實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)高考?jí)狠S題中的對(duì)數(shù)平均不等式鏈.對(duì)數(shù)平均值的覦念中學(xué)數(shù)學(xué)教育專家安振平在剖析2013年陜西高考教學(xué)I時(shí)指出，其壓軸題的理論背漆是：0十分 /? t~~7設(shè)凡b>0,設(shè)凡b>0,則a-b2In(7-Inb其中hia-hib被稱之為時(shí)數(shù)平均值對(duì)數(shù)平均值在現(xiàn)行高中教材沒(méi)有出現(xiàn)，但其短含著高等數(shù)學(xué)的背景，近幾年的高考?jí)狠S題中，頻頻出現(xiàn)。安振平老師構(gòu)造函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)證明了對(duì)數(shù)平均數(shù)的有關(guān)不等式，難度較大，為此，本文作了一些探討，以期對(duì)高考復(fù)習(xí)迎考有所啟發(fā)口二,對(duì)數(shù)平均值的不等式第設(shè)b>a>O.a^b,則, 。十方b一口廠廠2b> > >Tub>-——r>a2In8-Inb 1.1［十］三,不等遇傕的祉而下面以生2>h一口為例加以證明◎2山方一I口口思路1：由于%防兩個(gè)獨(dú)立的變量，如果箱夠變用為一個(gè)整體,那么就可以構(gòu)造兩個(gè)變量的比值（或爰值）通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為一元變量，再利用導(dǎo)載這個(gè)工具證明此不等式.文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)證去上法方aaaOn不兒則不希式等價(jià)于?戶斗方）（1n方一I□口）>2（后一口）0--M!n—>21--11設(shè)函數(shù)/（y）=（1+》}lnH一2（x-1）（#>］），則*工+1.xlnx-jc+1/'⑴=1”+^——2= ——X X今后（*）=k_*+1（*>1），則gf（x）=Injf>0,所以g（r）在口，+"）單調(diào)速增，g（x）>g（l）=0,所以/7x）>0,f（x）在（L+8）單調(diào)遞增J{x}>/⑴二0，敵持證不等式成立U思路上因?yàn)橐C的不等式中含有兩個(gè)變量，地位均衡.如果我們辯證的看到它們.將身中某一個(gè)變量作為主元，另外的一個(gè)變量視作為常量來(lái)處理，那么拄往問(wèn)題就可破解一證法2:設(shè)8>口>0,白產(chǎn)方，則不等式等價(jià)于TOC\o"1-5"\h\ztb、b if i（￡7+8）（ln8出。）>2（5瘋）O—+1In—>2——1qJ口 ? j談函數(shù)7?（jr）=（<i+工）（ln工一In口）一2|或一句（工>口）.劉a. ］x1nx-（lncr+l）x+t?A（x）=ln^+——Ina-1 ' ,令”（》）二.vIn.r—（Tin口+1）工一口（hau）,則"'{4）=In工+1（Ind+1）=Injr-In?>0,所以在）（0#ao）單調(diào)遞增口（工）>"（。）二°，所以"{￡}>0,人（x）在（力十go）單調(diào)謔增加（x）>/:（a）=0T評(píng)注證法］是先將不等式逆推分析，進(jìn)行羊價(jià)轉(zhuǎn)化，使得其中的兩個(gè)變量的特征、現(xiàn)律更明朗，然后將兩個(gè)變量的比值（或和、或差、或積）替換為新的一元變量，便于構(gòu)造出新的一元函教再通過(guò)對(duì)新的一元函數(shù)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性，確定極值（■或最值），達(dá)到解決問(wèn)題的目的，可歸結(jié)為“化歸-換元-構(gòu)造-求導(dǎo)"證法2將地位均衡的兩個(gè)變量之一作為主元，另外的一個(gè)變量視為常量來(lái)處理，柄造出一元函敷，可歸結(jié)為”二7-文檔大全

