21122112等數(shù)、比列證問一、考情分析等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明是高考熱點(diǎn)，一般出現(xiàn)在解答題第一問，等差數(shù)列與等比數(shù)列的證難度雖然不大，但有一定的技巧性，且對(duì)規(guī)范性要求較高，解題時(shí)要避免會(huì)而不對(duì)或?qū)Χ蝗?、?jīng)驗(yàn)分享1.等差數(shù)列證明方法主要有(1)定義法－a(≥2,∈)為同一{}是等差數(shù)列(2)等差中項(xiàng)法：2＝＋(≥2,∈

)成立{a}是差數(shù)列；(3)項(xiàng)公式法a＋,為數(shù)對(duì)任意的正整數(shù)n都成{是等差數(shù)列前n項(xiàng)和式法證列}的前項(xiàng)＝＋Bn(AB為常)n對(duì)任意的正整數(shù)n都成{是等差數(shù)列；1a－a【點(diǎn)評(píng)】證明數(shù)列a－a成比數(shù)列的關(guān)鍵是利用已知得出1＝.a－an【小試牛刀徽安慶一中、山西省太原五中等五省六校K12聯(lián)）2018屆三學(xué)期期末】已知數(shù)列

n

，

an1

．1（）證：數(shù)列差數(shù)列，并求出數(shù)列a

；n（）

bn

，，數(shù)列

n

項(xiàng)和

2018

．（）（）

，∴

，

241×1－－241241×1－－2412∴，

．二)運(yùn)等或等中性是等差數(shù)列

{}

是等比數(shù)列這證明數(shù)列

{}

為等差（等比）數(shù)列的另一種主要方法．【例2】正數(shù)數(shù)列

{}n

滿足：對(duì)任意自然數(shù)

成等差數(shù)列

成等比數(shù)列．證明：數(shù)列

{}n

為等差數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題依據(jù)條件得到

與

bn

的遞推關(guān)系通消元代換構(gòu)造了關(guān)于n

的等差數(shù)列使題得以解決．通過挖掘

的意義導(dǎo)出遞推關(guān)系,靈活巧地構(gòu)造得到中項(xiàng)性,這種處理大大簡化了計(jì)算．1【小試牛刀】已知等比數(shù){a的公比q＝－1(1)若＝,求數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和n(2)證明：對(duì)任意∈N,,a成差數(shù)列．112【解析】(1)由通項(xiàng)公式可得a＝a－＝,解得＝1,再由等比數(shù)列求和公式得S＝＝n1－－2＋－.3(2)證明：∵k∈N

,∴2a－＋)＝2aq－

＋q)

＝a＝a22＝a(2－－121·－－－－＝0,∴－(＋)＝∴對(duì)任意k∈N,,,成等差數(shù)列．三)反法解決數(shù)學(xué)問題的思維過程,一般是從正面入,即從已知條件出發(fā)經(jīng)一系列的推理和運(yùn)算,最得到所要求的結(jié)論但時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情,時(shí)可從反面去考慮．如：【例3】設(shè)

n

是公比不相等的兩等比數(shù),

cnn

．證明數(shù)列

{}n

不是等比數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)和運(yùn)算能力,對(duì)邏輯思維能力有較高要求

{}n不是等比數(shù)列,只要特殊項(xiàng)（如

）就可否定．一般地,否定性的命題常用反證法證其思路充分說明特殊化的思想方法與正難則反的思維策略的重要性．【小試牛刀省泰州市2019屆高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列｛｝前n項(xiàng)和為Sn，

，且對(duì)任意的n∈，n都（）0，，r值；（）列｛｝否是等比數(shù)？說明理由；（）r＝時(shí)求證：數(shù)列｛｝是等差數(shù)列。

?！窘馕觯┝頽＝，得：

，即：化簡，得：所以，（）設(shè)

