有限元基本原理與概念第1頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

第六章用有限元法解平面問題例題第十一節(jié)應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程

第十節(jié)計(jì)算實(shí)例

第九節(jié)計(jì)算成果的整理

第八節(jié)解題的具體步驟單元的劃分第七節(jié)結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點(diǎn)平衡方程組習(xí)題的提示與答案教學(xué)參考資料第2頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

第六章用有限單元法解平面問題1.有限元法（FiniteElementMethod）

FEM2.FEM的特點(diǎn)

概述（1）具有通用性和靈活性。

首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用分片插值技術(shù)與虛功原理或變分方法進(jìn)行求解。簡稱FEM，是彈性力學(xué)的一種近似解法。第3頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

簡史3.FEM簡史

（2）對(duì)同一類問題，可以編制出通用程序，應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。（3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度。1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。FEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。第4頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

簡史有限單元法的形成與發(fā)展

在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩個(gè)不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，來源于固體力學(xué)中矩陣結(jié)構(gòu)法的發(fā)展和工程師對(duì)結(jié)構(gòu)相似性的直覺判斷。從固體力學(xué)的角度來看，桁架結(jié)構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為地分割成有限個(gè)分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上存在相似性。1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在紐約舉行的航空學(xué)會(huì)年會(huì)上介紹了一種新的計(jì)算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問題。他們把結(jié)構(gòu)劃分成一個(gè)個(gè)三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元?jiǎng)偠染仃嚒?954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文。1960年，Clough在他的名為“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的論文中首次提出了有限元（finiteelement）這一術(shù)語。第5頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

簡史數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。在1963年前后，經(jīng)過J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認(rèn)識(shí)到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場(chǎng)問題，都可以用與固體力學(xué)有限元法的相同步驟求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題。第6頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

導(dǎo)出方法我國的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻(xiàn)，其中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受到阻礙。有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問題的工程問題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。第7頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

簡史算法與有限元軟件從二十世紀(jì)60年代中期以來，大量的理論研究不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?。理論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究，主要有：大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動(dòng)力問題計(jì)算方法。目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表所列：軟件名稱簡介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動(dòng)力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件另外還有許多針對(duì)某類問題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。第8頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

簡史有限元應(yīng)用實(shí)例有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域：固體力學(xué)，包括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、震動(dòng)和瞬態(tài)問題的分析；傳熱學(xué)；電磁場(chǎng)；流體力學(xué)。轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（用MSC/Nastran完成）第9頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

導(dǎo)出方法有限元應(yīng)用實(shí)例金屬成形過程的分析（用Deform軟件完成）分析金屬成形過程中的各種缺陷。型材擠壓成形的分析。型材在擠壓成形的初期，容易產(chǎn)生形狀扭曲。螺旋齒輪成形過程的分析第10頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

導(dǎo)出方法有限元應(yīng)用實(shí)例結(jié)構(gòu)與焊縫布置焊接殘余應(yīng)力分析（用Sysweld完成）焊接過程的溫度分布與軸向殘余應(yīng)力第11頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

導(dǎo)出方法有限元應(yīng)用實(shí)例淬火3.06min時(shí)的馬氏體分布淬火3.06min時(shí)的溫度分布第12頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

§6-1基本量和基本方程的

矩陣表示

本章無特別指明，均表示為平面應(yīng)力問題的公式。

采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。第13頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

基本物理量：

體力:基本物理量位移函數(shù):應(yīng)變:應(yīng)力:結(jié)點(diǎn)位移列陣:結(jié)點(diǎn)力列陣:面力:第14頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

物理方程:

FEM中應(yīng)用的方程：

幾何方程:應(yīng)用的方程其中D為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問題是:第15頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

--結(jié)點(diǎn)虛位移;--對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變。應(yīng)用的方程ij虛功方程:其中:在FEM中，用結(jié)點(diǎn)的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。第16頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

3.整體分析。

§6-2有限單元法的概念

FEM的概念，可以簡述為：采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實(shí)際具有無限自由度的考察體，是一種在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算方法。

其理論基礎(chǔ)是分片插值技術(shù)與變分原理。FEM的概念1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；

2.單元分析；

FEM的分析過程：第17頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對(duì)象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系（圖（a））。彈力研究的對(duì)象，是連續(xù)體（圖（b）)。結(jié)構(gòu)離散化1.

