借尸還魂，數(shù)形相依前面我們談到，在考場(chǎng)上，小題必須小做。為什么？考場(chǎng)的時(shí)間有限，考生的精力有限，考生攻關(guān)的重點(diǎn)是大題而不是小題。所以小題決不可以大作。除特值法外，小題小做的最有效的方法就是數(shù)形結(jié)合。這是因?yàn)椋盒问菙?shù)的外衣,數(shù)是形的靈魂.我們因形而識(shí)數(shù),也因數(shù)而得以解形,所以在數(shù)學(xué)中,數(shù)與形本是密不可分的,所以在高考備考中,我們把數(shù)形結(jié)合的思想放在又一個(gè)重要的位置.1.有形無(wú)數(shù)去找數(shù)【題1】(2015.安徽文數(shù)10題).函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是a>0，b<0，c>0，d>0a>0，b<0，c<0，d>0（C）a<0，b<0，c<0，d>0（D）a>0，b>0，c>0，d<0【解析】解題的前提條件是讀得懂圖形。那么，這個(gè)圖給我們以什么有用的信息？其一，函數(shù)圖象交y軸于正向,排除D;其二，函數(shù)圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn),也就是有3個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)其依次為為m,n,k（見(jiàn)解圖）,那么：。由圖可知,當(dāng)時(shí),.但是,排除C.由圖象可知:在處有極大值,在處有極小值,且.,排除B.故選A.評(píng)注1:由及可繼續(xù)證出.2.本題關(guān)鍵之處是確定,這可以根據(jù)下表在任何一個(gè)區(qū)間取值確定:xm<x<nN<x<kx>kf（x）-+-+3.解本題還借助了因式定理,即:如果是一元n次函數(shù)的n個(gè)根,那么：4.注意本題需要判定4個(gè)參變量a,b,c,d的符號(hào),所以需要慎用特值.因?yàn)槿魏我唤M特值都沒(méi)有充分的說(shuō)服力.2.有數(shù)無(wú)形需配形【題2】（高考題）：在這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A，0B，1C，2D，3【分析】雖然是一道小題，可就是這一道不起眼的小題，那一屆卻難倒了一大批考生.即使是考后，有些教師為了解這道題也費(fèi)了九牛二虎之力.為什么？因?yàn)轭}中的四個(gè)函數(shù)，如果逐一探究，哪都不是省油的燈.為此人們不得不反思：解題尋根.這道題的根究竟在哪里呢？原來(lái)除直線(xiàn)函數(shù)外，無(wú)論什么函數(shù)的圖像都是曲線(xiàn)，而曲線(xiàn)只有“上凸”和“下凹”兩種簡(jiǎn)單形式，這就是本題的“根”.【解析】解本題應(yīng)先掌握凸，凹函數(shù)的性質(zhì)，如圖1，曲線(xiàn)在弦AB的上方，我們稱(chēng)它是上凸的函數(shù)，在曲線(xiàn)上任取兩點(diǎn)A，B，作有交于C，AB于M，那么，如圖2，曲線(xiàn)在弦AB的下方，我們稱(chēng)它是下凹的函數(shù)，同理，由，又說(shuō)明下凹函數(shù)有性質(zhì)：以上結(jié)論與曲線(xiàn)所在象限無(wú)關(guān)，這是因?yàn)榍€(xiàn)經(jīng)過(guò)平移后，不影響它們的數(shù)量關(guān)系.題中的四個(gè)函數(shù)，所以在（0，1）內(nèi)，式子不是恒成立。又是下凹的，只有是上凸的，這就是說(shuō)，在（0，1）內(nèi)，使式子恒成立的函數(shù)只有一個(gè)?！噙xB。（參看以下圖（1）-（4））【題3】（2009.遼寧卷12題）若滿(mǎn)足滿(mǎn)足則（）（A）(B)3(C)(D)4【分析】本題有“數(shù)”無(wú)“形”，僅靠枯燥的數(shù)字分析或推理，試圖分別求出x1與x2，再求它們的和是不可能的.唯一的出路是“借尸還魂”，到圖中去尋找答案.這就是說(shuō):“有數(shù)無(wú)形需配形”.但是,題中“數(shù)”的條件不夠統(tǒng)一規(guī)范,解題前需要將其盡可能變形使其相似或接近,方能找出規(guī)律【解析】.將條件式改寫(xiě)為及令如圖，曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).設(shè)直線(xiàn)分別與曲線(xiàn)及直線(xiàn)交于，則點(diǎn)A,B亦關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng).由，故選C.3.一匹黑馬是平幾【題3】（2010.武漢二月調(diào)考.10題）.過(guò)定點(diǎn)P（2,1）的直線(xiàn)交x軸正半軸于A,交y軸正半軸于B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB周長(zhǎng)的最小值為（）A.8B.10C.12D.【分析】這道題如果僅用高中知識(shí)去做，無(wú)論解析法，三角法還是向量法都何其難也。假如你具備如下的平面幾何知識(shí),那么就會(huì)做得非常簡(jiǎn)單:直角三角形的周長(zhǎng)等于其斜邊上旁切圓的直徑.簡(jiǎn)單證明如下:如圖1.△AOB中,圓M是其斜邊上的旁切圓且其半徑為r.C,D,E都是切點(diǎn),由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知:AE=AC,BE=BD.故△AOBd的周長(zhǎng)OA+OB+AB=OC+OD=2r【解析】如圖設(shè)M（r,r）為△AOB中斜邊AB上旁切圓的圓心,MC⊥x軸于C,MD⊥y軸于D,ME⊥AB于E,連MP.顯然MP≥ME.當(dāng)且僅當(dāng)MP=ME=r時(shí)MP最短.此時(shí)即解得r=1（舍去）或r=5.由上述平幾知識(shí)知△AOB周長(zhǎng)的最小值為2r=10.故選B.評(píng)注:高中的解析幾何,立體幾何,乃至三角,向量等,都是在平面幾何的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的.所以解這類(lèi)題如果遇到困境,應(yīng)當(dāng)?shù)狡矫鎺缀沃R(shí)中去尋根.4.一種手段叫“對(duì)稱(chēng)”【題4】（2010.北京.崇文.5月考.8題）已知圓的方程，過(guò)作直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)，且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)的斜率等于（）（A）（B）

（C）

