鏡；“自散焦”第51頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.4光線方程特殊n(y):分層均勻介質(zhì)中的光線偏析，如圖：任意小弧元，微分線段ds,有即：第52頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.4光線方程注意到,和Snell定律，有：由初條件,求解微分方程，得y(x)曲線函數(shù)。光線方程的另一種形式(對上式再求導(dǎo)一次而獲得),

(二階微分方程)第53頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.4光線方程普遍，變折射率介質(zhì)n（r），n(x,y,z)取變量s，自然坐標(biāo)，即廣義坐標(biāo)，于是：求解r(s)軌跡方程，即光線方程。如同分析力學(xué)中的Hamilton方程，故稱謂：

變折射率光學(xué)·費(fèi)馬光學(xué)·哈密頓光學(xué)第54頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.4光線方程沙洲神泉的解是：其中：Note：雙曲余弦知