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)■對(duì)數(shù)平用值的幾何解釋/3在點(diǎn)K(1)因?yàn)椤烊鐖D所示，作AP廿BCHTU力KVJ*/3在點(diǎn)K(1)因?yàn)椤烊鐖D所示，作AP廿BCHTU力KVJ*MNHCDHw軸,則.4(O,0白一「 1、 「LB(瓦0卜。b去,T\而.Ib反比例函數(shù)/(x)=^(x>0)的圖象,x的切線分別與力尸I。交于E,F,如圖可知：/動(dòng)將如6r二S廂不一北塞日斤以bib一Inci<―^=-,--b(2)-Jab五,不等式第的通用文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)平均數(shù)的不等式鏈，提供了多種巧妙放縮的途徑，可以用來(lái)解決含自然對(duì)數(shù)的不等式問(wèn)題.對(duì)數(shù)平均數(shù)的不等式鏈包含多個(gè)不等式，我們可以根據(jù)問(wèn)題的需要合理選取其中一個(gè)達(dá)到不等式證明的目的.1內(nèi)鼻叫一叫的應(yīng)用軻1(20E陜西)設(shè)函數(shù)了(1=皿1%》式工)=必，(4其手/(幻是〃工)的導(dǎo)函數(shù).(3)設(shè)打左州+,比較&⑴+g(2)+…+ 打一盧(內(nèi)) 的大小，并加以證明.解析：(3)因?yàn)間(M=六，所以只(1｝+且｛2)+—+劃燈｝二:十二十一十二7二仃一：+!十…+°v)=,3w+1 ＜23科+1J而力一/5)一六一汨5+1).因此，只需比較:*："T二與的大小即可. 1 〃+1解析；由于方＞口＞0時(shí)，匕＞,，—-＞即10—占一Int,Inb—In白 b令日二，】/=療十L則一彳＜hi("+1)—In/所以;＜ln2-In1=In工;＜In3-In2,…、一^＜ln(n+1)-1□打?qū)⒁陨细鞑坏仁较嗉拥茫篿+'+…h(huán)—彳＜ln(”1),故g(l^(2)+-+jgr(n)＞?-/(?).評(píng)注本題是高考試題的壓軸題，難度較大.為了降低試題的難度采取多步設(shè)問(wèn)，層層遞進(jìn)，上問(wèn)結(jié)論，用于下河，其第二問(wèn)是為第三問(wèn)做鋪墊的“梯子”，盡管如此，步驟依然繁瑣，求解過(guò)程笈雜，但我們這里應(yīng)用對(duì)數(shù)平均敷不等式犍來(lái)證明，思路簡(jiǎn)捷，別具新意，易于學(xué)生理解、掌握.文檔大全

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)例212012天津）設(shè)，函數(shù)“工）二工-由心+b）（口>0）的最小值為0.（1）（2）t略）TOC\o"1-5"\h\z（- 2<3）證明：二門一山（窈+1）<2行口￥。]■】白T 222 2解析:（3）易求。二L待證不等式等價(jià)于彳十三十亍十…十立彳工111,期十力jJf 上F7-1b—口 |由于b>a>弼',b>------,即:（占一。）<Jti5一如小ln6-In。 b令好*-1令好*-1為=加+1,則二十1）—廣訴1CIn12阿+1)-In[2收一1；,2 2 .因此—<In3—biL_<In5—In3,-In7—In5,…,5 7 <lni'2?7+l)-ln(2/7-l),2(h+1J-1將以上各不等式左右兩邊號(hào)別相加得：222 2 2 」-J-+-+…?-^-? <In(2m1)357 2/一I2/7+17 2即1⑶+3—5二1<工2勝空>…。）的應(yīng)用\ 2hin—hlfl例m設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)為為二百缶彳，其前乂項(xiàng)的和為久,證明凡<ln（打+1）. 解析.因?yàn)榭?gt;0時(shí)，忙運(yùn)〉上？即Inb-kia〉早fy2 InZ?—hia3 Ja~+b~令8二打+LQ二小則，戶-十（打+1）《，戶-十（打+1）五>],=242力-+力才+2文檔大全

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)3竽＞告人心切的應(yīng)用（2015廣州三模）記函數(shù)H（?的圖象為曲蹺U設(shè).修門）理工,J：）為曲線仃上的不同兩點(diǎn).如果在曲線C上存在點(diǎn).卜區(qū),耳），也得：fA\ *十工不⑴%=2?（2）曲線匚在點(diǎn)M處的切線平行于直線.始側(cè)祚函數(shù)月（0存在“中值相依切線”.法同函數(shù)/（X）=111x--avJ+（訂-］}》（白丘見(jiàn)口『G）是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由.2‘11】小一1nM 1——= ‘11】小一1nM 1——= ---aJVr一瑞2化簡(jiǎn)可用」' .vInx2-In〃工，+X ,———1十口一I,2（總+芍）+（（7-］）=—=——口啊十巧2 ,不一可小十期 *二。