現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第1頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用

章節(jié)安排第一章概述第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第三章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真第四章離散事件系統(tǒng)仿真第五章面向?qū)ο蟮姆抡娴诹路植际浇换シ抡娴谄哒驴梢暬?、多媒體、虛擬現(xiàn)實(shí)仿真2第2頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3第3頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六取決系統(tǒng)動態(tài)特性的兩大因素：

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型清晰性切題性精確性集合性內(nèi)因外因建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型應(yīng)遵循的原則：4第4頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六輸入系統(tǒng)向量，n+1維2.1.1

常用數(shù)學(xué)模型的表示形式1微分方程形式設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入、輸出量是單變量，分別為u(t),y(t)模型參數(shù)形式為：輸出系統(tǒng)向量，m+1維(2-1)

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5第5頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.1.1

常用數(shù)學(xué)模型的表示形式2傳遞函數(shù)形式在零初始條件下，將(2-1)方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，則有(2-4)模型參數(shù)可表示為傳遞函數(shù)分母系數(shù)向量傳遞函數(shù)分子系數(shù)向量用num=B,den=A分別表示分子，分母參數(shù)向量，則可簡練的表示為(num,den)，稱為傳遞函數(shù)二對組模型參數(shù)

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型6第6頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六3狀態(tài)空間表達(dá)式當(dāng)系統(tǒng)輸入、輸出為多變量時，可用向量分別表示為U(t),Y(t),系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變量為X(t).模型參數(shù)形式為：系統(tǒng)系數(shù)矩陣A，系統(tǒng)輸入矩陣B系統(tǒng)輸出矩陣C，直接傳輸矩陣D簡記為(A,B,C,D)形式。(2-5)2.1.1

常用數(shù)學(xué)模型的表示形式

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型式中X為n維狀態(tài)向量7第7頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六4結(jié)構(gòu)圖表示2.1.1

常用數(shù)學(xué)模型的表示形式

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型k1f1uy+-8第8頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1微分方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2-6)X=

.

X1.

X2.

Xn.

=

AX+Bu=01000010-a0–a1

–a2-an-1X1X2Xn+001uY=

CX+u=[1000]X[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)9第9頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六例2-1設(shè)系統(tǒng)微分方程為：y(3)+6y(2)+11y(1)+6y

=6u,y為輸出量，u為輸入量，求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解：選取狀態(tài)變量x1=y,x2=y(1),x3=y(2)將x1,x2，x3代入原方程，得：X1.

=x2X2.

=x3X3.

=-6x1-11x2-6x3+6uX=

.

X1.

X2.

X3.

=

AX+Bu=010001-6

–11–6X1X2X3+006uY=

CX+u=[100]X1X2X310第10頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解：把微分方程變形為：例2系統(tǒng)的微分方程為

其中y(t)是輸出函數(shù)，u(t)是輸入函數(shù)。求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。引入狀態(tài)變量：則有：11第11頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程（可控標(biāo)準(zhǔn)型）2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2-12)設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：X=

.

01000010-a0–a1

–a2-an-1X1X2Xn+001uY=

CX=[b0b1bn-1]X12第12頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.2設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：y=[-0.51.5010]X+1.5u試寫出可控標(biāo)準(zhǔn)型+000u0100000100-1–104-2X1X2X4X=

.

0001000001X3X50113第13頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六上次課回顧

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1)連續(xù)系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型;外部模型內(nèi)部模型框圖微分方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程(可控標(biāo)準(zhǔn)型）01000010-a0–a1

–a2-an-1A=001B=[b0b1bn-1]C=D=02)連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換;14第14頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六習(xí)題

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1)系統(tǒng)的微分方程為

其中y(t)是輸出函數(shù)，u(t)是輸入函數(shù)。求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。2)設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試寫出可控標(biāo)準(zhǔn)型15第15頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六習(xí)題

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解：把微分方程變形為：引入狀態(tài)變量：例系統(tǒng)的微分方程為

其中y(t)是輸出函數(shù)，u(t)是輸入函數(shù)。求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。C=[10]D=016第16頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六習(xí)題

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試寫出可控標(biāo)準(zhǔn)型解：17第17頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程（可觀標(biāo)準(zhǔn)型）

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型X=

.

000-a0

100–a1

0

01-an-1X1X2Xn+b0b1bn-1uY=

CX=[00

1]X18第18頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.2設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試寫出可觀標(biāo)準(zhǔn)型+-0.51.50u0000-11000-10001-2X1X2X4X=

.

0100000104X3X510y=[00001]X+1.5u19第19頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六例題

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試寫出可觀標(biāo)準(zhǔn)型+110uX1X2X=

.

00-610-1101-6X3y=[001]X解：A=

00-610-1101-6B=

110C=[001]20第20頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程（對角標(biāo)準(zhǔn)型）2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：X=AX+Bu.

Y=

CXB=[11…1]TC=[c1c2…c2]21第21頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.2設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：求其對角標(biāo)準(zhǔn)型+u10020X1X2X=

.

