靜電場中金屬導體第一頁，共61頁。第二頁，共61頁?！?0-5靜電場中的金屬導體一、金屬導體的靜電平衡二、導體表面的電荷和電場四、導體靜電平衡性質的應用三、導體空腔第三頁，共61頁。一、金屬導體的靜電平衡（electrostaticequilibrium）

金屬的導電機理－通常的金屬導體都是以金屬鍵結合的晶體，處于晶格結點上的原子很容易失去外層的價電子，而成為正離子。脫離原子核束縛的價電子可以在整個金屬中自由運動，這種電子稱為自由電子。

自由電子

當把導體放入靜電場

中時，導體中的自由電子在外電場

的作用下定向運動，在導體一側集結出現負電荷，而另一側出現正電荷，這種現象稱靜電感應現象。集結的電荷稱為感應電荷。

第四頁，共61頁。導體內部和表面都無電荷定向移動的狀態(tài)稱為靜電平衡狀態(tài)。

1.整個導體是等勢體，導體的表面是等勢面。在導體內部任取兩點P

和Q，它們之間的電勢差可以表示為外電場與自由電荷移動后的附加場之和為總場強

2.由于電場線與等勢面垂直，因此導體表面附近的電場強度處處與表面垂直。第五頁，共61頁。

3.導體內部不存在凈電荷，所有過剩電荷都分布在導體表面上。因為導體內部的電場強度為零，上式積分為零，所以導體內部必定不存在凈電荷。在導體內部任取一閉合曲面S，運用高斯定理，應有二、導體表面的電荷和電場導體表面電荷的分布與導體本身的形狀以及附近帶電體的狀況等多種因素有關。大致的規(guī)律為：在導體表面凸起部尤其是尖端處，面電荷密度較大；表面平坦處，面電荷密度較?。槐砻姘枷萏?，面電荷密度很小，甚至為零。第六頁，共61頁。在帶電導體表面任取一面元S，可認為其電荷面密度為均勻分布。包圍S作一圓柱狀閉合面，使其上、下底面與導體表面平行。通過整個圓柱狀閉合面的電通量等于通過圓柱上底面的電通量。上式表示，帶電導體表面附近的電場強度大小與該處面電荷密度成正比。ΔS根據高斯定理，有金屬針上的電荷形成的“電風”會將蠟燭的火焰吹向一邊，這就是尖端放電現象。

第七頁，共61頁。三、導體空腔

（靜電屏蔽ElectrostaticShielding）1.內表面上不存在凈電荷，所有凈電荷都只分布在外表面。2.空腔內部電場強度為零，即它們是等電勢?？赡苡袃煞N情形，第一種情形是等量異號電荷宏觀上相分離，并處于內表面的不同位置上，與靜電平衡條件相矛盾。因此只能是第二種情形，即內表面上電量處處為零。腔內若存在電場，則電場線只能在腔內空間閉合，而靜電場的環(huán)路定理已經表明其電場線不可能是閉合線，所以整個腔內內不可能存在電場電勢梯度為零。即電勢處處相等并等于導體的電勢。第八頁，共61頁。若金屬空腔導體內部有帶電體由高斯定理可得:q–q’S

說明空腔內表面所帶總電量與空腔內帶電體的電量相等、符號相反。導體空腔是等勢體，腔內場強不為零，不是等電勢區(qū)間。在導體內在空腔內Q第九頁，共61頁。例題外半徑

R1、內半徑為R2

的金屬球殼中放一半徑為

R3

的金屬球，球殼和球均帶有電量q的正電荷。求：（1）球心的電勢，（2）球殼電勢。電荷+q

分布在內球外表面球殼內表面帶電–q

球殼外表面帶電2qR3R2R1++++++++++++++++++++--------

電荷分布具有球對稱，故場強分布也具有球對稱，可以利用高斯定理求出電場的分布情況。第十頁，共61頁。小球內部的電場：小球外空腔內的電場：球殼內部的電場：球殼外部的電場：球心處的電勢：球殼處的電勢：R3R2R1第十一頁，共61頁。利用導體靜電平衡的性質，使導體空腔內部空間不受腔外電荷和電場的影響，或者將導體空腔接地，使腔外空間免受腔內電荷和電場影響，這類操作都稱為靜電屏蔽。無線電技術中有廣泛應用，例如常把測量儀器或整個實驗室用金屬殼或金屬網罩起來，使測量免受外部電場的影響。

四、導體靜電平衡性質的應用＋q＋q-q＋q-q1.靜電屏蔽第十二頁，共61頁。+Q--------------------------++++++++++++++++++++++++++++++第十三頁，共61頁。--------------------------++++++++++++++++++++++++++++++?+Q第十四頁，共61頁。２.范德格拉夫靜電高壓起電機

