22222222222222222λ222222222222222222222222222λ2222222222＋b22222江蘇高考數學二輪熱點難點微專題突破微專題

多元最值題多元問題是代數問題中重點和難點問題元者三元取值范圍問題是考察重點見于基本不等式的應用中數和數列的綜合問題中類察了減元思想以及整體思想的運用，將多元問題轉化為一元問題來處理．【例1】，b∈，a＋－＝，＋的小值．答案：

＋1解析解法1條件為＋3－b＝1設mab，na－b，則mn1，且4＝＋3n,4＝－n所以

2

＋b

2

)＝(＋3n)＋－)

＝

2

＋＋，因為

2

＋10n

≥4，所以＋b

2

＋1

（解法）＝a

＋2－

≤a

－3≤

－3

＋

＋bλ

＝(1＋)

＋－3b(λ．令1＋＝－，解得＝5λ再將＝－2回代可得，(5－1)a

＋(5b

2

≥1即a

＋

2

＋【例2】實數a，，c滿＋b≤c≤1則a＋c的最小值________答案：1解析解法1因為c≥a＋，以a＋c≥a＋b＋＝＋＋＋－，故a＋c最小值為－.（解法）為c≥＋，以＋＋c≥a＋ba＋b.又因為

2

≥，故＋＋c≥ab＋a＋b≥＋a＋b＝[(a)＋1]－，2故a＋c最小值為－.

2222θ＝rθ－2222222222222θ＝rθ－22222222222222222－2ac≥52222（解法）元法令＝rθb＝rθr∈[0,1]．b＋≥a＋b＋＋＝r＋rθ＋)＝r＋r

π242sin

π1θ，a＋c最小值為－.【方法規(guī)律】方法1根條件進行放，利用配方法解決問題；方法2根條件進行放，關注到基本不等式，同時有整體配方思想．方法3通換元，利用角函數的有界性解決問題．【例3】知ABC的邊長a，c等差數列，且a＋b＋＝，則實數b的值范圍為________答案：(2，27]解析：等差數列的公差為d由題意得△ABC三滿足＞－c＝d，所以＜因為＋b＋c＝84以b)＋＋＋)＝即b＋2＝84.因為3＋2＜b＋b7＝所以＞84即＞24解得b＞26(b＜－6舍去)因eq\o\ac(△,為)三邊長b，2c成差數列，所＝＋c，故4＝＋＋2，即a＋＝b－ac.因為＋＋＝，所以＝5

22

－＝，且僅當ac時等號，所以

2

≤，所以0≤2綜所述，實數b取值范圍(2，7]【方法規(guī)律】本題關鍵在于消元三問題轉化為兩元解答本題時要注意△ABC三長a，c應滿足的限制條件有三條：三角形邊的關系2＝a＋c和a＋b＋c＝，有許多考生忽視了本題“角形邊的關系”而只利用另外兩個條件求出0＜b7這個錯誤答案此提醒考生答題時要完全讀懂題意再解答，避免此類錯誤的發(fā)生．（通過本課題的學習，你學到了什么？你還有其它疑惑嗎？）A組．已知正實數，b滿a＋b＝，則的大值為．a

22222222＝＝＝＝，2＋＋3－2222(]1θ11t32323323233242322222222＝＝＝＝，2＋＋3－2222(]1θ11t323233232332423答案：解析解法1

2利用不等式≤1＋x

x＋

可得2ab＝≤＋b1＋a

＋

1ab2＝，的大值為.23a＋12【點評】接利用基本不等式（解法）9

＋b

＝可得ab.為3a＋b3，此兩處取號時均3a＝b，故

ab1≤＝≤＝a23ab212【點評】次運用基本不等式，意等號成立的條件．（解法）為

119＋b2＋6ab＋ab1ab由9＋＝可得ab，則

2≤，以的大值為3＋b12π（解法）3a＝sin，＝θ∈，，

1sinθ＝，aθθt－令θ＋＝，∈，2]，θcos＝，于是

＝·＝t－于數f()t－在區(qū)間，2上增當＝a3sin＋θ6t時，取最大值

2．已知x>0，>0z>0，且x＋y＋z＝，x＋＋3最小值．答案：解析：路分析本消元后轉化為二元問題研究．（解法1）函數思想：＋＋z＝x＋＋－－)＝x－x＋y－y＋18－3345＋y－＋≥－3x＋，且僅當y＝時等．設)＝x－，g(x)＝3x－令′(x＝0得x＝，得g()在(0,1)上單調遞減，在，＋∞上單調遞增，從而g()min＝g(1)－(x＋＋3)＝2min

