習(xí)題課二萬有引力定律的應(yīng)用知識點一天體運動各物理量與軌道半徑關(guān)系的定性分析《今日宇宙》網(wǎng)站統(tǒng)計,正在地球周圍工作的衛(wèi)星有1071顆,其中約500顆為近地軌道衛(wèi)星,50顆為中軌道衛(wèi)星(20000km),其余為地球同步靜止軌道衛(wèi)星(36000km),這么多不同軌道的衛(wèi)星的線速度大小,角速度,周期,向心加速度大小與什么因素有關(guān)?提示:與軌道半徑有關(guān).衛(wèi)星運行參量的分析衛(wèi)星運行參量相關(guān)方程結(jié)論線速度vr越大,v、ω、a越小,T越大角速度ω周期T向心加速度a提醒:地面上隨地球自轉(zhuǎn)的物體不適用此結(jié)論.

【典例示范】【典例】(多選)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等,均繞地球做圓周運動,甲的軌道半徑是乙的2倍.下列應(yīng)用公式進(jìn)行的推論正確的有 (

)A.由v=可知,甲的速度是乙的倍B.由a=ω2r可知,甲的向心加速度是乙的2倍C.由F=G可知,甲的向心力是乙的D.由可知,甲的周期是乙的2倍【解析】選C、D.衛(wèi)星繞地球做圓周運動,萬有引力提供向心力,則F向=

衛(wèi)星的運行線速度代入數(shù)據(jù)可得故A錯誤;因為在不同軌道上兩衛(wèi)星的角速度、軌道半徑都不一樣,故不能根據(jù)a=ω2r分析兩衛(wèi)星加速度的關(guān)系,衛(wèi)星的運行加速度a=代入數(shù)據(jù)可得故B錯誤;根據(jù)F向=兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等,可得故C正確;兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運動,根據(jù)開普勒第三定律可得故D正確.【題后反思】求解衛(wèi)星問題必須抓住衛(wèi)星運動特點:萬有引力提供繞地球做圓周運動的向心力,由方程求出相應(yīng)物理量的表達(dá)式即可求解,需要注意an、v、ω、T均與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān).【素養(yǎng)訓(xùn)練】兩顆衛(wèi)星都圍繞地球做勻速圓周運動,衛(wèi)星A軌道半徑為36000km,衛(wèi)星B軌道半徑為21500km.下列說法正確的是 (

)A.兩顆衛(wèi)星的發(fā)射速度均小于第一宇宙速度B.衛(wèi)星A的速率比衛(wèi)星B的大C.衛(wèi)星A的向心加速度小于衛(wèi)星B的向心加速度D.衛(wèi)星A的運動周期小于衛(wèi)星B的運動周期【解析】選C.第一宇宙速度是最小的發(fā)射速度,由于兩顆衛(wèi)星的軌道高度都較大,所以兩顆衛(wèi)星的發(fā)射速度均大于第一宇宙速度,故A錯誤;根據(jù)人造衛(wèi)星的萬有引力等于向心力,得:可得:可知衛(wèi)星的軌道半徑越小,角速度、線速度、向心加速度越大,周期越小,由題中A的軌道半徑大于B的軌道半徑,則知A周期大,A的速度和向心加速度都小,故C正確,B、D錯誤.知識點二雙星模型1.定義:繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng),我們稱之為雙星系統(tǒng),如圖所示.2.特點:(1)各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供,即

(2)兩顆星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為:r1+r2=L3.兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比,即與星體運動的線速度成正比.【問題探究】宇宙中靠得很近的兩個天體可以構(gòu)成“雙星系統(tǒng)”,以它們連線上的一點為圓心,做勻速圓周運動,兩天體及圓心始終在同一直線上.“雙星系統(tǒng)”做圓周運動所需的向心力是什么力提供?它們的周期有什么關(guān)系?提示:兩天體之間的萬有引力提供向心力.兩天體周期相同.【典例示范】【典例】兩個質(zhì)量不同的天體構(gòu)成雙星系統(tǒng),它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動,下列說法正確的是 (

)A.質(zhì)量大的天體線速度較大B.質(zhì)量小的天體角速度較大C.兩個天體的向心力大小一定相等D.兩個天體的向心加速度大小一定相等【解析】選C.雙星系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的,故它們的角速度大小相等,故B項錯誤;兩個星球間的萬有引力提供向心力,根據(jù)牛頓第三定律可知,兩個天體的向心力大小相等,而天體質(zhì)量不一定相等,故兩個天體的向心加速度大小不一定相等,故C項正確,D錯誤;根據(jù)牛頓第二定律,有:G=m1ω2r1=m2ω2r2,其中:r1+r2=L,故r1=L,r2=L,故故質(zhì)量大的天體線速度較小,故A錯誤.【素養(yǎng)訓(xùn)練】1.(多選)甲、乙兩星組成雙星系統(tǒng),它們離其他天體都很遙遠(yuǎn);觀察到它們的距離始終為L,甲的軌道半徑為R,運行周期為T.下列說法正確的是 (

