曲線運(yùn)動的典型問題知識點一小船渡河問題1.三個速度:(1)分速度v水:水流的速度;(2)分速度v船:船在靜水中的速度;(3)合速度v:表示船的實際航行的速度.2.兩類問題三種情景:渡河時間最短

當(dāng)船頭方向垂直于河岸時,渡河時間最短,最短時間tmin=渡河位移最短

如果v船>v水,當(dāng)船頭方向與上游夾角θ滿足v船cosθ=v水時,合速度垂直于河岸,渡河位移最短,等于河寬d

如果v船<v水,當(dāng)船頭方向(即v船方向)與合速度方向垂直時,渡河位移最短,等于

【問題探究】若人在河中始終保持頭朝正前方游向?qū)Π?你認(rèn)為他會到達(dá)正對岸,還是會偏向上游或下游?提示:不會到達(dá)正對岸,會偏向下游.【典例示范】【典例】一小船渡河,河寬d=180m,水流速度v1=2.5m/s,船在靜水中的速度為v2=5m/s,則:(1)欲使船在最短的時間內(nèi)渡河,船頭應(yīng)朝什么方向?用多長時間?位移是多大?(2)欲使船渡河的航程最短,船頭應(yīng)朝什么方向?用多長時間?位移是多大?(3)如果其他條件不變,水流速度變?yōu)?m/s.船過河的最短時間和最小位移是多大?【解題探究】(1)小船渡河時同時參與了幾個分運(yùn)動?如何渡河時間最短?提示:參與了兩個分運(yùn)動,一個是船相對水的運(yùn)動(即船在靜水中的運(yùn)動),一個是船隨水漂流的運(yùn)動(即水的運(yùn)動).當(dāng)v船垂直于河岸時到達(dá)對岸用時最短,最短時間與v水無關(guān).(2)當(dāng)v水<v船和v水>v船時,分別怎樣渡河位移最小?提示:當(dāng)v水<v船時,合運(yùn)動垂直于河岸時航程最短,最小位移為xmin=d.當(dāng)v水>v船時,v水v船d短航程,當(dāng)v船與v合垂直時,航程最短,最小位移為xmin=d.【解析】(1)欲使船在最短時間內(nèi)渡河,船頭應(yīng)朝垂直河岸方向.當(dāng)船頭垂直河岸時,如圖甲所示.時間t==36s,v合=m/s,位移為x=v合t=90m.(2)欲使船渡河航程最短,應(yīng)使合運(yùn)動的速度方向垂直河岸,船頭應(yīng)朝上游與河岸成某一夾角β,如圖乙所示,有v2cosβ=v1,得β=60°.最小位移為xmin=d=180m,所用時間(3)最短渡河時間只與v2有關(guān),與v1無關(guān),當(dāng)船頭垂直于河岸渡河時時間最短,t==36s.當(dāng)水流速度變?yōu)?m/s時,即v1'>v2,則合速度不可能垂直于河岸,無法垂直渡河.如圖丙所示,以v1'矢量的末端為圓心、以矢量v2的大小為半徑畫弧,從v1'矢量的始端向圓弧作切線,則合速度沿此切線方向時航程最短,設(shè)船頭與上游河岸夾角為α,則cosα=,最小位移為xmin'==216m.答案:(1)船頭垂直于河岸36s

90m(2)船頭偏向上游,與河岸夾角為60°

24s

180m(3)36s

216m【題后反思】小船渡河問題的分析思路【素養(yǎng)訓(xùn)練】1.(多選)下列圖中實線為河岸,河水的流動方向如圖中v的箭頭所示,虛線為小船從河岸M駛向?qū)Π禢的實際航線.則其中可能正確的是 (

)【解析】選A、B.小船渡河的運(yùn)動可看作水流的運(yùn)動和小船運(yùn)動的合運(yùn)動.虛線為小船從河岸M駛向?qū)Π禢的實際航線,即合速度的方向,小船合運(yùn)動的速度方向就是其實際運(yùn)動的方向,分析可知,實際航線可能正確的是A、B.2.小船在水速較小的河中橫渡,并使船頭始終垂直河岸航行,到達(dá)河中間時突然上游來水使水流速度加快,則對此小船渡河的說法正確的是 (

)A.小船要用更長的時間才能到達(dá)對岸B.小船到達(dá)對岸的時間不變,但位移將變大C.因小船船頭始終垂直河岸航行,故所用時間及位移都不會變化D.因船速與水速關(guān)系未知,故無法確定渡河時間及位移的變化【解析】選B.因為小船船頭垂直于河岸,則渡河時間t=,水流速增大,渡河時間不變,沿河岸方向的位移增大,則最終渡河的位移變大,故B正確,A、D錯誤;因小船船頭始終垂直河岸航行,渡河時間不會隨著水流速度增大而變化,故C錯誤.知識點二關(guān)聯(lián)速度問題1.關(guān)聯(lián)速度問題特點:(1)繩(桿)物關(guān)聯(lián)問題:兩物體通過繩(桿)相牽連,當(dāng)兩物體都發(fā)生運(yùn)動時,兩物體的速度往往不相等,但因繩(桿)的長度是不變的,因此兩物體的速度沿繩(桿)方向的分速度大小是相等的.(2)桿點(面)關(guān)聯(lián)問題:桿的一端和一個物體的某點(面)接觸,兩物體通過繩(桿)相牽連,當(dāng)兩物體都發(fā)生運(yùn)動時,兩物體的速度往往不相等,但因二者始終接觸,因此兩物體的速度沿垂直接觸面方向的分速度大小是相等的.2.常見模型:【問題探究】汽車在水平地面上向左勻速運(yùn)動,利用繞過定滑輪的繩子吊起某物體豎直上升.(1)物體豎直向上做的是勻速直線運(yùn)動嗎?提示:物體的速度v2=v1cosθ,因為θ減小,所以物體的速度增大,物體做加速運(yùn)動.(2)物體所受的拉力和重力大小的關(guān)系?提示:由于物體做加速運(yùn)動,所以拉力大于重力.【典例示范】【典例】質(zhì)量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上,輕細(xì)繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車,P與滑輪間的細(xì)繩平行于斜面,小車以速率v水平向右做勻速直線運(yùn)動.如圖,當(dāng)小車與滑輪間的細(xì)繩和水平方向成夾角θ2時,下列判斷正確的是 (

