多水平面板數(shù)據(jù)模型的估計理論及模擬研究

一、引言由于我們所處的社會具有分級結(jié)構(gòu)，因而很多社會經(jīng)濟研究都涉及嵌套或分層數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)的線性模型的基本假設(shè)是線性、正態(tài)、方差齊性及其獨立性，而方差齊性和獨立性的假設(shè)在具有嵌套或分層結(jié)構(gòu)的樣本中往往是不成立的。對這些分層數(shù)據(jù)的分析，傳統(tǒng)的最小二乘（OLS）估計方法已經(jīng)不再適合，由此發(fā)展了多水平模型[1]15-159[2]28-168。多水平模型（MultilevelModels）又稱為分層線性模型（HLM，HierarchicalLinearModeling），它是20世紀(jì)80年代由英美教育統(tǒng)計學(xué)家提出的，是專門針對具有嵌套或?qū)哟谓Y(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)發(fā)展起來的一種新的統(tǒng)計模型。例如，當(dāng)數(shù)據(jù)處于兩個層次時，先以第一層的變量建立線性回歸模型，然后分別以該線性回歸模型的系數(shù)作為第二層解釋變量的線性函數(shù)，建立第二層的線性回歸模型，通過這樣建立模型，就可以同時處理不同層次、跨層次變量之間的關(guān)系，還能將不同層次間的誤差項考慮進(jìn)來，進(jìn)而估計出各個層次上的差異性。事實上，面板數(shù)據(jù)也可以看成是具有層級結(jié)構(gòu)的分層數(shù)據(jù)[3-4]。近幾十年，絕大多數(shù)研究者對面板數(shù)據(jù)的分析多采用面板數(shù)據(jù)計量模型，較少考慮面板數(shù)據(jù)的分層結(jié)構(gòu)。面板數(shù)據(jù)模型中的變截距面板數(shù)據(jù)模型、變系數(shù)面板數(shù)據(jù)模型與多水平模型有很多相近的地方[5]141-175。張旭、石磊對兩水平模型與靜態(tài)面板數(shù)據(jù)模型進(jìn)行了對比分析，指出了兩者間的區(qū)別與聯(lián)系，以此將多水平模型與面板數(shù)據(jù)模型結(jié)合起來，但沒有對該模型的估計理論及相關(guān)問題進(jìn)行深入研究[6]?；诖耍P者將同時考慮面板數(shù)據(jù)的層次效應(yīng)和時間的隨機效應(yīng)，分析多水平面板數(shù)據(jù)模型的方差協(xié)方差結(jié)構(gòu)，導(dǎo)出模型參數(shù)的估計方法，并通過模擬數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行驗證分析。二、多水平面板數(shù)據(jù)模型多水平面板數(shù)據(jù)模型是將多水平模型和面板數(shù)據(jù)模型結(jié)合起來，同時考慮數(shù)據(jù)的層次效應(yīng)和時間的隨機效應(yīng)。由于面板數(shù)據(jù)是對同一樣本多次重復(fù)觀測得到的數(shù)據(jù)，重復(fù)觀測嵌套于個體對象中，因而將重復(fù)觀測作為第一水平，個體作為第二水平，同時在第一水平還引入時間隨機效應(yīng)。下面詳細(xì)介紹兩水平面板數(shù)據(jù)模型。（一）兩水平面板數(shù)據(jù)模型的一般形式在成熟的多水平模型和面板數(shù)據(jù)模型的理論基礎(chǔ)上，兩水平面板數(shù)據(jù)模型的一般形式如下水平1模型可表述為：水平2模型可表述為：將（2）（3）代入式（1），得到組合模型為：傳統(tǒng)的兩水平模型不考慮時間效應(yīng)，而面板數(shù)據(jù)模型一般不考慮回歸系數(shù)的隨機性和層次效應(yīng)，因此模型（1）是兩水平模型和面板數(shù)據(jù)模型的有機結(jié)合。（二）兩水平面板數(shù)據(jù)模型的假設(shè)條件根據(jù)多水平模型和面板數(shù)據(jù)模型理論，對模型（1）（2）（3）可作如下假設(shè)：（三）兩水平面板數(shù)據(jù)模型的方差結(jié)構(gòu)模型（5）包含兩部分，一部分是固定效應(yīng)XWβ，另一部分是隨機效應(yīng)部分。隨機效應(yīng)部分用ε表示如下：由前面的假設(shè)條件（6）（7）（8），可以得到模型的協(xié)方差結(jié)構(gòu)：（四）兩水平面板數(shù)據(jù)模型的參數(shù)估計根據(jù)多水平模型理論及其估計方法，可以采用迭代廣義最小二乘估計（IGLS）和限制迭代廣義最小二乘估計（RIGLS）對模型（4）（5）進(jìn)行參數(shù)估計[7]。