2021-2022學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市高二上學(xué)期元月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線過(guò)點(diǎn)，，則該直線的傾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C．2．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以，，所以，故選：D．3．在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，，則（）A．55 B．65 C．15 D．60【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，.故選:B．4．設(shè)為拋物線焦點(diǎn)，直線，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則（）A．3 B．4 C．2 D．不能確定【答案】A【分析】由拋物線方程求出準(zhǔn)線方程，由題意可得，由拋物線的定義可得，即可求解.【詳解】由可得，準(zhǔn)線為，設(shè)，由拋物線的定義可得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作于，可得，所以，故選：A.5．已知x，y是實(shí)數(shù)，且，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，進(jìn)而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【詳解】方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)A連線的斜率，設(shè)，即，當(dāng)此直線與圓相切時(shí)，斜率最大或最小，當(dāng)切線位于切線AB時(shí)斜率最大.此時(shí)，，，所以的最大值為.故選：D．6．已知數(shù)列滿足，且，則的值為（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，依次求出，觀察規(guī)律，進(jìn)而求出數(shù)列的周期，然后通過(guò)周期性求得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，所以，，，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，，所以.故選：B．7．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.8．設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性橢圓的定義可得，結(jié)合的范圍求的周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】的周長(zhǎng)，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C的交點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為，故選：A.二、多選題9．已知方程，其中，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，方程表示的曲線是圓B．當(dāng)時(shí)，方程表示的曲線是雙曲線C．當(dāng)時(shí)，方程表示的曲線是橢圓D．當(dāng)且時(shí)，方程表示的曲線是拋物線【答案】BC【分析】討論m,n的符號(hào)（包括0），并結(jié)合曲線方程的特征即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，當(dāng)，時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)且時(shí)，方程或表示垂直于y軸的兩條直線，故D錯(cuò)誤．故選：BC.10．已知直線l：和圓C：，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)B．存在實(shí)數(shù)m，使得直線l和圓C相切C．圓C的圓心到直線l的距離的最大值是1D．圓C的圓心到直線l的距離的最小值是【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，化簡(jiǎn)直線l為點(diǎn)斜式，看出所過(guò)的定點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)所過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)，得到直線l和圓C恒相交；C選項(xiàng)，利用幾何性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，圓C的圓心到直線l的距離最大，求出最大值；D選項(xiàng)，利用幾何性質(zhì)得到直線l經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，最小值為0.【詳解】對(duì)于A，直線l：，可以整理為：，無(wú)論m取什么值，直線l恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，直線l恒過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線l和圓C恒相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)定點(diǎn)P（1，1），當(dāng)時(shí)，圓C的圓心到直線l的距離最大，其中圓心，所以最大值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，圓C的圓心到直線1的距離最小，最小值為0，故D錯(cuò)誤．故選：AC11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為線段上不與A，重合的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A．異面直線CP與所成角的取值范圍是B．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面平面C．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變D．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積存在最小值為【答案】BCD【分析】對(duì)A，先證明，進(jìn)而找到異面直線所成的角，然后得到答案；對(duì)B，先證明平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理得到答案；對(duì)C，先證明平面，進(jìn)而判斷答案；對(duì)D，先證明，然后結(jié)合三角形的面積公式求得答案.【詳解】對(duì)A，如圖1，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，則，所以（易知其為銳角）是與所成的角，而若P與A重合，容易判斷為等邊三角形，，則與所成角的范圍是.故A錯(cuò)誤；對(duì)B，如圖2，因?yàn)槠矫?，所以，又，則面，于是.因?yàn)槠矫?，所以，又，則面，于是.又，所以平面，當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有平面，所以平面平面.故B正確；對(duì)C，如圖3，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，則，而平面，所以平面，當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離d不變，所以三棱錐的體積不變.故C正確；對(duì)于D，如圖4，因?yàn)槠矫?，平面，所以，于是三角形的面積，當(dāng)最小時(shí)，三角形面積最小，當(dāng)P為線段的中點(diǎn)時(shí)，，最小，此時(shí)三角形的面積最小，最小值為.故D正確．故選：BCD.12．?dāng)?shù)列共有60項(xiàng)，滿足，其中且，數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)的和記作，所有偶數(shù)項(xiàng)的和記作，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．（且） B．C． D．【答案】ABC【分析】令，可得，令可得，將兩式相減可得由此即可判斷A,B是否正確；分別將，2，3…59代入，根據(jù)，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求出，進(jìn)而判斷C，D是否正確.