這種起電機是利用導體空腔所帶電荷總是分布在外表面的原理做成的。右圖是范德格拉夫靜電高壓起電機的示意圖，起電機工作時A的電勢可達2106V。這種裝置是靜電加速器的關鍵部件，主要用于加速帶電粒子以進行核反應實驗，也用于離子注入技術以制備半導體器件。ABGDECDF第十五頁，共61頁。

３.庫侖平方反比律的精確證明由于庫侖定律是電磁理論的基本規(guī)律之一，另外，庫侖定律是否為嚴格的平方反比律，即在下式中是否嚴格等于零，是與一系列重大物理問題相聯系的。

在證明高斯定理時我們已經看到，高斯定理的成立是由于庫侖定律滿足平方反比律，即

=0；而處于靜電平衡的金屬導體內部不存在凈電荷的結論，是高斯定理的直接結果。試設想，庫侖平方反比律不嚴格成立，高斯定理就不存在，處于靜電平衡的金屬導體內部就可能存在凈電荷。所以，用實驗方法測量導體內部不存在凈電荷，可以精確地驗證庫侖平方反比律。第十六頁，共61頁。例1

兩塊導體平板平行并相對放置，所帶電量分別為Q和Q

，如果兩塊導體板的面積都是S，且視為無限大平板，試求這四個面上的面電荷密度。

解

設四個面的面電荷密度分別為1、2、3和4，空間任一點的場強都是由四個面的電荷共同提供的。由高斯定理，各面上的電荷所提供的場強都是i/20。另外，由于導體內部的合成場強為零。若取向右為正方向，則處于導體內部的點A和點B的場強可以表示為第十七頁，共61頁。根據已知條件S(

1

2)=QS(

3

4)=Q可解得

上式表明兩塊無限大的導體平板，相對的內側表面上面電荷密度大小相等、符號相反，相反的外側表面上面電荷密度大小相等、符號相同。如果Q=Q

，可以求出S第十八頁，共61頁。

一、電介質的極化(polarizationdielectric)絕緣體都屬于電介質。在這種物質中，不存在自由電荷，但是在靜電場的作用下，電介質的表面上會出現電荷，稱為極化電荷。電介質出現極化電荷的現象，稱為電介質極化?！?0-6靜電場中的電介質無極分子例如：CO2，H2，N2，

O2，

He有極分子例如：H2O，HCl，CO，SO2電子云的正電中心在電介質分子中，分布在分子中的正、負電荷“重心”不重合的稱為有極分子介質，而正、負電荷“重心”相重合的分子，稱為無極分子介質。第十九頁，共61頁。第二十頁，共61頁。

水的一項重要特性就是它的極性。水分子呈角狀，當中氫原子位于末端而氧原子則在頂點。由于氧的電負性比氫高，所以分子中有氧原子的一邊電荷會偏負。帶這樣一個電荷差的分子被稱為偶極子。電荷差使得水分子互相吸引（偏正電的區(qū)域會被偏負電的區(qū)域吸引），同時亦使它們和其他極性分子互相吸引。這種吸引力被稱為氫鍵，它解釋了許多水的特性。某些分子，如二氧化碳，原子間負電性亦有差異，但不同之處在于二氧化碳分子形狀成對稱排列，因此對立電荷會被相互抵消。如果將電荷靠近小水柱時亦可觀察到水的此一現象，這現象會使水柱向電荷方向彎曲。第二十一頁，共61頁。二、極化強度矢量(Polarization)式中是在電介質體元內分子電偶極矩的矢量和，極化強度的單位是C/m2(庫侖/米2)如果電介質內各處極化強度的大小和方向都相同，就稱為均勻極化。我們只討論均勻極化的電介質。為表征電介質的極化狀態(tài)，定義極化強度矢量：在電介質的單位體積中分子電矩的矢量和，以表示，即注意這個單位與面電荷密度是相同的第二十二頁，共61頁。三、極化強度與極化電荷的關系若把整個斜柱體看為一個“大電偶極子”，它的電矩的大小為Sl，所以，斜柱體內分子電矩的矢量和的大小可以表示為斜柱體的體積為極化強度的大小為對于均勻極化的電介質，極化電荷只出現在介質表面上。在電介質內切出一個長度為l、底面積為S的斜柱體，使極化強度