IGLS和RIGLS都是從普通最小二乘（OLS）開始估計固定回歸系數(shù)，計算出OLS殘差及其方差協(xié)方差矩陣V，然后以為權(quán)重的廣義最小二乘法（GLS）來估計模型隨機參數(shù)的方差協(xié)方差矩陣。這些估計出來的方差協(xié)方差矩陣又被用來作為新的GLS的權(quán)重，重新估計固定回歸系數(shù)，又計算出新的GLS的殘差及其方差協(xié)方差矩陣。這兩部分的計算交替進(jìn)行，直到估計過程收斂。1.迭代廣義最小二乘估計（IGLS）若θ已知，則固定效應(yīng)參數(shù)β的最佳線性無偏估計就是廣義最小二乘估計：當(dāng)給定β和θ一個初始值，IGLS估計就開始在式（13）與（15）之間進(jìn)行迭代計算，直到迭代收斂，就可以估計出固定效應(yīng)參數(shù)β和隨機效應(yīng)參數(shù)θ的值，β和θ的協(xié)方差分別為：2.限制迭代廣義最小二乘估計（RIGLS）IGLS對參數(shù)θ的估計是一個有偏估計，當(dāng)θ給定時：由于筆者提出的多水平面板數(shù)據(jù)模型的方差結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，不能采用現(xiàn)有的多水平統(tǒng)計軟件進(jìn)行參數(shù)估計，故本文編寫了Matlab程序?qū)δＰ偷膮?shù)進(jìn)行估計。三、模擬分析為了驗證上述估計方法對于多水平面板數(shù)據(jù)模型是否可行，首先，對于模型（1）～（3）中水平1只有一個解釋性變量，水平2不含解釋性變量的模型，模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證。模型結(jié)構(gòu)如下：水平1模型可表述為：針對模型（19），假定是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中隨機選取的數(shù)據(jù)，并且根據(jù)模型假設(shè)條件（6）（7）（8），取參數(shù)的一組真實值。根據(jù)這組真實值，模擬1000次200個個體在10個時間點的觀測值，得到和組成的面板數(shù)據(jù)，將該數(shù)據(jù)應(yīng)用到模型（19）中，并分別采用IGLS和RIGLS對模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計。由于每次參數(shù)估計結(jié)果與真實值之間都有一定的偏差，將1000次估計結(jié)果作進(jìn)一步的處理。首先，對各參數(shù)的1000次估計結(jié)果進(jìn)行平均，用來說明參數(shù)估計值與真實值之間的平均偏差程度；其次，用1000次樣本參數(shù)估計的標(biāo)準(zhǔn)差的平均值表示結(jié)果的波動程度；最后，考察在0.05的顯著性水平下，各參數(shù)在1000次估計結(jié)果中顯著次數(shù)的比率，可以用來說明參數(shù)估計結(jié)果的可信度，用顯著率表示。將參數(shù)估計分析結(jié)果顯示在表1（見下頁）中。從表1知，參數(shù)的估計結(jié)果都顯著，這說明參數(shù)的估計結(jié)果是可信的。首先，從參數(shù)估計結(jié)果的平均值來看，參數(shù)估計結(jié)果的平均值與真實值之間都相當(dāng)接近，這說明參數(shù)估計結(jié)果與真實值之間的偏差程度很小；參數(shù)估計結(jié)果的平均標(biāo)準(zhǔn)誤都比較小，說明參數(shù)估計值的波動程度較弱。IGLS和RIGLS對參數(shù)的估計結(jié)果差別不明顯，但是RIGLS的無偏性更好，因此這兩種參數(shù)估計方法都可以運用到該模型中，并且都可以得到比較好的估計結(jié)果。其次，對于模型（1）～（3）中水平1只有一個解釋性變量，水平2也含一個解釋性變量的模型，模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證。模型結(jié)構(gòu)如下：水平1模型可表述為：對于模型（22），假定與都是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中隨機選取的數(shù)據(jù)，并且根據(jù)模型假設(shè)條件（6）（7）（8），取參數(shù)的一組真實值。根據(jù)這組真實值，模擬1000次200個個體在10個時間點的觀測值，得到，與組成的面板數(shù)據(jù)，將該數(shù)據(jù)應(yīng)用到模型（22）中，并分別采用IGLS和RIGLS對模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計，將1000次估計結(jié)果按照前面的分析方法進(jìn)行分析，分析結(jié)果顯示在表2中。