單同調(diào)代數(shù)簡■——概念與簡易計算主講：杜侑潮引言：拓樸〔topology〕的概念在Riemann的時期就已經(jīng)存在，而Betti承繼黎曼的想法，發(fā)展了一些流形血anifold〕上的拓樸理論，包括定義Betti數(shù)。不過，拓樸的有力使用大概是從Poincare開始的這裡所介紹的單同調(diào)〔homology〕就是其中一項，這個理論可以對曲面以及更高維的抽象流形進(jìn)行分類工作，得到一些分析上的性質(zhì)例如著名的歐拉常數(shù)一一對於任何一個多面體點(diǎn)數(shù)-邊數(shù)+面數(shù)=2也可以由此方法導(dǎo)出。我們的目標(biāo)是大約介紹一下單同調(diào)的定義以及一些例子的計算，使得各位可以對這個理論有點(diǎn)了解。―、Rn中的抽象多面體Poincare研究n維歐式空間Rn中圖形的基本想法，就是將圖形切割成一堆簡單的部分，並且考慮這些片段間的關(guān)係。首先我們定義什麼叫做簡單的部分：簡單形〔simplex〕：Rn中的點(diǎn)P0,P1,...,Pk稱為線性獨(dú)立，若由這些點(diǎn)所生成的超曲面所有以下形式的點(diǎn)P=x0P0+X]P]+...+xkPkx0,X],,xk屬於R而且Xo+xi+...+xk=l――具有k維度i。在這個情況下，每個在此簡單形中的點(diǎn)P都唯—決定x0,x]，…,xk。這些數(shù)被稱作點(diǎn)P相對於系統(tǒng)P0,P]，…,Pk的分中座標(biāo)〔barycentric〕現(xiàn)在假設(shè)P0,P1,...,Pk是Rn中線性獨(dú)立的點(diǎn)。在Rn中包含P0,P],...,Pk的最小凸子合〔convexsubset〕是點(diǎn)集S=｛P=x0P0+x]P]+...+xkPk|x0+x]+.+xk=1,xi二0fori=…?1k｝。我們可以平移-P0,使得一開始的P0=0。我們將上面的集合寫作S=(P0;P1;…;Pk)，並且稱S是k維的線性簡單形。下面我們定義什麼是有向簡單形〔orientedsimplex〕。有向簡單形(P0;P1;…;Pk)是集合S加上一個給定的定向〔orientation〕在對頂點(diǎn)P0,P1,...,Pk排序上。假設(shè)M是0,1,...,k的一個順序變換那麼若M是一個偶轉(zhuǎn)換〔兩兩交換共偶數(shù)次〕，則(P0;p1;…;卩丿和(pm(0);pm(1);…;PM(k))視為有相同定向。一個0維簡單形為一個點(diǎn)，1維簡單形為一個有向線段，二維簡單形為一個有向三角形，以此類推。若(P0;P1;…;Pk)是一個簡單形，｛i0,i1,…,ir｝是｛0丄…,k｝的一個子集，那麼(Pi0;Pi,...;Pir)稱作(P0;P1;...;Pk)的一個r維面Cr-dimentionalface〕。一個k維簡單形是它自己的一個k維面。因此我們可以有以下定義：—個由Rn中的簡單形構(gòu)成的集合T稱作一個簡單複形〔simpicialcomplex〕當(dāng)下列條件滿足時――1舉例來說，點(diǎn)是0維，曲線是1維，曲面是2維，立體圖形是3維。如果一個簡單形A屬於T,則所有A的面也屬於T2?任何兩個T中的簡單形的交集是空集合或者是一個面3.假設(shè)P是T中某個簡單形中的一個點(diǎn)。那麼P在Rn中有一個鄰域〔neighborhood〕只和有限個T中的簡單形有非空交集。T中的0維簡單形稱為T中的頂點(diǎn)。T的維度為T中最高維的簡單形的維度。所有T中k維的簡單形構(gòu)成的子集記作TkO—個多面體〔polyhedron〕就是一個complex中所有簡單形的連集。二、拓樸多面體在這裡我們要將上面的定義作較為抽象的推廣。假設(shè) T是一個拓樸空間〔topologicalspace〕拓樸空間是一個點(diǎn)集合，其中定義了一些子集合稱為開集〔openset〕滿足下列條件：任意開集的連集仍是開集有限多個開集的交集仍是開集全空間所成集合和空集合皆屬開集最簡單的例子就是歐式空間Rn,T的一個子集S稱作k維簡單形〔k-dimentionalsimplex〕若有一個同胚〔homeomorphism〕同胚映射指雙向連續(xù)映射，兩個拓樸形之間若是存在同胚映射，則兩者在拓樸上相同，因為可以從任何一方連續(xù)變化到另一方。