父由旅二廠如假設(shè)不成立。故函數(shù)/%）存在“中值相依切畿"O例5（2015瀘州三診）汜函數(shù)= =工/+瓜（日工0}（1）⑵（＜）（3）段函數(shù)f{x］的圖象G與函數(shù)名（工）的圖象G交于『,0過(guò)線段20的中點(diǎn)R作*的全線分別交G，g于總M,N,問(wèn)走否存在照用使得G在河處的切線與G在N處的切或平行？若存在，求出R的穩(wěn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由口解析.2（居—司）口（石X）7 .（\ .,wi2kl所碼._L^__H=J L^b（xi-xl）=-ax^+/?x,--ax^+bx.N］十,? 2 12 J\2 /茅盾,茅盾,故不存在3在M處的切線與U在N處的切或平行二網(wǎng)6設(shè)數(shù)列{端的通項(xiàng)為《=+1+1+…+上證明工勺口+bb—a 2fft—0）解析：因?yàn)?＞白》0時(shí)，-＞ ,^nb-\na＞———2Ini—Inr? aA-b冬木二2"十L日二2打一L颯ln（2n+l）-ln（2H-i）＞-!-易證4＜ln（2打+1）. "文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用例7《2010湖北)已知函數(shù)處的切線方程為J'=x—L(1)用白表示瓦c:(2)=?+：+c(a>0)的圖象在點(diǎn)(],/(1]]1略)(3)證明+1+:十|十一+」>1口值+1)+ -±(內(nèi)之1卜上5 打 上I仃I1J解析？⑴b-a-tc=\-2a\b-a、 2(3)因?yàn)閕r;>c?:>0時(shí),1口6_加口>T"即Inb—In僅一十二ab1(12{abri門令8二17+1,￡?=%則卜1仞+1)—1口打<——+21打因此…— 「1In21-In1 —7lnj-ln2<l|l+l，…,

212 3j[]In(四+1]—hi口<3—H將以上各不等式左右兩邊分別相加得；ln^?+1)<[1123mJ2(w+1)即In(^+1)<1H--+-H---I 1 1--- --,持證不等式ln^?+1)<[1123mJ2(w+1)即In(^+1)<1H--+-H---I 1 1--- --,持證不等式成立.234n2w+1)2 ,z. 『 .工(I十尢v例80013年新課標(biāo)I)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)"用二切(I十必一一,二一⑴若戈蘭。吃〃￡)￡0,求人的串公值； i4(2)設(shè)數(shù)列加」的通項(xiàng)為g=1+、-+…+L證外％,一口]一>In2解析■門｝月的最小值是，b—Q⑵當(dāng)白時(shí).也匕_歷J-+--證明士門M尸\nblna<—1 1 , Vr一十工(萬(wàn)一m，2gb)bi令方=打+1,白二珥則1)In出《1.11——I 2n內(nèi)+1,文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)所以1口（日+1j—111]（Ttph1口（日+1j—111]（Ttphxhi2h1-InI2n-1）<?—In（打+3）-In（打+2）< —二將以上各不等式左在兩邊分別相加程:In2<—+2?1II 十 + +…+>1+1M+2辦+32m1J—,受形即可得證.4hi'i-i-：本題提供標(biāo)準(zhǔn)答案是借助于第一問(wèn)的尤的最小值N=—時(shí),x(2+1]In(1+a*)< 1x>0)T 加以蜘底,并進(jìn)行變哆，242jc-Jul2^+1 1景—1）（\Jul2^+1 1景—1）（\1—4-——2U4+1亦即ln（l+）-InA<—達(dá)到放縮的目的.兩者相比較，自然是運(yùn)用時(shí)數(shù)平均值的不等式鍵的方法簡(jiǎn)捷.1n白％X壺他>g0i的應(yīng)用例9（2014福建）巴船國(guó)數(shù)〃X）二口In（工十1）+ +3x-1.J+1（1）（略）:^ . I14 2 3 4 打+1 l-r-（2}求證：~~-2~~Tj~~+~—~~?--；~~^>二皿2收+1）-

