1-1

求周期方波（見圖

第一章 信號的分類與描述1-4）的傅里葉級數(shù)（復(fù)指數(shù)函數(shù)形式）

，劃出

|cn|

–ω和φn–ω圖，并與表 1-1對比。解答：在一個周期的表達(dá)式為A(T0t0)x(t)2.T0)A(0t2積分區(qū)間?。?T/2，T/2）x(t)AT0T022tT00T0-A圖1-4周期方波信號波形圖1T0jnt10jnt1T0jntcn2Tx(t)eAedt+Aedt0dt=T0020TTT022000=jA(cosn-1)(n=0,1,2,3,)n所以復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為x(t)cnejn0tjA1(1cosn)ejn0t，n=0,1,2,3,。nnncnIA(1cosn)n(n=0,1,2,3,)cnR0A(12An1,3,,cncnR2cnI2cosn)nn0n0,2,4,6,πn1,3,5,arctancnI2φnπn1,3,5,cnR20n0,2,4,6,沒有偶次諧波。其頻譜圖如下圖所示。|cn|φn2A/π2A/ππ/22A/3π2A/3π2A/5πω03ω05ω02A/5π-5ω0-3ω0-ω0ω-5ω0-3ω0-ω0ω03ω00ω-π/25ω幅頻圖相頻圖周期方波復(fù)指數(shù)函數(shù)形式頻譜圖1-2求正弦信號x(t)x0sinωt的絕對均值μ和均方根值xrms。x解答：1T1T2x0TxTxx20μx0sinωtdt2sinωtdtx(t)dtcosωt2xT0TTTω00Tωπxrms1T2(t)dt1T2sin2x02T1cos2ωtx0TxTx0ωtdtdt200T021-3求指數(shù)函數(shù)()Aeat(a0,t0)的頻譜。xt解答：X(f)x(t)ej2ftdtAeatej2fte(aj2f)tAA(aj2f)dtA0220(aj2f)aj2fa(2f)X(f)kf)2a2(2(f)arctanImX(f)arctan2fReX(f)a|X(f)|φ(f)A/aπ/20f0f-π/2單邊指數(shù)衰減信號頻譜圖1-4求符號函數(shù)(見圖1-25a)和單位階躍函數(shù)(見圖1-25b)的頻譜。sgn(t)u(t)110t0t-1a)符號函數(shù)b)階躍函數(shù)圖1-25題1-4圖a)符號函數(shù)的頻譜1 t 0x(t) sgn(t)1 t 0t=0處可不予定義，或規(guī)定 sgn(0)=0。該信號不滿足絕對可積條件，不能直接求解，但傅里葉變換存在?？梢越柚陔p邊指數(shù)衰減信號與符號函數(shù)相乘， 這樣便滿足傅里葉變換的條件。 先求此乘積信號x1(t)的頻譜，然后取極限得出符號函數(shù) x(t)的頻譜。x1(t)eatsgn(t)eatt0eatt0x(t)sgn(t)limx1(t)a0X1(f)0x1(t)ej2ftdtX(f) F sgn(t) limX1(f)a 01X(f)f