映射f將一個k維線性簡單形〔如前面所定義的〕映射到So這裡記作〔S,f〕若存在T的一個分割使得拓樸空間T變成一個complex――其中的所有簡單形的連集是T而且滿足拓樸空間是一個點(diǎn)集合，其中定義了一些子集合稱為開集〔openset〕滿足下列條件：任意開集的連集仍是開集有限多個開集的交集仍是開集全空間所成集合和空集合皆屬開集最簡單的例子就是歐式空間Rn同胚映射指雙向連續(xù)映射，兩個拓樸形之間若是存在同胚映射，則兩者在拓樸上相同，因為可以從任何一方連續(xù)變化到另一方。註記1:—個2維的complex稱作其拓樸多面體上的三角化〔triangUation〕註記2：如果兩個拓樸多面體同胚〔可以互相連續(xù)變形成另一個〕，則兩個多面體非本質(zhì)上不同例1:n維單位球Bn——Rn中的點(diǎn)集｛(x「x2,…，xn)|x12+x22+_+x,蘭1｝。它和n維線性簡單形同胚。例2:n維單位球面Sn――由Bn+1的邊界點(diǎn)構(gòu)成，也就是｛(x°,x.…,xn)|x°2+X/+...+xn2=1｝?？梢詫⑺氤捎?P°;P1;…；Pk)中所有n維以下的面構(gòu)成的complexO例3:一個圓環(huán)可以被三角化，如下頁圖1所示:

Pl圖1Pl圖1例4:—個圓環(huán)在拓樸上等同於一長方形將其中兩對邊A、B黏合〔如下圖2〕，P1黏P4,P5黏P8。則在長方形上的三角化也對應(yīng)到圓環(huán)上的三角化。如果A、B黏合方式是P1黏P8P5黏P4則黏好的圖形稱為一個麥比烏氏帶〔Mobiusband〕三、多面體以下若非特別說明，則多面體指的都是拓樸多面體5以下若非特別說明，則多面體指的都是拓樸多面體5群指的是一個集合S加上一個運(yùn)算〔我們在這裡寫成乘法的形式〕，滿足下列條件：〔結(jié)合律〕若a,b,c皆屬於S,則(ab)c=a(bc)〔單位元素〕S中有一個元素e,使得對於所有a屬於S,ae=a=ea〔反元素〕對於任何a屬於S,存在b屬於S,使得ab=e=ba〔這裡的e就是上面的單位元素〕—個例子是所有整數(shù)成的集合，運(yùn)算為加法。如果運(yùn)算可以交換，ab=ba,就叫可交換群對於一個complexT我們可以在上面定出一個可交換群稱為同調(diào)群〔homologygroups〕。先對每個T中simplexS取一個定向，並將其記作S'。在T中的一個k維鍊〔k-dimentionalchain〕是如下的線性組合：ZasS'，其中aS為整數(shù)，而且僅有限多項不為0。S'視為1.S，如果S給STkk定一個和S'相反的定向，則記作-S'。鍊的加法就是相同項的係數(shù)相加。所有這些k維鍊所成的集合Kk(T)和所定義的”加法”形成了一個可交換群?，F(xiàn)在，對於k=1,2,...，我們定義一個同態(tài)映射同態(tài)映射保持運(yùn)算結(jié)構(gòu),也就是D(ab)=D(a)D(b)〔homomorphism〕dk：Kk(T)fKk-1(T),稱為邊界算子〔boundaryoperator〕。其定義如下：對於一個simplexS'=(P0;P1;…;Pk),則我們有dkaSS'〕=》aSdk(S同態(tài)映射保持運(yùn)算結(jié)構(gòu),也就是D(ab)=D(a)D(b)kdk(S')=2(-"(P0;氣;…;Pm；Pi+1;…;Pk)我們將(P0；Pi；-；匕1；Pi+i；…;Pk)簡寫成(P0；Pi；…;Pr…;Pk)。另外，d0=0〔表示將所有東西映射到0〕注意到邊界算子滿足以下關(guān)係：dkdk+1=0,這件事情可以直接運(yùn)算dkdk+1(P0;Pi;...;Pk+i)=0對於任意k=l,2,...,我們定義Zk(T)稱為cycles，Bk(T)稱為boundaries，兩者皆為Kk(T)中的子群，其中Zk(T)=Kerdk={xeKk(T)|dkx=0},Bk(T)=dk+1Kk+1(T)b根據(jù)性質(zhì)dkdk+1=0,我們知道Bk(T)uZk(T)商群Hk(T)=Zk(T)/Bk(T)7每個商群H=G/B的元素都形如aB,ae7每個商群H=G/B的元素都形如aB,aeG,運(yùn)算定義為(aG)(bG)=(abG)根據(jù)上面的定義，同調(diào)群Hk(T)的結(jié)構(gòu)似乎受到T中每個simplex的定向影響。