)A.P的速率為v

B.P的速率為vcosθ2C.繩的拉力等于mgsinθ1 D.繩的拉力小于mgsinθ1【解析】選B.將小車的速度v進(jìn)行分解如圖所示,則有:vP=vcosθ2,故A錯誤,B正確;小車向右運(yùn)動,θ2減小,v不變,則vP逐漸增大,說明物體P沿斜面向上做加速運(yùn)動,由牛頓第二定律有:T-mgsinθ1=ma,可知繩對A的拉力為:T>mgsinθ1,故C、D錯誤.【題后反思】分析“關(guān)聯(lián)”速度的基本步驟【素養(yǎng)訓(xùn)練】1.在水平地面上做勻速直線運(yùn)動的小車,通過定滑輪用繩子吊起一個物體,若小車和被吊的物體在同一時刻速度分別為v1和v2,繩子對物體的拉力為FT,物體所受重力為G,則下面說法正確的是 (

)A.物體做勻速運(yùn)動,且v1=v2B.物體做加速運(yùn)動,且v2<v1C.物體做加速運(yùn)動,且FT=GD.物體做勻速運(yùn)動,且FT=G【解析】選B.小車的運(yùn)動可分解為沿繩子方向和垂直繩子的方向兩個運(yùn)動,設(shè)兩段繩子的夾角為θ,由幾何知識可得v2=v1sinθ,所以v2<v1,小車向左運(yùn)動,θ逐漸增大,故v2逐漸增大,物體有向上的加速度,故選項A錯誤,B正確;物體有向上的加速度,處于超重狀態(tài),所以FT>G,故選項C、D錯誤.2.如圖,A、B兩物體系在跨過光滑定滑輪的一根輕繩的兩端,若A物體以速度v沿水平地面向左運(yùn)動,某時刻系A(chǔ)、B的繩分別與水平方向成α、β角,求此時B物體的速度.【解析】A、B兩物體速度分解圖如圖所示,由于兩物體沿繩的速度分量相等,所以有v1=即vcosα=vBcosβ,解得vB=v,方向水平向右.答案:v,方向水平向右1.一摩托艇要到正對岸搶救物資,關(guān)于該摩托艇能否到達(dá)正對岸的說法中正確的是 (

)A.只要摩托艇向正對岸行駛就能到達(dá)正對岸B.由于水流有較大的速度,摩托艇不能到達(dá)正對岸C.雖然水流有較大的速度,但只要摩托艇向上游某一方向行駛,一定能到達(dá)正對岸D.有可能不論摩托艇怎么行駛,都不能到達(dá)正對岸【解析】選D.若摩托艇在靜水中的速度大于水流的速度,只要方向朝水流的上游,找一個合適的角度使摩托艇沿河岸的速度等于水流的速度,就能到達(dá)正對岸,若摩托艇在靜水中的速度小于水流的速度,無論朝哪個方向開,都不會到達(dá)正對岸,只能到達(dá)對岸的下游某個地方,故選項D正確,A、B、C錯誤.2.(多選)某河寬為600m,河中某點的水流速度v與該點到較近河岸的距離d的關(guān)系圖像如圖所示,現(xiàn)船以靜水中的速度4m/s渡河,且船渡河的時間最短,下列說法正確的是 (

)A.船在河水中航行的軌跡是一條直線B.船在行駛過程中,船頭始終與河岸垂直C.船離開河岸400m時的速度大小為2m/sD.渡河最短時間為240s【解析】選B、C.因為靜水速不變,水流速在變化,知沿河岸方向上有加速度,合速度的方向與加速度的方向不在同一條直線上,知軌跡是曲線,故選項A錯誤;當(dāng)靜水速與河岸垂直時,渡河時間最短,t=s=150s,故選項B正確,D錯誤;船離開河岸400m時,離河岸較近的距離為200m,此時水流速度為2m/s.根據(jù)平行四邊形定則v=m/s=2m/s,故選項C正確.3.光滑半球A放在豎直面光滑的墻角,并用手推著保持靜止.現(xiàn)在A與墻壁之間放入光滑球B,放手讓A和B由靜止開始運(yùn)動,當(dāng)A、B運(yùn)動到圖示位置時,二者球心的連線與水平面成θ角,速度大小分別為vA和vB,則以下關(guān)系正確的是(

)A.vA=vB

B.vA=vBsinθC.vA=vBcosθ D.vA=vBtanθ【解析】選D.將A、B兩球的速度沿兩球心的連線和垂直兩球心連線分解,如圖,由關(guān)聯(lián)速度的關(guān)系可得:vAsinθ=vBcosθ,解得:vA=vBtanθ,故D正確.4.一艘小艇從河岸A處出發(fā)渡河,小艇保持與河岸垂直方向行駛,經(jīng)過10min到達(dá)正對岸下游120m的C處,如圖所示,如果小艇保持原來的速度逆水斜向上游與河岸成α角方向