結(jié)構(gòu)離散化－－將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)第18頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（圖（c））：即將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂‘離散化結(jié)構(gòu)’。結(jié)構(gòu)離散化第19頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

圖（c）與圖(a）相比，兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（c）的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。結(jié)構(gòu)離散化例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點(diǎn)用鉸連接起來。第20頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

2.單元分析求解方法

每個(gè)三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。

取各結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。然后對(duì)每個(gè)單元,分別求出各物理量,并均用來表示。

第21頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

（1）應(yīng)用插值公式,由單元結(jié)點(diǎn)位移，求單元的位移函數(shù)求解方法這個(gè)插值公式稱為單元的位移模式，為：

單元分析的主要內(nèi)容：

第22頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

（4）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力，求出單元的結(jié)點(diǎn)力，表示為（3）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變，求出單元的應(yīng)力，表示為

（2）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d，求出單元的應(yīng)變，表示為求解方法第23頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

－－單元對(duì)結(jié)點(diǎn)的作用力，與數(shù)值相同,方向相反，作用于結(jié)點(diǎn)。

--結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力，作用于單元，稱為結(jié)點(diǎn)力，以正標(biāo)向?yàn)檎?。求解方法?4頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

（5）將每一單元中的各種外荷載，按虛功等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上，化為結(jié)點(diǎn)荷載，表示為

求解方法第25頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

為已知值,是用結(jié)點(diǎn)位移表示的值。通過求解聯(lián)立方程，得出各結(jié)點(diǎn)位移值，從而求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。

各單位移置到i結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)荷載其中表示對(duì)圍繞i結(jié)點(diǎn)的單元求和；求解方法3.整體分析各單元對(duì)i結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力作用于結(jié)點(diǎn)i上的力有：第26頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

求解方法

3.整體分析

2.對(duì)單元進(jìn)行分析

1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)

歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要步驟：

（1）單元的位移模式（2）單元的應(yīng)變列陣（4）單元的結(jié)點(diǎn)力列陣（5）單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組，求解各結(jié)點(diǎn)的位移。（3）單元的應(yīng)力列陣第27頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

思考題

1.桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形塊體，在三角形內(nèi)仍是作為連續(xù)體來分析的。前者可用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解，后者只能用彈性力學(xué)方法求解，為什么？2.在平面問題中，是否也可以考慮其它的單元形狀，如四邊形單元？第28頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

應(yīng)用插值公式，可由求出位移。

首先必須解決：由單元的結(jié)點(diǎn)位移來求出單元的位移函數(shù)

FEM是取結(jié)點(diǎn)位移為基本未知數(shù)的。問題是如何求應(yīng)變、應(yīng)力。

這個(gè)插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為位移模式?！?-3單元的位移模式與

解答的收斂性

位移模式第29頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

插值公式（a）在結(jié)點(diǎn)應(yīng)等于結(jié)點(diǎn)位移值。由此可求出

泰勒級(jí)數(shù)展開式中，低次冪項(xiàng)是最重要的。所以三角形單元的位移模式，可取為：

三角形單元（a）第30頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

將式（a）按未知數(shù)歸納為:

其中包含三角形單元或用矩陣表示為:（b）第31頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

N－－

稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。三角形單元（c）第32頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

A為三角形的面積（圖示坐標(biāo)系中，按逆時(shí)針編號(hào)），有：其中:三角形單元第33頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式，略去了2次以上的項(xiàng)，因而其誤差量級(jí)是且其中只包含了的1次項(xiàng)，所以在單元中的分布如圖（a）所示，的分布如圖（b）、（c）所示。三角形單元(a)(b)(c)1第34頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

所以當(dāng)單元趨于很小時(shí)，即時(shí)，為了使FEM之解逼近于真解。則為了保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件：

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。

收斂性條件第35頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

因?yàn)楫?dāng)單元時(shí)，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量－－剛體位移和常量位移。（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。

收斂性條件（2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。第36頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

收斂性條件可見剛體位移項(xiàng)在式（a）中均已反映。與剛體位移相比，將式（a）寫成第37頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

（3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。即應(yīng)盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)性。在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界ij上，之間均為線性變化，也為連續(xù)。對(duì)式（a）求應(yīng)變，得：收斂性條件可見常量應(yīng)變也已反映。第38頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

（1）和（2）是必要條件，而加上（3）就為充分條件。收斂性條件為了保證FEM的收斂性：第39頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

§6-4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣位移函數(shù)其中，單元中的位移函數(shù)用位移模式表示為

第40頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：

應(yīng)變第41頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

應(yīng)變S——稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，寫成分塊形式為再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：B——稱為應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示，

第42頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

對(duì)于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為常應(yīng)變（應(yīng)力）單元。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級(jí)是其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。應(yīng)力第43頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

§6-5單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣

現(xiàn)在來考慮其中一個(gè)單元：模型

在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。第44頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系，只在結(jié)點(diǎn)互相聯(lián)系。（1）將作用于單元上的各種外荷載，按靜力等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上去，化為等效結(jié)點(diǎn)荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。第45頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

假想將單元與結(jié)點(diǎn)i切開，則：

其數(shù)值與相同，而方向相反。結(jié)點(diǎn)力以沿正坐標(biāo)向?yàn)檎?duì)單元而言，這是作用于單元上的“外力”。

結(jié)點(diǎn)作用于單元上的力，稱為結(jié)點(diǎn)力，單元作用于結(jié)點(diǎn)的力，為：第46頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于應(yīng)力的虛功。結(jié)點(diǎn)力而其內(nèi)部有應(yīng)力作用，

