單元檢測(cè)九 解析幾何(提升卷)考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷 (選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共 4頁(yè)．2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)號(hào)填寫在相應(yīng)位置上．3．本次考試時(shí)間 100分鐘，滿分 130分．4．請(qǐng)?jiān)诿芊饩€內(nèi)作答，保持試卷清潔完整．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．直線l經(jīng)過點(diǎn)(3，－2)和(0,1)，則它的傾斜角是()A．30°B．60°C．150°D．120°答案D解析由斜率公式k＝y(tǒng)2－y11－－23，再由傾斜角的范圍[0°，180°)知，tan120°x2＝＝－－x10－3＝－3，故選D.2．直線kx－y－3k＋3＝0過定點(diǎn)()A．(3,0)B．(3,3)C．(1,3)D．(0,3)答案B解析kx－y－3＋3＝0可化為y－3＝(x－3)，所以過定點(diǎn)(3,3)．故選B.kk3．直線(a－1)＋－a－3＝0(a>1)，當(dāng)此直線在，軸的截距和最小時(shí)，實(shí)數(shù)xyxyA．1B.2C．2D．3答案D解析當(dāng)x＝0時(shí)，y＝＋3，當(dāng)y＝0時(shí)，a＋3t＝a＋3＝，令＋3＋，因?yàn)閍xa－1aa－1

a的值是( )a>1，所以t>5，且a2＋(3－t)a＋t＝0，則 ＝(3－t)2－4t≥0，解得t≥9或t≤1(舍去)，所以t的最小值為9，把t＝9代入上述方程解得 a＝3.4．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為 ( )A. 7B．2 2C．1D．3答案 A|3＋1|解析圓的圓心為(3,0)，＝1，圓心到直線－＋1＝0的距離為d＝＝22，所以rxy21由勾股定理可知切線長(zhǎng)的最小值為222－12＝7.5．一束光線從點(diǎn)(－1,1)發(fā)出，并經(jīng)過x軸反射，到達(dá)圓(x－2)2＋(y－3)2＝1上一點(diǎn)的最A(yù)短路程是()A．4B．5C．32－1D．26答案A解析依題意可得，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1(－1，－1)，圓心C(2,3)，A1C的距離為2＋12＋3＋12＝5，所以到圓上的最短距離為5－1＝4，故選A.6．已知直線x＋y＝a22＝4交于A，B兩點(diǎn)，且→→→→，其中O為原與圓x＋y|OA＋OB|＝|OA－OB|點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．2B．－2C．2或－2D.6或－6答案C解析→→→→→→2→→2→→→→由|OA＋OB|＝|OA－OB|得|OA＋OB|＝|OA－OB|，化簡(jiǎn)得OA·OB＝0，即OA⊥OB，三角形AOB為等腰直角三角形，圓心到直線的距離為|a|2，a＝±2.2，即＝27．點(diǎn)P(2，－1)為圓(x－3)2＋y2＝25的弦的中點(diǎn)，則該弦所在直線的方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－1＝0D．x－y＋1＝0答案B解析點(diǎn)P(2，－1)為圓(x－3)2＋y2＝25的弦的中點(diǎn)，設(shè)圓心為C(3,0)，則該弦所在直線與PC垂直，故弦的斜率為k＝－1＝－3－2＝－1，則由直線的點(diǎn)斜式可得弦所在直線的方0－－1kPC程為y－(－1)＝－1×(x－2)，即x＋y－1＝0.8．已知直線y＝ax與圓C：(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1交于A，B兩點(diǎn)，且∠ACB＝60°，則圓的面積為( )A．6πB．36πC．7πD．49π答案 A解析 由題意可得圓心 C(a,1)，半徑R＝ a2－1(a≠±1)，∵直線y＝ax和圓C相交，△ABC為等邊三角形，∴圓心C到直線ax－y＝0的距離為32Rsin60°＝2×a－1，即d＝|a2－1|＝3a2－1，解得a2＝7，a2＋12∴圓C的面積為πR2＝π(7－1)＝6π.2故選A.9．已知橢圓x22＋y＝1的離心率e＝10，則的值為()5m5m25A．3B.3或3515C.5D.3或15答案B2222c2225解析當(dāng)m＞5時(shí)，a＝m，b＝5，c＝m－5，e＝a2＝5，解得m＝3；22 2 2 2 c 2當(dāng)0＜m＜5時(shí)，a＝5，b＝m，c＝5－m，e＝2＝，解得m＝3.故選B.10．已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(－12，－15)，則E的方程為()x2y2x2y2A.3－6＝1B.4－5＝1C.x2y2x2y2－＝1D.－＝16354答案B解析由已知條件得直線l的斜率為k＝＝1，kFN設(shè)雙曲線方程為x22>0，>0)，(1，1)，(2，2)，2－y2＝1(ayabbAxBxy2y2x11則有a2－b2＝1，2y2x22a2－b2＝1，兩式相減并結(jié)合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30y－y4b222得，1，從而＝1，＝2x1－x5a252a即4b2＝5a2，又a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故選B.x2y211．