4x]--14x2*-14x3*-14x/r-14解析：（2）當(dāng)6>仃>。時(shí)即屁6-In口<令5= L白=2日-L則In口>1）一出（％T）<-j——jV4nJ-11GTI變形可得：1ln（2w+l）-]n（2?-l） -7-=；=/一F-；二]4 74冉—1 417-1斗17-1則31d3-lnl）<J（hi5-M3）4 4xl--14 4x2--1j .I]jlnW+1）—In⑶一叫<4筋二丁將以上不等式相加即可得證.文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)i叮匕本題提供標(biāo)淮答案是借助于第一問(wèn)的"的最小值□=-耐，21n（聲1）1-L+3x-l＞0,即二y+3工—1＞?皿工+1），結(jié)合待證不等式TOC\o"1-5"\h\zx+1 》十】， 1 * 2 1 2 1的特征，令工=—（壯A"）,得1—土3*句1一匕21比大土力2k—1 —:—+[ -人1 ?2A-1整理得：告]＞21口黑]即[叫衰-1”,借此4JI-1M一】4k--\4L作為放縮的途徑達(dá)到證明的目的.你能注意到兩種方法的區(qū)別嗎？六.不箸式港的堀窮以對(duì)■.觸平均數(shù)的不等式髭為范老的壓軸試題展出不窮.是近幾年藪學(xué)競(jìng)賽、名校模擬激學(xué)試題、高考數(shù)學(xué)衷題的重要的理論背景之一一羅增儒教徒指自：通過(guò)有限的.外型考題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智.這里的領(lǐng)悟解題的教學(xué)菰智從某種意義上說(shuō)就是時(shí)向題本盾的理解，招對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)還在于我們對(duì)問(wèn)題信息的審視和挖掘一探究1：取。=看法=/則由①知：%—A：:]上111At11131于是，可編制如下試題：已知心＞石＞0求證:In.—In』＞"三* X]-+X,I HH.產(chǎn)f I （x+l）+x 1探究2:取。=工力=2+1：則由①知詔旬Fv一一二%，于是，可編制如下試題：已知了＞0,求宙￡加3＜一.x 2a+1示例1： 1232湖北文科）設(shè)函數(shù)/（#=依"（1—1）+方（工〉0）4為正整數(shù)皿/為常數(shù)，曲線/（3）在口J。｝）處的切線方程為x+j=L求。力的d直；來(lái)函數(shù)/（戈）的最大值;證明：/（*＜1?ne文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)分析:(1)口=1出=0.(2)律O）只需證明~不而律O）只需證明~不而5+1）1h--即力龍inne1jiT<Itlt?-1.只需證明07+口———— 只需證明07+口———— <tt+l.ln(7?+(內(nèi)+l)-ff(w+1)+<- <*+Li得證*探究3：取&="=C7,則由①知―2ln（r-jr）—得證*探究3：取&="=C7,則由①知―2ln（r-jr）—Inr于是，可編制如下試題： 力一a ,r\, 2（￡7-2x）已知0＜工＜弓,求彳正!左（白一工）一由工〉一一-J示例2:已知函數(shù)〃工］=工上- a\nx.（1）［%＞0,證明：當(dāng)0＜大＜3時(shí),/（"—工）父/b）⑵若函數(shù)”工府兩個(gè)零點(diǎn)工七，且0=為＜j2＞證明：，聲.I2）（1）只需證（ej—工『一（口一2）（a—丁）一o11“口一X）＜1'一（白一2）入一日Ihjc即證1nM1nk亦即(白一式)一工 ((3-X)+JCLn(ax)biy2（2）要證中⑵，0只需證號(hào)…

占十與 2爾）56°,有"（二;%;%），—丁：+*2）變界亦即三：（覆一立）+（1口/一巾演） hx.-tn^2即證'+A\>文檔大全則由①知:2工：十式:則由①知:2工：十式:+2，探究5:聃=1-工a=1-4ln(l-百)-ln(l-j^)Of)則由①知:2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)探究4:型=1+式:，方=】+士1