【詳解】對(duì)于A，令（且）時(shí)，得①，令（且）時(shí)，得②，得（且），故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C和D，分別將，2，3…59代入，得，，，，…，，，所以，故C正確，，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.三、填空題13．若向量，，，且向量，，共面，則______．【答案】【分析】由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，共面，所以存在?shí)數(shù)x，y，使得，得，解得∴．故答案為：14．已知直線l：和圓C：，過(guò)直線l上一點(diǎn)P作圓C的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】1【分析】求出圓C的圓心坐標(biāo)、半徑，再借助圓的切線性質(zhì)及勾股定理列式計(jì)算作答.【詳解】圓C：，圓心為，半徑，點(diǎn)C到直線l的距離，由圓的切線性質(zhì)知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)P是過(guò)點(diǎn)C作直線l的垂線的垂足時(shí)取“=”，所以的最小值為1．故答案為：115．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，為其前n項(xiàng)和，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，______．【答案】9或10【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的使用.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，且，得，得，則有，又因?yàn)椋?，所以?0時(shí)，取得最大值．故答案為：9或1016．已知，分別是橢圓和雙曲線的離心率，，是它們的公共焦點(diǎn)，M是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理找到的關(guān)系，然后利用三角換元求最值即可.【詳解】解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為，半焦距為c，設(shè)，，，因?yàn)?，所以由余弦定理可得，①在橢圓中，，①化簡(jiǎn)為，即，②在雙曲線中，，①化簡(jiǎn)為，即，③聯(lián)立②③得，，即，記，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．故答案為：.四、解答題17．已知圓C的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)，．(1)求圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，求切線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】(1)由圓心在直線上，設(shè)，由點(diǎn)在圓上，列方程求，由此求出圓心坐標(biāo)及半徑，確定圓的方程；(2)當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由切線的性質(zhì)列方程求，再檢驗(yàn)直線是否為切線，由此確定答案.(1)因?yàn)閳AC的圓心在直線上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，圓C過(guò)點(diǎn)，，所以，即，解得，則圓心，半徑，所以圓的方程為；(2)當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，因?yàn)橹本€和圓相切，得，解得，所以直線方程為，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，易知直線也是圓的切線，綜上，所求的切線方程為或．18．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算基本量從而得出的通項(xiàng)公式；（2）由(1)可得，再由裂項(xiàng)相消法求和即可.(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，所以有，，聯(lián)立兩式解得或又因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)∵，∴，∴．19．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)在拋物線C上．(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】(1)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程即可；(2)設(shè)直線方程，解聯(lián)立方程組，消未知數(shù)，得到一元二次方程，再利用韋達(dá)定理和已知條件求斜率.(1)因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)拋物線方程為又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C上，所以，解得，所以拋物線的方程為；(2)拋物線C的焦點(diǎn)為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，設(shè)直線l交拋物線的兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，由得，，，，由拋物線得定義可知，所以，解得，即，所以直線l的方程為或．20．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面ABCD，．(1)求證：平面ACM；(2)求平面MBC與平面DBC的夾角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)30°【分析】（1）連接BD，借助三角形中位線可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法直接可求.(1)連接BD，與AC交于點(diǎn)O，在中，因?yàn)镺，M分別為BD，PD的中點(diǎn)，則，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.(2)設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接PE，因?yàn)闉檎切?，則，又因?yàn)槠矫娴酌鍭BCD，平面平面，則平面ABCD，過(guò)點(diǎn)E作EF平行于CB，與CD交于點(diǎn)F，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，所以，，設(shè)平面CBM的法向量為，則，令，則，因?yàn)槠矫鍭BCD，則平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以，所以平面MBC與平面DBC所成角的大小為30°．21．已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最大值．【答案】(1)；(2)1.【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算得解.(2)設(shè)出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理結(jié)合均值不等式計(jì)算作答.(1)橢圓C的半焦距為c，離心率，因過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為1，將代入橢圓C方程得：，即，則有，解得，所以橢圓C的方程為.(2)由(1)知，，依題意，直線l的斜率不為0，則設(shè)直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設(shè)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．22．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線的方程為，雙曲線C的右焦點(diǎn)為，雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B．(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸的上方），直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題可得，，即求；（2）由