已知直線l：kx－y－2k＋1＝0與橢圓C1：a2＋b2＝1(a>b>0)交于A，B兩點(diǎn)，與圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于，D兩點(diǎn)．若存在k∈[－2，－1]，使得→＝→，則橢圓1的離CACDBC心率的取值范圍是()11A.0，2B.2，13C.0，2D.2，122答案C解析→→直線l過圓C2的圓心，∵AC＝DB，→ →∴|AC2|＝|C2B|，C2的圓心為A，B兩點(diǎn)的中點(diǎn)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，221y1a2＋b2＝1，則22兩式相減得，x2y2a2＋b2＝1，x＋x2x－x2y＋y2y－y21111a2＝－b2，b2b2k1化簡(jiǎn)可得－2·a2＝k，又∵a>b，∴a2＝－2∈2，1，所以＝b22.0，ea212．已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1|＝10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e1與e2滿足的關(guān)系是()A.1＋1＝2B.1－1＝2eeee1212C．e＋e＝2D．e－e＝21221答案B22c114c解析由橢圓與雙曲線的定義得1c2，所以－＝＝2，故選B.10＋2c10－2ce1e22c第Ⅱ卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知過拋物線y2＝4的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于，B兩點(diǎn)，||＝2，則||＝xAAFBF________.答案 2解析 設(shè)A(x0，y0)，由拋物線定義知 x0＋1＝2，∴x0＝1，則直線AB⊥x軸，∴|BF|＝|AF|＝2.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓：(－2)2＋(－2)2＝1上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)M關(guān)于xCxyM軸的對(duì)稱點(diǎn)N在直線l：kx＋y＋3＝0上，則實(shí)數(shù)k的最小值為________．44答案－3解析方法一圓：(x－2)2＋(y－2)2＝1關(guān)于x軸對(duì)稱的圓′的方程為(－2)2＋(y＋2)2CCx＝1，則符合題意的k的取值范圍就是圓C′與l有公共點(diǎn)時(shí)k的取值范圍，∴|2k－2＋3|≤1，k2＋144∴－3≤k≤0，即k的最小值為－3.方法二∵M(jìn)在圓C：(x－2)2＋(y－2)2＝1上，∴可設(shè)M(2＋cosθ，2＋sinθ)，可得N(2＋cosθ，－2－sinθ)，將N的坐標(biāo)代入kx＋y＋3＝0，可得sinθ－kcosθ＝2＋1，|2k＋1|≤2＋1，kk化簡(jiǎn)得32k4≤0，＋4≤0，解得－≤k3k4∴k的最小值為－3.15．(2018·河南新鄉(xiāng)高三模擬 )已知拋物線 C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)ppM4，－2，N－1，－2，射線MO，NO分別交拋物線C于異于點(diǎn)O的點(diǎn)A，B，若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則p的值為________．答案2p2解析直線OM的方程為y＝－8x，將其代入x＝2py，p2x＝－4，p2p3解方程可得p3故A－4，32.y＝，32p2直線ON的方程為y＝2x，將其代入x＝2py，x＝p2，p3解方程可得p3故Bp2，.y＝2，2又F0，pAB3pBFp2－12，所以k＝8，k＝2p，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以kAB＝3pp2－1＝2.BF，即＝，解得ABFk82pp52216．已知，分別為橢圓：x2＋y2＝1(>>0)的左、右頂點(diǎn)，兩不同點(diǎn)，在橢圓C上，ABCababPQ且關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)直線2b＋a1＋ln|m|＋ln|n|取最A(yù)P，BQ的斜率分別為m，n，則當(dāng)＋2abmn小值時(shí)，橢圓C的離心率為________．答案222222ba12ba解析設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則x0y0b＋ln|m|＋ln|n|＝a2＋b2＝1，所以mn＝2，從而a＋＋a＋bab2mna2b2b212x－11b2＋2b2＋lna2，設(shè)a2＝x，令f(x)＝2x＋lnx(0<x<1)，則f′(x)＝2x2，f(x)min＝f2，即a2＝12ba2bab212b2.因?yàn)椋?2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a2＝時(shí)取等號(hào)，取等號(hào)的條件一致，此時(shí)e＝1－22abb2a1 2＝2，所以e＝2.三、解答題(本題共4小題，共 50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 )17．(12分)如圖，直線 l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點(diǎn)A.求實(shí)數(shù)b的值；求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．