-ln（1+工；）1_V示例：（2013湖南文科）已知函數(shù)/（》）=］一⑴求/次）的單調(diào)區(qū)間;（3）證明：當(dāng)〃』）=/（/）（占壬三）時(shí)，￡+4《。一?: ⑴f（x）在［*,0｝上單調(diào)遞增，在（0,+x）上單調(diào)遞減;⑵國(guó)為了（$）二/（七）（％H壬J，則工1co4士.即=二之?。ㄝ?lt;0<4<1）,1+41+/-所以］ri（1一七）一In（1+演］+玉=In（1—三）一In（1+4］+工,,苦一三二[ln(l+$]—ln(l+H；)]—[ln(l—Tj—ln{l—HjIn(1十年)一ln(l+&]ln(1-a^)-In(I-x2)】，ln（l山十燈-L+^)-ln(l+x;-)hi(l-a,1)-hi11-ln（l山十燈-LV-V (1一甬)一(1一叱)根提對(duì)數(shù)不等式馀可知：ln|l+v)-ln(l+v) 2~W~5工1一三. $一+HJ+2ln(l-xj-ln(l-xj2 2(%+與)+ 2(1一吊)一口一小}2_N一與，x/+a\z+22-(x,+x;)文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)故x故xt+x2<0,得證.V-%探究6:取“一46叼，則由②知:于是，可編制如下試題：.V-%已知q>%>0 ,求力正二片電一卜用探究7:%=加5>1),則由①②知:三士1〉二！〉△.TOC\o"1-5"\h\z1t|V于是，可編制如下試題：求證:Vx>1t2(A-1)工十1 y/X保究8：取"”一叫則由③知沁>in.1心―T4 I-9^9--1-\o"CurrentDocument"于是，可編制如下試題： 30已知9>苦〉0, 求證：1-土<1114-11］用 .探究9:取仃=凡+18=三+1，則由①知：(.Vj+1)+(x2+D、(A\+1)-(X141)2 ln(x:+1)-ln(jr,+1)于是，可編制如下試題：已知可,勺E(—1,田).再手石， 求證；X.X *# =__ <一一+L3必+D-磔5+D2文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)探究10:取0=百十L6—三十L 則由②知：J.V：I］）{A-11） +1）（第+1）,ln（A\+1）-ln（』+1） :于是，可編制如下試題： ,已知占小￡（-1,內(nèi)）,工產(chǎn)與，求證:.一百市阿（2S4綿陽(yáng)三診理科）已知函數(shù)/（x）=ln（工+口）一k宥且只有一個(gè)零點(diǎn)”（］）求口的值；（2）1喀）⑶設(shè)函數(shù)〃閔=〃幻+工,對(duì)任意的馬與《一L+OC）（JH/b證明二不爭(zhēng)式——-：.一上--＞［內(nèi)工2+$+二+1恒成立。川演）-方⑷ '分析二（1）4=1；（2）（略）（3）設(shè)函數(shù)儀鬣）=皿工+1）,不妨設(shè)玉＞三〉一1,只需證明衍反可，易證不等式恒成立a探究11：耳工口=』+l/=$+L則由③知:……{-+D-5+1）、 2 ; 1M吃十】）一括（七十】） 1上1占+1x2+1于是，可編制如下試題： -已知藥，與儀-1,+00）,內(nèi)#七，求證：$十］,、 .馬一巧.2（）+IX.十Dln（Xj+l）-ln（^+1） %+號(hào)+2文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)探究12:取白卅=三一1, 則由③知：（芯-1）十（.-1）. -1）一（西一D-2In-TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"于是，可編制如下試題： 一已知與三W（L”）,工產(chǎn)與， 求證：￡『-X X+黑.- 工——1 -<———三一1,1n（x2-1）-Intx,-1） 2探究13：取日=斗一1>=運(yùn)一1, 則“由②知：于是，可編制如下試題：/：二；$,/小依F/F已知三￡（L+X），W 求彳正： —- >Jx.X.-X-X-,4-1-1嗔-1）-ln（f-D1+ 1?示例5:（2014南通二模）已知函數(shù)/陵）二/—加十口（口￡町,其圖象與.V軸交于川玉,0）津（個(gè)0兩點(diǎn),且（1）求a的范圍；⑵證明:r（而"）<tJ（2）由已知得e1-町十白二。,十一畝：+a=&g見(jiàn)則a = (I<%<In.<居卜xi-]乂-1兩邊取對(duì)數(shù)，則：In出二凡一ln（$—1）=.七一In（.r2-l）.所以in（用一1）一1口（三一I）八而一所以in（用一1）一1口（三一I）1口111（_1）文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)三；「：.一）二—<0，要證/［質(zhì)■）<（）,只需證明2府Q加口=