PAGEPAGE5（江蘇專用）2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章第1課時(shí)向量的概念與線性運(yùn)算課時(shí)闖關(guān)（含解析）[A級雙基穩(wěn)固]一、填空題1．以下命題：①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一方向相同；②三角形ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；③假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，那么A，B，C為三角形的三個頂點(diǎn)；④假設(shè)a，b均為非零向量，那么|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．其中假命題的序號為________．解析：①假設(shè)a與b長度相等，方向相反，那么a＋b＝0；③A，B，C三點(diǎn)可能在一條直線上；④|a|＋|b|≥|a＋b|.答案：①③④2．(2023·揚(yáng)州質(zhì)檢)假設(shè)A、B、C、D是平面上任意四點(diǎn)，給出以下式子：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))；②eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；③eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).其中正確的有________個．解析：①式的等價(jià)式是eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))，左邊＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，右邊＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，不一定相等；②式的等價(jià)式是eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))成立；③式的等價(jià)式是eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))成立．答案：23．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，那么λ＝________.解析：由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,3k＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,k＝\f(1,3).))答案：－eq\f(1,3)4．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，那么eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a、b表示)．解析：由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，得4Aeq\o(N,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))＝3(a＋b)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－(a＋eq\f(1,2)b)＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b5．(2023·福州質(zhì)檢)已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，假設(shè)eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，那么點(diǎn)P一定在________．(P點(diǎn)位置)解析：由于eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))?eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))?eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，根據(jù)共線向量的根本條件，那么C，P，A三點(diǎn)共線．答案：直線AC上6．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a、b不共線，那么四邊形ABCD的形狀為________．解析：由已知可得：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b，故eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，由向量共線定理可知AD∥BC且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，故四邊形ABCD為梯形．答案：梯形7．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，那么x＝________，y＝________.解析：由題可知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案：eq\f(2,3)eq\f(1,3)8．(2023·高考湖北卷改編)已知△ABC和點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，那么m＝________.解析：由已知條件易得M為△ABC的重心，取BC的中點(diǎn)D，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故m＝3.答案：3二、解答題9．點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，求證：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))；(2)eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0.證明：(1)如圖，在△ABF中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，在△ACF中，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)).(2)∵點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的三邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，∴四邊形EDFC是平行四邊形，eq\o(ED,\s\up6(→))＝－eq\o(FC,\s\up6(→)).又eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→))＝－eq\o(DF,\s\up6(→))，故eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＋(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))＋(eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→)))＝(－eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＋(－eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→)))＝0.10．已知O、A、B是不共線的三點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m、n∈R)．(1)假設(shè)m＋n＝1，求證：A、P、B三點(diǎn)共線；(2)假設(shè)A、P、B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.證明：(1)假設(shè)m＋n＝1，那么eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))共線．又因?yàn)锽P與BA有公共點(diǎn)B，∴A、P、B三點(diǎn)共線．(2)假設(shè)A、P、B三點(diǎn)共線，那么eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．由條件meq\o(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.因O、A、B不共線，∴eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，由平面向量根本定理知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.[B級能力提升]一、填空題1.如下圖，在△OAB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，M、N分別是邊OA、OB上的點(diǎn)，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，設(shè)AN與BM交于點(diǎn)P，那么eq\o(OP,\s\up6(→))用a，b表示為________．解析：∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(MP,\s\up6(→))＝meq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝neq\o(NA,\s\up6(→))，那么eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋meq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋m(b－eq\f(1,3)a)＝eq\f(1,3)(1－m)a＋mb，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋neq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(1－n)b＋na.∵a與b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)1－m＝n,\f(1,2)1－n＝m))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,5)，,n＝\f(1,5))).∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b.答案：eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b2．設(shè)D、P為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)且滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up6(→))，那么eq\f(S△APD,S△ABC)＝________.解析：由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))可知，點(diǎn)D在△ABC的中線AE上，且AD＝eq\f(1,2)AE，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up6(→))得eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up6(→))，由平面幾何知識可知eq\f(S△APD,S△ABC)＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)3．假設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以下向量中能表示∠AOB平分線上的向量OM的是________．①eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)；②λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))，λ由eq\o(OM,\s\up6(→))確定；③eq\f(a＋b,|a＋b|)；④λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|b|a＋|a|b,|a|＋|b|)))，λ由eq\o(OM,\s\up6(→))確定．解析：由平面幾何知識知∠AOB的平分線可視為以O(shè)A，OB所在線段為鄰邊的菱形的對角線OM所在的直線，故eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))，其中λ由eq\o(OM,\s\up6(→))確定．答案：②4．(2023·高考山東卷改編)設(shè)A1、A2、A3、A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，假設(shè)eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，那么稱A3、A4調(diào)和分割A(yù)1，A2，已知平面上的點(diǎn)C、D調(diào)和分割點(diǎn)A、B，給出如下說法：①C可能是線段AB的中點(diǎn)；②D可能是線段AB中點(diǎn)；③C、D可能同時(shí)在線段AB上；④C、D不可能同時(shí)在線段AB的延長線上，那么正確的有________個．解析：依題意，假設(shè)C、D調(diào)和分割點(diǎn)A、B，那么有eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，假設(shè)C是線段AB的中點(diǎn)，那么有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，此時(shí)λ＝eq\f(1,2)，又eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，∴eq\f(1,μ)＝0，不可能成立，因此①不成立，同理②不對；當(dāng)C、D同時(shí)在線段AB上時(shí)，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此時(shí)eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＞2，與已知矛盾，因此③不對；假設(shè)C、D同時(shí)在線段AB的延長線上，那么eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))時(shí)λ＞1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))時(shí)μ＞1，此時(shí)eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＜2和eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2矛盾，故C、D不可能同時(shí)在線段AB延長線上，因此④正確．答案：1二、解答題5．已知O是正△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求△ABC的面積與△OAC的面積之比．解：如圖，取BC與AC的中點(diǎn)M、N，連結(jié)OM、ON.∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋3(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0.∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝6eq\o(OM,\s\up6(→))，同理得eq\o(BA,\s\up6(→))＝3eq\o(ON,\s\up6(→)).∴2eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(NO,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))與eq\o(NO,