事實上，由不同的定向所決定的Hk(T)都是同形的〔isomorphic〕，也就是本質(zhì)上有完全相同的群結(jié)構(gòu)。一個重要的定理如下：同調(diào)群的基本定理：同調(diào)群Hk(T)只依賴於complexT所在的多面體。同胚變換下同調(diào)群保持不變。根據(jù)上面的定理，假設(shè)K=M(T)是complexT所對應(yīng)的多面體，則我們記Hk(T)=Hk(K),用來強(qiáng)調(diào)同調(diào)群只依賴多面體，而與多面體上分割出來的complex無關(guān)。四、一些簡單例子的同調(diào)群計算定義：一個多面體M為連通的〔connected〕當(dāng)任意兩點(diǎn)P,QeM,都可以被一條落在M上的路徑連結(jié)。一條從P到Q的路徑是指一個連續(xù)函數(shù)f:[0,1]-M,f(0)=P,f(i)=Q。注意到M可以唯一的被分割成若干連通的子多面體Mi,ieI,I是索引集合。這些叫被稱作M的連通部分〔connectedcomponents入任意兩個相異叫的互不連通。因此，我們可以得到Hk(M)=》Hk(Mi)fork=0,1,…ieI而且H0(Mi)=Z〔整數(shù)集合〕。特別地，H0(M)的秩〔rank〕8簡單的說，H0(M)=Z十Z十8簡單的說，H0(M)=Z十Z十……十Z,rank表示的就是Z的個數(shù)例1:n維球Bn由於Bn同胚到simplex(P0；P1；…；Pn),記作T而所有(P°；P1；…;Pn)中的subsimplexs構(gòu)成一個complex〔容易檢驗這樣滿足complex的條件〕，所以我們利用這個complex來計算Bn的同調(diào)群。令(Pi0；Pi1；…;Pik)是T中一個k維simplex並且OviOvilv...vik。貝I」(Pi0；Pi1；…；Pik)三牙k(-l)s(P0;Pi0;...;P』..；Pik)(modBk(T))s=0因此T中的每一個k-cycleZ可以寫成下面形式Z三》 ai1,…,ik(P0;Pi1;…；Pik)(modBk(T))0vi1v...vik所以當(dāng)k>1時，dkz=yai］，…,ik(P0；Pi1;.;Pik)+W=00vi1v...vik其中W是某個含有頂點(diǎn)P0的simplexes的線性組合。根據(jù)上式得到弘…北=0，也就是ZBk(T)。因此我們得到：結(jié)果：Hk(Bn)={0}fork二1例2：n維球Sn。結(jié)果：Hk(Sn)={0}for0vkvn;H/Sn)=Z〔整數(shù)集合〕例3:圓環(huán)〔annulus〕C。結(jié)果：H2(C)={0}；H1(C)=Z例4：麥比烏氏帶C'。結(jié)果：H2(C')={0};H1(C')=Z〔和圓環(huán)C的結(jié)果相同〕例5:圓環(huán)面〔torus〕T。結(jié)果：H2(T)=Z;H1(T)=Z+Z例6:投影平面〔projectiveplane〕P2(R)。結(jié)果：H2(P2(R))={0};H1(P2(R))=Z/2Z五、Betti數(shù)和歐拉特徵數(shù)〔Eularcharacteristic〕假設(shè)R是一個n維的complex，只包含有限多個simplexes，則它的第k次同調(diào)群是有限生成的可交換群。這個群的rank就稱作第k次Betti數(shù)bk,另外和牙"(-1)kbk被稱為歐拉特徵數(shù)〔EUarcharacteristic〕。我們有一個利於計k=0算的定理。定理：設(shè)T是一個有限多個simplexes組成的n維complex,並且設(shè)sk是T中k維simplexes的個數(shù)。貝I」壯 $-(-1)ksk= $■ (-1)kbk-k=0 -k=0

證明：我們考慮下面兩條exactsequences設(shè) fAfBfCf 是一條exactsequence〔A—B—C是其中一段〕，並將函數(shù)AfB,BfC分別記做f,g。則Kerg=Imagef0-Bk(T)-0-Bk(T)-Zk(T)0fZk0fZk(T)fKk(T)Bk-1(T)f0fork=0,1,.,n則我們有r(Zk(T))=r(Zk(T))+bk，sk=r(Zk(T))+r(Bk-1(T))其中r(A)表示可交換群A的秩〔rank〕延伸閱讀：HelmutKoch,Introductiont