2022022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選“冒牌函數(shù)”之銳角三角函數(shù)摘要：初中階段利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，是中考?？疾斓囊活?lèi)題目，難度適中。筆者連續(xù)三年擔(dān)任九年級(jí)數(shù)學(xué)老師，發(fā)現(xiàn)這類(lèi)題目學(xué)生失分率很高。筆者參加2021年本縣的中考閱卷，批改的正是第17題利用銳角三角函數(shù)的概念等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，求不規(guī)則圖形面積。通過(guò)閱卷發(fā)現(xiàn)了許多問(wèn)題，本文將通過(guò)探討此題，總結(jié)如何提高學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題的能力。關(guān)鍵詞：銳角三角函數(shù)、直角三角形、面積一、銳角三角函數(shù)的地位人教版九年級(jí)下冊(cè)第二十八章學(xué)習(xí)的是銳角三角函數(shù)，雖然此章節(jié)學(xué)習(xí)的也是函數(shù)，但是并沒(méi)有像學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)那樣學(xué)習(xí)函數(shù)定義，研究其圖像性質(zhì)。所以稱(chēng)它為“冒牌函數(shù)”。初中階段學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)主要介紹了正弦、余弦、正切的定義，主要目的是用來(lái)解決直角三角形中邊與角之間的問(wèn)題。再有就是體現(xiàn)初高中的銜接。到了高中才算真正開(kāi)始學(xué)習(xí)三角函數(shù)，要研究其圖像性質(zhì)，考察的側(cè)重點(diǎn)就變了。相比高考，中考考察此知識(shí)點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題難度是非常適中，筆者認(rèn)為還是挺簡(jiǎn)單的，但是在從教過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生處理此類(lèi)題目的正確率比較低，所以筆者很是疑惑，開(kāi)始研究學(xué)生們錯(cuò)誤的原因何在。二、閱卷分析從2020年到2022年，這連續(xù)三年我都兼任九年級(jí)數(shù)學(xué)老師。2020是我第一次擔(dān)任九年級(jí)數(shù)學(xué)老師，自己沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)，壓力比較大，每天做的最多的就是刷題。當(dāng)自己刷到銳角三角函數(shù)題目的時(shí)候，我是沒(méi)把這類(lèi)題目放到心上，感覺(jué)這就是送分題。學(xué)習(xí)這一章節(jié)的時(shí)候，也沒(méi)覺(jué)得學(xué)生處理不好，直到模擬考試的時(shí)候，突然發(fā)現(xiàn)這類(lèi)題目怎么失分那么高，當(dāng)時(shí)就覺(jué)得好好練練，這題的拿滿(mǎn)分。到2021年的時(shí)候，我就稍微有一些經(jīng)驗(yàn)了。在學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)新課時(shí)，我就特別注意這一章的學(xué)習(xí)和練習(xí)。剛好那年我參加了本縣中考閱卷，評(píng)閱的正是此類(lèi)題目。下面分享一下2021年安徽中考數(shù)學(xué)試卷第17題。學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，學(xué)習(xí)制作機(jī)械零件.零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊12022022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選形AEFD為矩形，點(diǎn)B，C分別在EF，DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°.AB＝10cm，BC=6cm求零件的截面面積.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.80，cos53°≈0.60).E ABFCD1.考察內(nèi)容最近幾年考察解直角三角形實(shí)際應(yīng)用，一般最后的問(wèn)題是讓求線段的長(zhǎng)度。今年的問(wèn)題的方向有所改變，是讓求不規(guī)則圖形的面積。其實(shí)這也是平時(shí)訓(xùn)練中常遇到的熟悉問(wèn)題，尤其在圓中，經(jīng)常遇到求不規(guī)則圖形的面積。我們解決問(wèn)題常用的方法就是“割補(bǔ)法”。就是把不規(guī)則的圖形補(bǔ)成規(guī)則的圖形，或者分割成規(guī)則的圖形，或者等積變換，進(jìn)而解決問(wèn)題。本題主要考察的內(nèi)容為三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解決問(wèn)題的過(guò)程中可能會(huì)運(yùn)用到勾股定理、三角形相似、三角形面積公式、梯形面積公式等相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。解答時(shí)需要熟練各個(gè)部分的內(nèi)容，并將平時(shí)所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)解決問(wèn)題。通過(guò)閱卷發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決問(wèn)題的方法還是非常多的。2.典型解法E ABFCD 其實(shí)題目原本圖形就已經(jīng)是個(gè)完美的圖形了。因?yàn)樗倪呅蜛EFD是矩形。所以在求零件的截面面積即是求圖中陰影圖形的面積，以下都簡(jiǎn)稱(chēng)為S陰。（1）方法一：（參考答案）解：由題意知，AD∥EF，故∠ABE=∠BAD=53°，22022022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選又∠ABC=90°，所以∠BCF=∠ABE=53°.在Rt?ABE中，AE=AB?sin∠ABE=10?sin53°=8，BE=AB?cos∠ABE=10cos53°=6，在Rt?BCF中，BF=BC?sin∠BCF=6?sin53°=4.8，CF=BC?cos∠BCF=6cos53°=3.6,又EF=BE+BF=6+4.8=10.8,所以四邊形1 1ABCD的面積S=AE×EF－AE×BE－BF×FC2 21 1=8×10.8－×8×6－×4.8×3.62 2=53.76故四邊形ABCD的面積為53.76cm2這種方法相對(duì)是比較簡(jiǎn)單方法，采用的同學(xué)也比較多，但是出錯(cuò)的也比較多，錯(cuò)誤點(diǎn)有以下幾點(diǎn)：①像AE,BE,BF,FC等這幾個(gè)關(guān)鍵的量求錯(cuò)②代入面積公式時(shí)，代入錯(cuò)誤③計(jì)算錯(cuò)誤，尤其代入之后求最后面積值時(shí)求錯(cuò)了，閱卷老師都覺(jué)得十分可惜。在這種方法之下，有部分學(xué)生非常的聰明，他看出Rt?ABE∽R(shí)tBCF,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可由 Rt?ABE的面積求出 Rt?BCF的面積，也不失為一種好方法。（2）方法二:E ABFCDH32022022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選解：如圖所示，延長(zhǎng)BC，AD相交于點(diǎn)H∵∠ABC=90°，∠BAD=53° AB 10 50∴Rt?ABH中，AH=cos53°=0.6=，340