00-3X311122第22頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程（約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：C=[c11c12…c1rcr+1…cn]B=[000…011…1]T第r行

10

1

0

第r行A=23第23頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.2設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：求其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型+u-2100-21X1X2X=

.

00-3X3011y=[-231]X24第24頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六化狀態(tài)方程為傳遞函數(shù)2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：在零初始條件下取拉氏變換：+D其中:adj(sI-A)為sI-A的伴隨矩陣[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,iu)%iu指定是哪個輸入

25第25頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.1.2

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：求傳遞函數(shù)解:特征多項(xiàng)式為:伴隨矩陣為:26第26頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.2.1

常用數(shù)學(xué)模型1差分方程式中：T為采樣周期,輸出變量的初始條件為(2-54)

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.2離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2z函數(shù)對式(2-54)兩邊取z變換,并設(shè)y和u及其各階差分的初始值均為0,可得:3離散狀態(tài)空間表達(dá)式4結(jié)構(gòu)圖表示(2-55)(2-56)27第27頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.2.1

常用數(shù)學(xué)模型

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.2離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4結(jié)構(gòu)圖表示G1(z)G2(z)H(z)G3(z)u(z)y(z)v(z)+-28第28頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1線性狀態(tài)方程的離散化2.2.2

連續(xù)系統(tǒng)的離散化設(shè)線性狀態(tài)方程為：

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.2離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2-57),其解析解為:給定采樣間隔T，對kT和(k+1)T兩個采樣點(diǎn)的狀態(tài)變量值為：用eAT左乘（2-58）,與（2-59）相減，有：對（2-60）積分項(xiàng)進(jìn)行積分替換，=kT+t有：(2-58)(2-59)(2-60)(2-61)29第29頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六上次課回顧

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程01000010-a0–a1

–a2-an-1A=001B=[b0b1bn-1]C=D=01)連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換;可觀標(biāo)準(zhǔn)型可控標(biāo)準(zhǔn)型A=

000-a0

100–a1

0

01-an-1B=b0b1bn-1C=[00

1]D=030第30頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六上次課回顧

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程對角標(biāo)準(zhǔn)型B=[11…1]TC=[c1c2…c2]31第31頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六上次課回顧

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型C=[c11c12…c1rcr+1…cn]B=[000…011…1]T第r行

10

1

0

第r行A=32第32頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六上次課回顧

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)+D其中:adj(sI-A)為sI-A的伴隨矩陣,求伴隨矩陣方法有:設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：主對角元素：原矩陣該元素所在行列去掉，求行列式；非主對角元素：原矩陣該元素共扼位置的元素所在行列去掉求行列式乘以（-1）x+y,x,y為共扼位置的行和列的序號。33第33頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1差分方程

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.2離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2z函數(shù)3離散狀態(tài)空間表達(dá)式4結(jié)構(gòu)圖表示上次課回顧離散時間系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型34第34頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1線性狀態(tài)方程的離散化2.2.2

連續(xù)系統(tǒng)的離散化設(shè)線性狀態(tài)方程為：

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.2離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2-57),其解析解為:給定采樣間隔T，對kT和(k+1)T兩個采樣點(diǎn)的狀態(tài)變量值為：用eAT左乘（2-58）,與（2-59）相減，有：對（2-60）積分項(xiàng)進(jìn)行積分替換，=kT+t有：(2-58)(2-59)(2-60)(2-61)35第35頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1線性狀態(tài)方程的離散化2.2.2

連續(xù)系統(tǒng)的離散化若u(t)未知，采用近似方法對在kT和(k+1)T兩個采樣時刻之間的輸入量u(kT+t)進(jìn)行處理：

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.2離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1)令u(kT+t)≌u(kT),代入（2-61）：(2-62)(2-64)2)通過kT和(k+1)T兩個時刻點(diǎn)做直線逼近有：36第36頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2傳遞函數(shù)的離散化2.2.2

連續(xù)系統(tǒng)的離散化

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.2離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1)加入采樣器和信號保持器：對系統(tǒng)的輸入進(jìn)行采樣，得到離散的輸入量；然后用信號保持器將其恢復(fù)為連續(xù)信號；作用到G(S)后的輸出再做同樣的采樣，得到離散的輸出量。2)替換法：通過求出s與z的替換公式，將G(ｓ)轉(zhuǎn)換為G(z),歐拉法和圖斯汀法3)根匹配法：利用s與z的轉(zhuǎn)換關(guān)系z=exp(sT)，得到z平面的零、極點(diǎn)位置，得到G(z)37第37頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2傳遞函數(shù)的離散化2.2.2

連續(xù)系統(tǒng)的離散化

現(xiàn)代仿真技術(shù)與應(yīng)用2.2離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1)加入采樣器和信號保持器：(2-65)y(kT)y(t)信號保持器Gh(s)G(s)u(t)u(kT)G(z)保持器的傳遞函數(shù)Gh(s)脈沖傳遞函數(shù)G(z)零階：一階：三角形：38第38頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六傳遞