2012-11-Fermat引 y=f(x)在x0且f(x)f(x0f(x則f(x

在x0的該鄰域內(nèi)任取則f(x0xf(x0

f(x)limf

x)f(x0

f(x0)

(x0)

f(x)

(x0

f(x0 2012-11- yf(x yf(x)abxyf(x在[ab]在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) f(a)=f則至少存在一點(diǎn)(ab),f(證明思路：y=f(x)在[ab]M,M=m

(abMm,2012-11-0, xf(x) 00, xyo1xf(xxyo1xf(x)x xf(x在x0

f(x)x,x[0,1]f(0)f(1)

2012-11-推論.y=f(x(abf(af(b則至少存在一點(diǎn)(ab),f(f(a),F(x)f(x),f(b),

xaxb,xb.則F(x)在[a,b]上滿 注：函數(shù)延拓的思想！P502012-11-例1.f(x)x1)(x2)(x3)(x4則方程f(x有3(12),(2,3),(34)內(nèi)P82例 例2.f(x[0,1上連續(xù)，在(0,1內(nèi)可導(dǎo)，f(1求證至少存在一點(diǎn) nf()f()提示：構(gòu)造輔助函數(shù)(x)xnf在[0,1]上

P82例3.n=2情形2012-11-例3.f(xC0且在0)內(nèi)可導(dǎo)，證明至0),使f(f(cot.提示：構(gòu)造輔助函數(shù)F(xf(xsin在[0,π]上 例4.f(xf(xf(x的零點(diǎn)提示:構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)exf(x在[x1,x2]上 2012-11-例5.證明x55x10有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.設(shè)f(x)x55x1,則f(xC[0,1].存在性.（零點(diǎn)定理∵f(0)1,f(13.方程f(x)01的正根唯一性.（ 設(shè)x0,x1(0,1),x0x1,f(x0)f(x1)0,則f(x)在[x0,x1]滿 故至少存在一點(diǎn)(x0x1)(01),f()但f(x)5(x41)0,x 即證2012-11-P87 Lagrange中值定理 設(shè)y=f(x)滿足：

yF(a

2012-11-yfF(b

[a,

a (2)在(ab)則至少存在一點(diǎn)(ab),使f(f(bf(a)bF(x)f(x)f(b)f(a)b在[a,b]用定理

P872012-11-注：(1RolleLagrange(2)Lagrange中值定理的其它形式： f(b)f(a)f()(ba).

yf(xx)ff(x (0推論1.在區(qū)間I上，f(x)0 f(x)常數(shù)證法提示在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間用Lagrange中值定理推論2.I上，f(x)g(x)證法提示令F(xf(xg(x)，用推論

f(x)g(x)P87例6.證明：arcsinxarccosx,x[12證：設(shè)f(xarcsinxarccosx,

2012-11-1f(1

x(1,1 f(x)arcsinxarccosx1x0,得C2 f(x).即證2又f(122012-11-P85例P88 Cauchy中值定 (1[ab]

f(x),g(x

2012-11-(2(ab)內(nèi)可導(dǎo)，g(x則至少存在一點(diǎn)(ab),使f(bf(a)f(g(b)g(a) g((x)f(b)f(a)g(x)fg(b)g(a)在[a,b]用定理 P872012-11-P86例例