的方向與斜柱體的軸線相平行，而與底面的外法線

的方向成角。第二十三頁，共61頁。第二十四頁，共61頁。為了得到極化強度與極化電荷更一般的關系,在閉合曲面S上取面元dS，以dS乘以上式等號兩邊，并對整個曲面S

積分得由此得到

=Pcos=Pn,或表示極化電荷面密度等于極化強度沿該面法線方向的分量。S上式表示，極化強度沿任意閉合曲面的面積分(即

對該閉合曲面的通量)，等于該閉合曲面所包圍的極化電荷的負值。

也可以引入

線來表示在介質中極化強度的分布狀況，

線起自極化負電荷，終止于極化正電荷。第二十五頁，共61頁。四、極化電荷對場強的影響處于靜電場

中的電介質由于極化而在其表面上產生極化電荷，極化電荷在空間產生的電場稱為附加電場，用

表示?？臻g各處的電場強度

應為外加電場

與附加電場

的矢量和，即在電介質內部，由于與

的方向相反，于是有

，在電介質內部的附加電場

有一個特殊的名稱，叫做退極化場。第二十六頁，共61頁。式中e是電介質的極化率。引入電介質的相對電容率，定義為

r

=1+e以平行板電容器為例,如果極板電容器上所帶自由電荷面密度分別為和，則兩板之間的電場強度的大小為E0=σ/ε0

在電容器內充滿均勻電介質時，

＝

σ/ε0

總電場強度

的大小可以表示為–0+0+’–’實驗表明，對于各向同性的電介質，極化強度與作用于電介質內部的實際電場

成正比，并且兩者方向相同，可以表示為第二十七頁，共61頁。聯立

r

=1+e，可以得到式中

0

r是電介質的絕對電容率，也稱電介質的電容率。由于電場強度的減小，電容器極板間的電勢差U12也相應減小了，并為電介質不存在時的1/r，即式中U012是電介質不存在時電容器極板間的電勢差，d是兩極板之間的距離。第二十八頁，共61頁。在保持電容器極板所帶電量不變的情況下，電容與電勢差成反比，所以即C=

rC0

式中C0是電介質不存在時電容器的電容?？梢?，由于電容器內充滿了相對電容率為

r的電介質，其電容增大為原來的

r倍。第二十九頁，共61頁。五、電介質存在時的高斯定律自由電荷束縛電荷真空中的高斯定律而現在電場中有電介質，高斯面內可能同時包含自由電荷和極化電荷這兩種電荷，高斯定理應表示為第三十頁，共61頁。物理意義自由電荷對于任一閉合曲面的電位移通量，等于該閉合曲面所包圍的自由電荷的代數和。高斯定理的微分形式：對于各向同性的電介質定義電位移(electricdisplacement)矢量第三十一頁，共61頁。六、邊界條件在兩種不同的電介質分界面兩側，D和E一般要發(fā)生突變，但必須遵循一定的邊界條件。在兩種相對電容率分別為

r1和

r2的電介質分界面處，作一扁平的柱狀高斯面,使其上、下底面(S)分別處于兩種介質中，并與界面平行，柱面的高很小,運用高斯定理，得即或D1n=D2n上式表示，從一種介質過渡到另一種介質，電位移的法向分量不變。第三十二頁，共61頁。上式表示，從一種介質過渡到另一種介質，電場強度的切向分量不變。即

或E1t=E2t在上述兩種介質分界面處作一矩形回路ABCDA，使兩長邊(長度為l)分別處于兩種介質中，并與界面平行，短邊很小，取界面的切向單位矢量

的方向沿界面向上。由靜電場的環(huán)路定理得第三十三頁，共61頁。例1半徑為R的金屬球帶電量Q，球外同心地放置相對電容率為

r的電介質球殼，球殼的內、外半徑分別為R1和R2。求空間各點的電位移D、電場強度E以及電介質球殼表面的極化電荷密度

。解以金屬球心為中心、以大于R的任意長r為半徑作球形高斯面，由高斯定理可求得高斯面在R<r<R1和r>R2的區(qū)域，不存在電介質，

r=1，有在R1<r<R2的區(qū)域，存在電介質，所以第三十四頁，共61頁。也可以根據公式

來求

，得在外表面，r=R2，

沿徑向向外，所以極化電荷出現在電介質球殼的內、外表面上。在內表面，r=R1，指向球心，所以電介質的極化強度

只存在于極化了的電介質球殼中，并且

的方向與

相同。

的大小為第三十五頁，共61頁。電介質整體是電中性的，所以電介質球殼內、外表面上的負、正極化電荷量必相定等，在內表面上的負極化電荷總量為在外表面上的正極化電荷的總量為第三十六頁，共61頁。例2平行板電容器充滿兩層厚度為d1和d2的電介質(d=d1+d2)，相對電容率分別為εr1和εr2。求：(1)電介質中的電場；(2)電容量。介質中的場強同理得到+–d1d2S1S2解設兩介質中的電位移為