eatej2ftdteatej2ftdtj24f20a(2f)j1ff 0(f) 2f 02x1(t)1|X(f)|0 t

φ(f)π/20 f0-π/2f-1x1(t)eatsgn(t)符號函數(shù)符號函數(shù)頻譜階躍函數(shù)頻譜u(t)1t00t0在跳變點(diǎn)t=0處函數(shù)值未定義，或規(guī)定u(0)=1/2。階躍信號不滿足絕對可積條件，但卻存在傅里葉變換。由于不滿足絕對可積條件，不能直接求其傅里葉變換，可采用如下方法求解。解法1：利用符號函數(shù)u(t)11sgn(t)22U(f)Fu(t)F111(f)11112Fsgn(t)2j(f)j22f2fU(f)12(f)122f結(jié)果表明，單位階躍信號u(t)的頻譜在f=0處存在一個沖激分量，這是因?yàn)閡(t)含有直流分量，在預(yù)料之中。同時(shí)，由于u(t)不是純直流信號，在t=0處有跳變，因此在頻譜中還包含其它頻率分量。|U(f)|φ(f)π/20f(1/2)-π/20f單位階躍信號頻譜解法2：利用沖激函數(shù)1t時(shí)u(t)t()dt時(shí)00根據(jù)傅里葉變換的積分特性U(f)Ft()d1(f)1(0)(f)1(f)j1j2f22f1-5求被截?cái)嗟挠嘞液瘮?shù)cosω0t(見圖1-26)的傅里葉變換。x(t)cosω0ttTx(t)0tT1解：x(t)w(t)cos(2f0t)w(t)為矩形脈沖信號0tW(f)2Tsinc(2Tf)-TTcos(2f0t)1ej2f0tej2f0t-12w(t)1w(t)ej21w(t)e所以x(t)f0tj2f0t122根據(jù)頻移特性和疊加性得：X(f)1W(ff0)1W(ff0)-T0Tt22Tsinc[2T(ff0)]Tsinc[2T(ff0)]圖1-26被截?cái)嗟挠嘞液瘮?shù)可見被截?cái)嘤嘞液瘮?shù)的頻譜等于將矩形脈沖的頻譜一分為二，各向左右移動f，同時(shí)譜0線高度減小一半。也說明，單一頻率的簡諧信號由于截?cái)鄬?dǎo)致頻譜變得無限寬。X(f)T-f0 f0 f被截?cái)嗟挠嘞液瘮?shù)頻譜1-6 求指數(shù)衰減信號 x(t) eatsinω0t的頻譜x(t)指數(shù)衰減信號解答：sin(0t)1ej0t2j所以x(t)eat1ej0t2j

ee

0t0t單邊指數(shù)衰減信號x1(t)eat(a0,t0)的頻譜密度函數(shù)為X1(f)x(t)1ejtdteatejtdt1aj220aja根據(jù)頻移特性和疊加性得：X()1X1(0)X1(0)1aj(0)aj(0)2j2ja2(0)2a2(0)20[a2(202)]j2a0[a2(0)2][a2(0)2](0)2][a2(0)2][a2X(ω)φ(ω)π0 ω-π0 ω指數(shù)衰減信號的頻譜圖1-7設(shè)有一時(shí)間函數(shù)f(t)及其頻譜如圖1-27所示?，F(xiàn)乘以余弦型振蕩cosωt(ωω。在這個關(guān)系中，函數(shù)f(t)叫做調(diào)制信號，余弦振蕩cosω0t叫做載波。00m)試求調(diào)幅信號f(t)cosω0t的傅里葉變換，示意畫出調(diào)幅信號及其頻譜。又問：若ω0ωm時(shí)將會出現(xiàn)什么情況？f(t)F(ω)0t-ωm0ωmω圖1-27題1-7圖解：x(t)f(t)cos(0t)F()F[f(t)]cos(0t)1ej0tej0t121所以x(t)f(t)ej0tf(t)ej0t22根據(jù)頻移特性和疊加性得：X(f)10)10)F(F(22可見調(diào)幅信號的頻譜等于將調(diào)制信號的頻譜一分為二，各向左右移動載頻ω0，同時(shí)譜線高度減小一半。X(f)-ω0 ω0 f矩形調(diào)幅信號頻譜若ωω將發(fā)生混疊。0m1-8求正弦信號x(t)x0sin(ωtφ)2()。xx的均值μ、均方值ψ和概率密度函數(shù)px解答：1T1T02π(1)μxlimTx(t)dtT0x0sin(ωtφ)dt0，式中T0—正弦信號周期T00ω(2)ψ2lim12()d12sin2(ωφ)d21cos2(