從表2可以看出，在顯著性水平為0.05的情況下，參數(shù)與的估計值90%都顯著，其他參數(shù)的估計結(jié)果全都是顯著的。在IGLS和RIGLS兩種估計方法下，各參數(shù)的估計平均值與真實值之間的偏差都很小，平均標(biāo)準(zhǔn)誤也說明了在估計過程中的波動程度不大。最后，按照前面模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計的方法，將兩水平面板數(shù)據(jù)模型與兩水平模型、二維隨機誤差分解模型進(jìn)行比較分析。當(dāng)模型（16）中不含時間隨機效應(yīng)時，其組合模型（19）變?yōu)椋簭谋?可以看出，兩模型中的參數(shù)估計結(jié)果在0.05的顯著性水平下都顯著。從兩模型的參數(shù)估計結(jié)果的平均值與真實值的對比可以看出，兩模型中的參數(shù)估計值與真實值的偏差都很小。由于兩水平模型沒有考慮時間效應(yīng)的影響，因而參數(shù)估計結(jié)果中，時間隨機誤差的影響效應(yīng)被當(dāng)成了模型的設(shè)定誤差考慮，參數(shù)的估計結(jié)果大于真實值。這說明兩水平面板數(shù)據(jù)模型能夠詳細(xì)地解釋模型中方差變異的來源。從模擬數(shù)據(jù)估計的過程中還發(fā)現(xiàn)，雖然模型（19）與模型（23）的估計結(jié)果中固定效應(yīng)參數(shù)的估計值相當(dāng)接近，隨機效應(yīng)參數(shù)的估計值也相差不大，但是每次估計結(jié)果中，模型（19）的似然比檢驗統(tǒng)計量-2LL的值都要小于模型（23）的似然比檢驗統(tǒng)計量-2LL的值。本文隨機選取一次估計結(jié)果中的-2LL值，顯示在表4中。從表4知，模型（23）與模型（19）的-2LL的差分別為203.8，215.4，與自由度為1的分布的臨界值（置信水平設(shè)為0.05，（1，0.95）=3.84）相比都是顯著的。由于似然比檢驗統(tǒng)計量可以用來衡量擬合模型的優(yōu)劣，-2LL的值越小，表示模型擬合得越好，并且統(tǒng)計量還達(dá)到了顯著水平。因此，模型（19）比模型（23）能更好地擬合數(shù)據(jù)，這說明用真實模型（19）能得到更好的擬合效果。對于模型（16）～（19），若沒有考慮到數(shù)據(jù)的層次效應(yīng)，則模型就是典型的二維隨機誤差分解模型[9]34-56，可將模型表示為：從表5中可以看出，兩種不同的模型中，固定效應(yīng)參數(shù)的估計結(jié)果與參數(shù)真實值之間相差都很小，參數(shù)估計結(jié)果的波動幅度也不大，但是對于不同模型，其解釋變量解釋的結(jié)局測量變異有很大的不同。兩水平面板數(shù)據(jù)模型的結(jié)局測量值受到不同層次效應(yīng)、時間效應(yīng)及其模型隨機誤差效應(yīng)的影響。而面板數(shù)據(jù)模型的結(jié)局測量值受到個體隨機效應(yīng)、時間隨機效應(yīng)和模型隨機誤差效應(yīng)的影響，它沒有考慮數(shù)據(jù)的層次結(jié)構(gòu)，造成參數(shù)的估計值大于其真實值。并且在模擬數(shù)據(jù)估計的過程中，模型（24）中AIC的值都要大于模型（19）中AIC的值。本文分別隨機選取一次估計結(jié)果中的AIC的值，顯示在表6（見下頁）中。從表6知，模型（24）中AIC的值都要大于模型（19）中AIC的值。從模型的擬合優(yōu)度來看，AIC的值越小，說明模型擬合數(shù)據(jù)更好。因而，真實模型（19）比模型（24）對數(shù)據(jù)的擬合程度更好。四、結(jié)論對于實際問題中需要研究的面板數(shù)據(jù)，應(yīng)該根據(jù)研究的不同目的、不同內(nèi)容，從多方面加以分析，找到適合的模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。多水平模型和面板數(shù)據(jù)模型都可以分析面板數(shù)據(jù)。多水平模型可以分析不同層次的數(shù)據(jù)，通過建立不同層次的模型，解釋組群效應(yīng)和個體間的差異，但不能體現(xiàn)隨機時間效應(yīng)的影響。面板數(shù)據(jù)模型則可以很好地刻畫個體異質(zhì)性，在模型中可以引入個體和時間隨機因素，但是它不能分析數(shù)據(jù)的層次效應(yīng)。多數(shù)面板數(shù)據(jù)都是通過隨機選取N個個體在T個時間點的觀測值，相對于總體來說，個體和時間都存在隨機因素，在分析實際問題時，不應(yīng)該忽略這些隨機效應(yīng)的影響。本文提出的多水平面板數(shù)據(jù)模型是一個新