解(1)由y＝x＋b，得x2－4x－4b＝0.(*)2＝4xy因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，所以＝(－4)2－4×(－4)＝0，解得＝－1.bb由(1)可知b＝－1，故方程(*)即為x2－4x＋4＝0，解得x＝2.將其代入x2＝4y，得y＝1.故點(diǎn)A(2,1) ．因?yàn)閳A A與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線 y＝－1的距離，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.18．(12分)(2019·湖北隨州第二高級(jí)中學(xué)月考 )已知過點(diǎn) A(0,1)，且斜率為k的直線l與圓6C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N兩點(diǎn)．求實(shí)數(shù)k的取值范圍；→求證：AM·AN為定值．解由題意過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線的方程為y＝kx＋1，代入圓C的方程得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，因?yàn)橹本€與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N兩點(diǎn)，所以＝[－4(1＋k)]2－4×7×(1＋k2)>0，4－74＋7解得<k<，33所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是4－4＋77，.33(2)證明設(shè)M(x，y→→，11221122由(1)得，x1＋x41＋k，x1x272＝1＋k2＝1＋k2，所以y＋y＝(kx1＋1)＋(kx＋1)＝k(x＋x)＋2.12212y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1.→→·(x，y－1)1122x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1227＝x1x2＋kx1x2＝(1＋k)·1＋k2＝7，→→所以AM·AN為定值．x2y2319．(13分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：a2＋b2＝1(a>b>0)的離心率為2，且過點(diǎn)1，3，過橢圓C的左頂點(diǎn)A作直線交橢圓C于另一點(diǎn)P，交直線l：x＝m(m>a)于點(diǎn)M，2已知點(diǎn)(1,0)，直線交l于點(diǎn).BPBN求橢圓C的方程；(2)若是線段的垂直平分線，求實(shí)數(shù)的值．MBPNm7322解(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為2，所以a＝4b.又因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)1，3，231422所以a2＋b2＝1，解得a＝4，b＝1.2x 所以橢圓C的方程為 ＋y＝1.(2)方法一設(shè)P(x，y)，－2<x<2，x0≠1，0002x02＝1.0因?yàn)镸B是PN的垂直平分線，所以P關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)為 N(2－x0，－y0)，所以2－x0＝m.由A(－2,0)，P(x0，y0)，y0可得直線AP的方程為y＝x0＋2(x＋2)，令x＝m，得y＝y(tǒng)0m＋2，x0＋2y0m＋2即Mm，x0＋2 .設(shè)直線PB，MB的斜率分別為 kPB，kMB.因?yàn)镻B⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，y0m＋2y0 x0＋2所以kPB·kMB＝x0－1· m－1＝－1，x202＝1，因?yàn)椋珁04x－2m＋20所以4x0－1m－1＝1.203m－10m＋4＝0，又x＝2－m，所以化簡(jiǎn)得解得m＝5±13.35＋13因?yàn)閙>2，所以m＝.3方法二①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨驗(yàn)?時(shí)，不滿足條件．AP②當(dāng)AP的斜率存在且不為0時(shí)，8設(shè)AP的斜率為k，則AP：y＝k(x＋2)，x22聯(lián)立4＋y＝1，消去y，得y＝kx＋2(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，且 ＝(16k2)2－4×(16k2－4)(4k2＋1)>0.設(shè)A(xA,0)，P(xP，yP)，－8k2＋2因?yàn)閤A＝－2，所以xP＝4k2＋1，4k所以yP＝4k2＋1，8k2＋24k所以P4k2＋1，4k2＋1.因?yàn)镻N的中點(diǎn)為B，所以＝2－－8k2＋216k2(*)m4k＋14k＋1因?yàn)锳P交直線l于點(diǎn)M，所以M(m，k(m＋2))，因?yàn)橹本€PB與x軸不垂直，－8k2＋2 2 1所以 4k2＋1≠1，即k≠12.設(shè)直線PB，MB的斜率分別為 kPB，kMB，4k4k2＋1＝－4k－8＋2，PBkk4k2＋1－1＋2kMB＝m－1.因?yàn)镻B⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，4kkm＋2所以122－1·－1＝－1.(*