)A.乙星的質(zhì)量大小為B.乙星的向心加速度大小為C.若兩星的距離減小,則它們的運行周期會變小D.甲、乙兩星的質(zhì)量之比為【解析】選A、C.對雙星系統(tǒng)的兩顆星球,由它們之間的萬有引力提供向心力:

可得:m乙=故A正確;乙的軌道半徑:r=L-R,則乙的向心加速度:故B錯誤.若兩星的距離減小,根據(jù)得則它們的運行周期會變小,故C正確.雙星系統(tǒng)具有相等的角速度和周期,由它們之間的萬有引力提供向心力,得:所以:Rm甲=(L-R)·m乙,甲、乙兩星的質(zhì)量之比為,故D錯誤.2.(多選)宇宙中兩顆相距很近的恒星常常組成一個雙星系統(tǒng).它們以相互間的萬有引力彼此提供向心力,從而使它們繞著某一共同的圓心做勻速圓周運動,若已知某雙星系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)周期為T,兩星到共同圓心的距離分別為R1和R2,引力常量為G,那么下列說法正確的是 (

)A.這兩顆恒星的質(zhì)量必定相等B.這兩顆恒星的質(zhì)量之和為C.這兩顆恒星的質(zhì)量之比m1∶m2=R2∶R1D.其中必有一顆恒星的質(zhì)量為【解析】選B、C、D.兩星有共同的周期T,由牛頓第二定律得所以兩星的質(zhì)量之比m1∶m2=R2∶R1,故C正確;由上式可得故A錯誤,B、C、D正確.1.北斗問天,國之夙愿.我國北斗三號系統(tǒng)的收官之星是地球靜止軌道衛(wèi)星,其軌道半徑約為地球半徑的7倍.與近地軌道衛(wèi)星相比,地球靜止軌道衛(wèi)星(

)A.周期大B.線速度大C.角速度大D.加速度大【解析】選A.根據(jù)天體環(huán)繞的“高軌、低速、長周期”可知,地球靜止軌道衛(wèi)星的軌道半徑高于近地衛(wèi)星,所以線速度和角速度均小于近地衛(wèi)星,周期長于近地衛(wèi)星,故A正確,B、C錯誤.由可知,加速度與軌道半徑的平方成反比,地球靜止軌道衛(wèi)星的加速度小于近地衛(wèi)星的加速度,故D錯誤.2.(多選)捷龍一號”首飛成功,標(biāo)志著中國“龍”系列商業(yè)運載火箭從此登上歷史舞臺.“捷龍一號”在發(fā)射衛(wèi)星時,首先將該衛(wèi)星發(fā)射到低空圓軌道1,待測試正常后通過變軌進(jìn)入高空圓軌道2.假設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量不變,在兩軌道上運行時的速率之比v1∶v2=3∶2,則 (

)A.衛(wèi)星在兩軌道運行時的向心加速度大小之比a1∶a2=81∶16B.衛(wèi)星在兩軌道運行時的角速度大小之比ω1∶ω2=25∶4C.衛(wèi)星在兩軌道運行的周期之比T1∶T2=4∶27D.衛(wèi)星在兩軌道運行時的動能之比Ek1∶Ek2=9∶4【解析】選A、D.根據(jù)可得v=,因為v1∶v2=3∶2,則r1∶r2=4∶9.根據(jù)可知:a=,可得衛(wèi)星在兩軌道運行時的向心加速度大小之比a1∶a2=81∶16,選項A正確;由ω=可得,衛(wèi)星在兩軌道運行時的角速度大小之比ω1∶ω2=27∶8,選項B錯誤;由可知,衛(wèi)星在兩軌道運行的周期之比T1∶T2=8∶27,選項C錯誤;根據(jù)則衛(wèi)星在兩軌道運行時的動能之比Ek1∶Ek2=9∶4,選項D正確.3.如圖所示,兩顆星球組成的雙星,在相互之間的萬有引力作用下,繞其連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動.現(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L,質(zhì)量之比為m1∶m2=3∶2,下列說法中正確的是 (

)A.m1、m2做圓周運動的線速度之比為3∶2B.m1、m2做圓周運動的角速度之比為3∶2C.m1做圓周運動的半徑為LD.m2做圓周運動的半徑為L【解析】選C.設(shè)雙星m1、m2距轉(zhuǎn)動中心O