3737＝求小值為僅＝，44

32332當且僅當x＝1，＝，＝取號32332當且僅當x＝1，＝，＝取號222z＝時取等號．（解法）本不等式：由＋＋1x(且僅當x＝1取等，＋≥332737y當僅當y＝取號得＋y＋3＋＋≥3(＋y＋z)＝，＋＋z≥3312323＋8b．已知，b，c為實數，且＋≤8，＋≤，的值范圍________．c答案：[27,30]b解析：為，b，c為實數，＋≤c的、右兩邊同除，得＋≤8.c2cc對＋≤的左右兩邊同乘c，＋≤2令＝，y＝，條件可轉化為bcabcx>0，y>0，x＋2≤，＋≤2x

x，y，再進行化簡，可得x＋y≤8.2－ab求z＝＝x＋8y的值范圍問題轉換為線性規(guī)的問題，畫出可行域．c對y＝＋求，并令導函值為－，可切點橫坐標為，代入曲線，計出切點坐2－89標為，，用線性規(guī)劃，可知z＝x＋y別在(和3取大值和最小值，代入計算可得范圍為27,30]．b＋3c．若ab，c三個正實數，且a＝ab＋＋，則的小值為_______．答案：43b解析：由a＝ab＋bc＋ac得1＋＋，x＝，y＝>0，則1＝＋x＋y，即(x＋aaay＋1)＝2，則

by＋5＝2x＋y.因x2)(3＋3)12≤，所以＋3y＋4

22y＋3≥48又>0>0，所以x＋3y的小值為－5當且僅當即＋，－3＝3－，y＝時號成立B組知數fx)＝log(x－實m滿f(m)＋f(2＝3mn的小值為．2答案：7解析：f＋f(2n)＝可log(－＋logn＝3，22則－－＝4，其(>2，n．m－2＋n－由基本不等式，即mn7，當且僅當＝，n＝3時取“＝”．所以mn最小值為7.c．若ab＞，且a＋c＝0則的值范圍是．答案：－2，－c－－解析法1因為a＞b＞cab＋＝0所以>0c<0則＝＞＝aac，＝<＝－，故－2<－－c（解法）為>>，＋＋c＝，所以a>0c，則c＝－a－c，解得－2<<.．已知，，且a＋b－，則最大值．a答案：111解析：a＝－，－3＝a＋又，所以－＝＋≥當且僅當a＝時取ababa1等號，即3≥，又b，解得0<b，所的最大值為.1．已知x，為實數且滿足x＋y≤，則＋的小值________．4xy＋答案：1解析：為＋＋1

y＋1x5(＋＋1)＝＋＋≥，y14199所以＋≥≥＝，且僅當＝，＝時，“＝”．y1＋33

ba22222202022ba222222020221所以＋的最小值為.y18．若正實數，b，c足＝a2babc＋2＋c，則的大值為_．答案：＋bab1解析abc＝＋＋得＝＝1由＝＋2得，－a2ba－12＋＝，所以＋2b＝＋)a

a4＋＝＋＋≥＋2

4b＝＋4，故c≤.7（法）因為abc＝a2＋c，ab＝＋，所以abc＋c，故c＝＝＋由－－1aba＋b利基本不等式得≥2，故≥8，當且僅當＝4b時等號成立，故18c＝1≤＋＝－817國上鉆石的重計量單位為克拉已知某種鉆石的價值V美與其重量ω拉的平方成正比，若把一顆鉆石切割成重量分別為(mn)的兩顆鉆石，且價值損失的百分為

原有價值－現(xiàn)有價值×切割中重量損耗不計)，則價值損失的百分率的最大值為原有價值．答案：解析：為V與ω平方成正比，所以設Vk

，則原有價值V＝km＋n，現(xiàn)有價值＝＋＝km＋kn，02V－Vkkm－所以價值損失的百分率＝＝×，Vkkm－22而＝≤＝，且僅當＝n時等號．k42故價值損失的百分率的最大值為．已知，b，c為實數且滿足b＋≥，則＋的小值為．ca答案：2bcb解析：＋c≥a可得＋≥＋＝＋ca＋c＋bcb＋c令＝，則>0,2＋1>0，c

2222222t22222222c－12222212222＋＋22222222222t22222222c－12222212222＋＋222211－則＋≥＋＝(2＋1)－≥2－，當且僅當t＝時取“”．cat＋22t21所以＋的小值為－ca＋3－．已知實數>，a＝2，則的最小值________＋2ab－3b＋5答案：解析：因為a＋b＝，所以2－a，解得a<2，從而

a＋2－3

2

＝a2aat＝令t＝a1∈則＝＋2－－4＋＋－b－＋6－5＝

－t

≥

＋5＝，且僅當t5時號成立．－54．設二次函數()＝＋bx＋c，bc為常數的導函數為f′(x)．對任意x∈R，不等式f)≥′()恒成立，則的大值為．＋答案：22解析：為f′()＝axb，所以fx≥f′(x)即＋(－)x＋c－b≥0恒立，

a>0，4a即－4a，

－a故≤＝＋＋cb4t令t＝－，則≤＝a＋ct＋t＋2

≤＝2，22tc當且僅當t＝＝－且b＝4－4a時號成立．．若不等式ksinB＋sinC>19sinBC對任意△ABC都成立，則實數k的小值為．答案：100

22222ccb2＋18≤；當>1時，－＋20≤，222－ac19bc－acc22222ccb2＋18≤；當>1時，－＋20≤，222－ac19bc－accaaabb2＋＋19解析法）因為

B＋sinAsin>19sinB，所以由正弦定理可得kb

＋ac>19，即k

－ac

bc－ac19bc－－cc因為△為任三角形，所以－，即<