3，BH=AH?sin∠BAH=50

3?sin53°= 40

又∵BC=6,∴CH=BH-BC=3－6=22

3,又∵∠H=∠H,∠ABH=∠CDH=90°∴Rt?ABH∽R(shí)tCDH5022∴Rt?ABH與RtCDH相似比是：AH：CH=:3 3=25：11S?ABH:S?AEB=625:121504 504 1 40∴S陰=625S?ABH=625××10×2 3=1344

25=53.76選擇此方法的一些同學(xué)多數(shù)是在RtCDH利用三角函數(shù)，由CH的長(zhǎng)求出CD和DH的長(zhǎng)，然后再求出RtCDH的面積。利用S陰S?ABH?S?CDH= ，求出答案。選擇此方法的學(xué)生不多，而且的滿(mǎn)分的更少，主要原因是需要的數(shù)據(jù)很多，而且從數(shù)值上看，處理起來(lái)并不簡(jiǎn)單，導(dǎo)致得不到滿(mǎn)分。上述方法是我在學(xué)生的方法上改進(jìn)了一下，這些數(shù)據(jù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)真的很“大”，算起來(lái)有困難。（3）方法三E ABRFCD其實(shí)是與方法二是一樣的，有些學(xué)生就只畫(huà)了圖形,說(shuō)明我們的學(xué)生是非常聰明的， 4EA2022022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選能想到方法，但是解決不了問(wèn)題，我想這每位教師應(yīng)該深思的問(wèn)題，怎樣才能激發(fā)學(xué)生的潛能，讓他們有思想并且能解決問(wèn)題。我想應(yīng)該從他們的自信心培養(yǎng)，相信他們能解決好問(wèn)題。（4）方法四： 如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BR⊥AD交AD于點(diǎn)R。這種分割法有很多學(xué)生采用，就是把這個(gè)陰影圖形分割成直角三角形ABR和一個(gè)直角梯形BCDR。然后把他們各自的面積求出來(lái)，相加就能解決問(wèn)題。所以有些同學(xué)就必須求出AE,BE,BF,CF,CD這五個(gè)量才能解決問(wèn)題。也有些同學(xué)求出AE,BE,BF,CF四個(gè)量，也能解決問(wèn)題，主要時(shí)在求直角梯形面積時(shí)采用的不是它的面積公式，而是用了矩形BFDR的面積減去直角三角形BFC的面積，也能解決問(wèn)題。但這種方法出錯(cuò)情況也比較多，主要錯(cuò)誤點(diǎn)：①公式錯(cuò)誤，求三角形的面積忘了除以2.②計(jì)算錯(cuò)誤