，，因?yàn)?，，解得r＝1.是等比數(shù)列，公比為，

，，，且，解得

或

，由

，

＋…＋＝＋…＋＝可得

，所以兩式相減，整理得兩邊同除以，可得

，，

，因?yàn)?/p>

，所以

，【小試牛刀】已知等比數(shù)列a}的比為,記＝＋ann2

＋…＋a,＝·nmnnn

·…·,∈*則下結(jié)論一定正確的()mA．?dāng)?shù)列}為差數(shù)公差為B．?dāng)?shù)列}為比數(shù)公比為mC．?dāng)?shù)列}為比數(shù)公比為qmD．?dāng)?shù)列}為比數(shù)公比為qm【答案】【解析】b＝·(1＋＋

b),b＝故數(shù)列b}為等比數(shù)列公為q選項(xiàng)A,Bc均錯(cuò)誤；＝·,c＝(qqm,數(shù)列c}為比數(shù)列公為qm,D錯(cuò)誤故C.五遷運(yùn)1.已知數(shù)列

n

,則“數(shù)

列是數(shù)

等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件．要不充分條件C．充分必要條件．即不充分也不必要條件【答案】2已數(shù)列

n

的前項(xiàng)和,“A

“是“數(shù)列

n

列的（A．充分不必要條件B．必不充分條件C．充要條件．既充分也不必要條件

【答案】【解析】當(dāng)

時(shí)

不是等比數(shù)列；若數(shù)列

是等比數(shù)列,當(dāng)

q時(shí),

與

數(shù)

列

是

等

比

數(shù)

列

矛

盾,

所

以,因此

A

“是“數(shù)列

”的必要不充分條,選B.因?yàn)閷?duì)任意N

*

，總存在數(shù)n

不項(xiàng)b，，使得tt

，所以對(duì)任意的nN

*

都有若q，

，明顯.時(shí)，有，符合題意，舍去；若有

0

，當(dāng)

時(shí)，，不符合題意，舍去；故.8省城市2018屆三學(xué)期第一次模擬知數(shù)列

n

a1

，

.（）證：數(shù)列

是等比數(shù)列；（）數(shù)列

n

項(xiàng)S.

9南省昆明市第一中學(xué)屆高三第五次月考】已知數(shù)列；（）明：n

n

（）

an

，求數(shù)列

n

項(xiàng).【解析）由

2a1

得：

a1∵

，∴

，從而由

得

，∴

首項(xiàng)，為比的等比數(shù)列．n10蘇鎮(zhèn)江市2018屆高三上學(xué)期期末】已知數(shù)n

項(xiàng)，對(duì)任意正整數(shù)，存在正數(shù)np,qr

使得

p

，

恒成立：數(shù)列

n

項(xiàng)和，對(duì)任意正整Tn

恒

成立.（）常數(shù)

p,q,r

的值；（）明數(shù)列

n

列（）若

b21

，記

，是否存在正整數(shù)

k

，使得對(duì)任意正整數(shù)，

Pn

恒成立，若存在，求正整數(shù)

k

的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理.【解析）∵

①∴

②，

，①②：p又

，即，

，∴，

，n時(shí)p

2

；n時(shí)

.∵為數(shù)又因?yàn)?，所以?shù)列

n

為首，以2為比的等比數(shù).（）（），因?yàn)?，所?/p>

，所以

.13南陽市第一中學(xué)校屆高三第七次考試數(shù)列數(shù)列且.

項(xiàng)且

，

（）

的值，并證明：

；（）數(shù)列

式14明市A片高中聯(lián)校2018屆高三上學(xué)期階段性考試各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列

n

a1

，前n項(xiàng)和，是與S的等差中項(xiàng)（nnn（）證：并求；（）

，求

n

項(xiàng)和．

15湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2018屆高上期第二次聯(lián)考】設(shè)數(shù)列

n

的前n項(xiàng)和為S

n

，點(diǎn)在直線

上（）證：數(shù)列

n

列并求其通項(xiàng)公式（2）直線

x與數(shù)fn

2

的圖象交于點(diǎn)，函數(shù)n

的圖象交于點(diǎn)，記n（其中

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)數(shù)

n

項(xiàng)和.【解析）

點(diǎn)

Sn

n

在直線

上，①（）

n

時(shí)，

.（ii）當(dāng)時(shí)

②①②