（D）【解析】如解圖,顯然點(diǎn)在圓上.點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N（4,3）也在圓上.連ON.∵M(jìn)N平分∠AMB,∴N為的中點(diǎn).必ON⊥AB.評(píng)注：本解再次印證：平面幾何是一匹黑馬.假如沒(méi)有相應(yīng)的平面幾何知識(shí)，即使使用特值，也簡(jiǎn)單不到哪里去?？紙?chǎng)精彩【題5】【題5】（2008.江蘇卷）△ABC中，若AB=2,AC=BC，則的最大值．【分析】本題說(shuō)的是“形”，而并未給出有關(guān)的“形”，所以解題必須從畫(huà)出“形”，且充分研究這個(gè)“形”的數(shù)據(jù)特點(diǎn)著手.【解析】以直線(xiàn)AB為x軸，過(guò)A且垂直于AB的直線(xiàn)為y軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，則有B（2，0）.設(shè)動(dòng)點(diǎn)C（x，y），那么由.化簡(jiǎn)得：故點(diǎn)C在以M（4，0）為圓心，.為半徑的圓上.（不含圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）當(dāng)且僅當(dāng)CM⊥x軸時(shí)，評(píng)注:如果我們懂得阿波羅圓的知識(shí),這道題可以做得相當(dāng)簡(jiǎn)單.∵動(dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)A(-1，0)和B（1，0）距離之比為,則有,,∴得為內(nèi)分點(diǎn)，為外分點(diǎn)．圓半徑，即為三角形高的最大值，即△ABC高的最大值是.故△ABC的面積的最大值是.【題6】（08.福建卷.12題）已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如右圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（）【分析】本題“形”有余而數(shù)據(jù)不足.只有從“形”中發(fā)掘隱藏的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，才有可能找到正確的選項(xiàng).【解析】首先得把原圖讀懂.原圖中且遞減，說(shuō)明是上凸且遞增的函數(shù)，選項(xiàng)A，C肯定不對(duì)；與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是說(shuō)明兩函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)有相同的斜率，也就是它們?cè)邳c(diǎn)處有公切線(xiàn)，或者平行的切線(xiàn).所以B不對(duì)，正確的選項(xiàng)是D.【題7】（武漢市2016屆高三二月調(diào)考理數(shù)10題）函數(shù)的取值范圍為（）【解析】本題有數(shù)無(wú)形，需為之配形。,則,如解圖,P（2,1）為定點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在上半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線(xiàn)PC斜率的最小值為最大值為.故.即的取值范圍為[0,1],選C.評(píng)注:將一個(gè)純代數(shù)題賦之以恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形,即發(fā)現(xiàn):此題的根在求直線(xiàn)斜率的變化范圍.【題8】（武漢市2016屆高三二月調(diào)考理數(shù)`12題）設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B的圓與橢圓交于另外兩點(diǎn)C,D,則直線(xiàn)CD的斜率k為【解析】橢圓是對(duì)稱(chēng)圖形，故考慮用對(duì)稱(chēng)法解題直線(xiàn)與y軸交于P（0,-2）,作直線(xiàn)AB關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)CD,且交橢圓于C,D.根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性有,即AB,CD必是同一個(gè)圓中交于點(diǎn)P的兩條等弦.,故選B.評(píng)注:本題的要害是如何確定弦CD的位置.因?yàn)閳A與橢圓都是對(duì)稱(chēng)圖形,所以需要用對(duì)稱(chēng)法尋求答案.而關(guān)鍵之處是找到對(duì)稱(chēng)軸上的關(guān)鍵點(diǎn)P.【題9】（06年,遼寧卷,10題）直線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【解析】有數(shù)無(wú)形去配形.根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)k＞0.此曲線(xiàn)表示中心在M（1,0）,長(zhǎng),短半軸分別為的橢圓;.此曲線(xiàn)表示中心在N（-1,0）,長(zhǎng),短半軸分別為的橢圓.如解圖所示,直線(xiàn)y=2k與上述雙橢圓有4個(gè)公共點(diǎn),故選B.【題10】(2015.湖北理數(shù)12題)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【解析】首先將原式化簡(jiǎn):.令..如圖,我們考查,曲線(xiàn)會(huì)有幾個(gè)交點(diǎn).是以原點(diǎn)為中心,π為周期的正弦曲線(xiàn);是將e為底的對(duì)數(shù)曲線(xiàn)左移1單位,再將x軸下方的部分沿x軸翻轉(zhuǎn)180°而得.當(dāng)而當(dāng).知在內(nèi),曲線(xiàn)的上方,而當(dāng)時(shí),恒有.故知曲線(xiàn)共有2個(gè)公共點(diǎn)（其中1個(gè)為原點(diǎn)）.也就是原函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).【題11】已知向量則向量的夾角范圍為【解析】顯然B,C為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)。只有弄清點(diǎn)A的軌跡，才有可能分析的夾角。如圖設(shè)故點(diǎn)A的軌跡是以C（2，2）為圓心，半徑的圓。作此圓的切線(xiàn)OM,ON（M,N為）切點(diǎn)，連CM,CN，,∴△COM與△CON都是含30°角的直角三角形，又射線(xiàn)OC平分∠x(chóng)Oy.所