（5）方法五：EPABRFCD如圖，過(guò)點(diǎn)B作BR⊥AD交AD于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥BR交BR于點(diǎn)P。學(xué)生52022022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選們把陰影圖形分割成直角三角形ABR和直角三角形BPC和一個(gè)矩形PCDR.把他們的面積相加即可求出結(jié)果。這個(gè)過(guò)程也必須求出AE,BE,BF,CF,CD這五個(gè)量才能解決問(wèn)題。這里出錯(cuò)的主要有：把矩形PCDR當(dāng)成一個(gè)正方形來(lái)計(jì)算。這算是一個(gè)思維定勢(shì)的原因吧，看著像是正方形，就當(dāng)成正方形來(lái)計(jì)算。（6）方法六：EQAGBFCD如圖，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥FD交AB于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD于點(diǎn)G.學(xué)生們把陰影圖形分割成直角三角形CBQ和直角三角形AQG和一個(gè)矩形QCDG.下面看一下解題過(guò)程：

解：∵四邊形AEFD為矩形

∴∠D=90°

又∵CQ⊥FD，QG⊥AD，

∴四邊形QCDG是矩形

∴CQ∥AD

∴∠BQC=∠QAG=53°

∵∠ABC=90°，BC=6 BC 6 15∴Rt?QBC中，CQ=sin53=0.8=29

，2BQ=CQ?cos∠CBQ=15

2cos53°=62022022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選9 11∴AQ=AB－BQ=10－=2 2∴在Rt?AQG中，QG=AQ?sin∠QAG=11

2?sin53°=4.4，AG=AQ?cos∠QAG=11

2cos53°=3.3，S陰=S矩形QCDG+S?AQG+S?BQC1 1=CG×CQ＋×CB×BQ＋×QG×AG2 2 15

=2×4.4+1 9 12×6×＋×4.4×3.32 2 =53.76

很少一部分同學(xué)選擇這種分割方法，所求線段多，瑣碎計(jì)算起來(lái)也不是很簡(jiǎn)單，所以選擇此方法的同學(xué)得滿(mǎn)分的很少。（7）方法七：

E ABFCD如圖連接AC,把陰影部分圖形分成直角三角形ABC和直角三角形ADC。多數(shù)同學(xué)采用這種方法，但是得滿(mǎn)分得并不多，失分主要原因AD和CD得值求得不對(duì)。以上總結(jié)分析了七方法，總結(jié)為兩種思路，一種是補(bǔ)圖，一種是分割。記得當(dāng)時(shí)考完數(shù)學(xué)時(shí)，我就問(wèn)學(xué)生感覺(jué)題目怎么樣，就談到17題，當(dāng)時(shí)就有兩個(gè)學(xué)生就對(duì)我說(shuō)：“老師，三角函數(shù)那道題，我用得有半個(gè)小時(shí)，太難算了”。等到中考試題下來(lái)得時(shí)候，我就趕緊做了試題，但當(dāng)時(shí)就感覺(jué)第17題很簡(jiǎn)單啊。我當(dāng)時(shí)就用的第一種方法，特別驚訝他們?cè)趺淳突税雮€(gè)小時(shí)!批改完17題后，我瞬間明白了學(xué)生們的苦衷，確實(shí)有些方法計(jì)算起來(lái)特別不好算，需要花一定的時(shí)間才能完成。也同時(shí)不理解，第一種方法很難想到嗎，干嘛又分割，又補(bǔ)圖的？為什么我們的學(xué)生舍近求遠(yuǎn)那？我想這應(yīng)該與學(xué)生平72022022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選時(shí)思考問(wèn)題的方式有關(guān)，也跟學(xué)生們的靈活應(yīng)變的能力有關(guān)。在閱卷的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)多數(shù)同學(xué)的解題格式不規(guī)范，字跡潦草，有的時(shí)候找半天找不到他的答案寫(xiě)在哪里了。再有就是老生常談的問(wèn)題，那就是學(xué)生的計(jì)算能力了，很多同學(xué)過(guò)程都寫(xiě)對(duì)了，就最后的結(jié)果錯(cuò)了。三、今后的教學(xué)建議1. 在平時(shí)的訓(xùn)練中注意學(xué)生的解題規(guī)范性的培養(yǎng)，卷面答題布局合理，書(shū)寫(xiě)整潔干凈。2. 計(jì)算能力的培養(yǎng)。很多學(xué)生沒(méi)有足夠的耐心，但凡遇到步驟稍微復(fù)雜，就沒(méi)有足夠的耐心去計(jì)算，導(dǎo)致一步錯(cuò)步步錯(cuò)。3. 培養(yǎng)學(xué)生