和

，由高斯定理知第三十七頁，共61頁。板間電勢差電容器的電容以上例題的求解，都是繞過了極化電荷的影響，通過電位移矢量進行的，使問題大為簡化了。第三十八頁，共61頁。39§10-7

電容和電容器

孤立導體的電容只決定于導體自身的性狀，而與所帶電荷和電勢無關，它反映了孤立導體儲存電荷和電能的能力。一、孤立導體的電容(capacity)定義：孤立導體的電容例如，半徑為R，帶電量為Q的孤立的導體球，其電勢表示為于是孤立導體球的電容為孤立導體球的半徑越大，其電容就越大?。?！那么隨著半徑的增大，它所具有的能量呢？這個問題我們將會在電場的能量中進行討論！第三十九頁，共61頁。電容的單位：稱作F

(法拉)或記為C/V

(庫侖/伏特)。一個法拉有多大？如果我們想使一個半徑為R的導體球的電容為一個法拉，它的半徑是：9000000000m，這個距離相當于地球到月球距離的差不多25倍；地球的半徑是6400km，那么地球這么大的一個導體球的電容為700微法直徑0.3m的導體球的電容為30皮法直徑一個厘米的導體球的電容為1個皮法。第四十頁，共61頁。41二、電容器(capacitor)在周圍沒有其它帶電導體影響時，由兩個導體組成的導體體系，稱為電容器。＋Q-QRARB如圖所示，用導體空腔B把導體A包圍起來，B以外的導體和電場都不會影響導體A以及A、B之間的電場?？梢宰C明，導體A、B之間的電勢差VAVB與導體A所帶電量成正比，而與外界因素無關。電容器的電容定義為第四十一頁，共61頁。421.平行板電容器平行板電容器面積為S

，板間距為d

且三、電容的計算平行板電容器的電容與極板的面積S成正比，與兩極板之間的距離d成反比。電容C與電容器的形狀、尺寸、介質的因數有關,當其中充滿電介質后，電容為：

第四十二頁，共61頁。2.同心球形電容器

兩個同心金屬球殼帶有等量異號電荷電量為Q，兩球殼之間的場強為＋Q-QRARB兩球殼間的電勢差為第四十三頁，共61頁。443.

圓柱形電容器（同軸電纜）兩個長為

l

的圓柱體，圓柱面上帶有等量異號的電荷，其間距離RBRA<<l，線電荷密度為λ=Q/l

。第四十四頁，共61頁。45四、電容器的聯接1.并聯電容器的電容等效令第四十五頁，共61頁。462.串聯電容器的電容等效令第四十六頁，共61頁。47

例1

兩根距離為d

的平行無限長直導線帶等量異號電荷,構成電容器，設導線半徑a<<d，求單位長度的電容。xdOxa

解：

如圖建立坐標系，坐標軸上x處的場強可由高斯定理求出方向沿x軸正方向，式中是正電導線單位長度所帶電量。兩導線間的電勢差為由此可算得單位長度的電容為第四十七頁，共61頁。能量是定域于場的，靜電能是定域于靜電場的?！?0-8靜電場的能量

一個帶電體系所具有的靜電能就是該體系所具有的電勢能，它等于把各電荷元從無限遠離的狀態(tài)聚集成該帶電體系的過程中，外界所作的功。帶電體系所具有的靜電能是由電荷所攜帶呢，還是由電荷激發(fā)的電場所攜帶？能量定域于電荷還是定域于電場？在靜電場中沒有充分的理由，但在電磁波的傳播中能充分說明場才是能量的攜帶者。第四十八頁，共61頁。一平行板電容器，極板面積S，極板間距d，極板上的電荷為Q根據之前的推導，極板間的電場強度為+-現在把某個極板（不妨移動正極板）向遠離另一個極板的方向緩慢移動距離h，意即動能的改變忽略不計。由于極板分別帶正電和負電，極板間存在吸引力，所以移動極板就要額外做功，所做的功為多少呢？正極板處于負極板所激發(fā)的電場中，所以它所受的靜電場力為負極板所激發(fā)的場強乘以正極板的電量：因此克服這吸引力并將正極板移動距離d所做的功為：這里的ud是d這段距離所對應的電勢差。外力所做的的這W的功都轉化為所增加的電場的能量。第四十九頁，共61頁。也可以用另一個方式分析電場能量的問題，現在考慮電容器充電過程中,設某時刻兩極板間的電壓為UAB

,在外力作用下持續(xù)地將dq電量從負極板移到正極板時，外力因克服靜電場力作的功為所以在電容器中儲存的能量為+注意，這個公式對所有的電容器，包括平行板電容器、球形電容器以及圓柱形電容器等，都適用?。。。。?！第五十頁，共61頁。因為電容器中的電量、場強和電壓分別為Q=

S=

ES,E=E/εr=σ/ε