考察已與結(jié)點(diǎn)切開后的單元，則此單元上作用有外力－－結(jié)點(diǎn)力，應(yīng)用虛功方程，求單元的結(jié)點(diǎn)力：第47頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移則單元內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）的虛位移為單元內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）的虛應(yīng)變?yōu)榇胩摴Ψ匠蹋涸趩卧?，外力（結(jié)點(diǎn)力）在虛位移（結(jié)點(diǎn)虛位移）上的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功，即：虛功方程第48頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

其中與無關(guān)，故式(a)成為式(b)是由應(yīng)力求結(jié)點(diǎn)力的一般公式。

因?yàn)槭仟?dú)立的任意的虛位移，虛功方程對(duì)任意的均應(yīng)滿足，可得出代入

(b)第49頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

式（c）是由結(jié)點(diǎn)位移求結(jié)點(diǎn)力的一般公式，－－稱為單元的勁度矩陣K其中：

再將應(yīng)力公式代入上式，得單元?jiǎng)哦染仃嚕╟）（d）第50頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

對(duì)于三角形單元，B矩陣內(nèi)均為常數(shù)，有

代入B，D，得出k如書中（6-37）及（6-38）所示。第51頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

（1）是6×6的方陣，中每一個(gè)元素都表示單元各結(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)所引起的結(jié)點(diǎn)力。（2）由反力互等定理，所以是對(duì)稱矩陣，以對(duì)角線為對(duì)稱軸。單元?jiǎng)哦染仃噆的性質(zhì)：（3）當(dāng)單元作剛體平移時(shí)，如三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點(diǎn)力也為0。第52頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

（4）由（3）可導(dǎo)出行列式。（5）的元素與單元的形狀和方位等有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動(dòng)以及作度轉(zhuǎn)動(dòng)無關(guān)。即有：中每一行（或列）的元素之和為零（其中第1、3、5元素之和或2、4、6元素之和也為0）。第53頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

例題：圖示等腰三角形單元，求其形態(tài)矩陣[N]。第54頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)1、求[B]2、求[D]3、求[S]4、求

第55頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向結(jié)點(diǎn)移置(分解)，而成為結(jié)點(diǎn)載荷。如果彈性體受承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，就不存在移置的問題，集中力就是結(jié)點(diǎn)載荷。但實(shí)際問題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在結(jié)點(diǎn)上。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中力的作用點(diǎn)未被取為結(jié)點(diǎn)，該集中力也要向結(jié)點(diǎn)移置。將載荷移置到結(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與結(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則?！?－6荷載向結(jié)點(diǎn)移置

單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣第56頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

在FEM中，須將作用于單元中的外荷載向結(jié)點(diǎn)移置，化為等效結(jié)點(diǎn)荷載，第57頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

（2）變形體靜力等效原則－－在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。

1、等效原則（1）剛體靜力等效原則－－使原荷載與移置荷載的主矢量以及對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同。

移置原則剛體靜力等效原則只從運(yùn)動(dòng)效應(yīng)來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng)，在一定的位移模式下，其結(jié)果是唯一的，且也滿足了前者條件的。所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。第58頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6單元載荷移置集中荷載等效節(jié)點(diǎn)力假設(shè)各節(jié)點(diǎn)發(fā)生了虛位移：第59頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六按照靜力等效原則，節(jié)點(diǎn)荷載在節(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功等于原荷載集中力在其作用點(diǎn)的虛位移上的虛功。分布體力的節(jié)點(diǎn)荷載移置第60頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六分布面力的節(jié)點(diǎn)荷載移置第61頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

3、單元邊界上面力的移置公式

應(yīng)用式，將代之為并在邊界上積分，得:對(duì)于任意的虛位移，虛功方程都必須滿足，得：

面力第62頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

應(yīng)用式，將代之為并對(duì)單元域A積分，得

4、單元內(nèi)體力的移置公式

體力

當(dāng)位移模式為線性函數(shù)時(shí)，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結(jié)點(diǎn)荷載相同。第63頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6單元載荷移置

例：總載荷的2/3移置到結(jié)點(diǎn)i，1/3移置到結(jié)點(diǎn)j，與原載荷同向第64頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7整體分析

將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。整體分析分4個(gè)步驟1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、解方程組，求出結(jié)點(diǎn)位移；(消去法與疊加法)4、根據(jù)結(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。第65頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7整體分析1、建立整體剛度矩陣(也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣)上圖中的結(jié)構(gòu)有六個(gè)結(jié)點(diǎn)，共有12個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量和12個(gè)結(jié)點(diǎn)力分量。由結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：分塊形式為：其中子向量和都是二階向量，子矩陣是二行二列矩陣。整體剛度矩陣[K]是12*12階矩陣。第66頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7整體剛度矩陣的形式

整體剛度矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚨募伞?、剛度集成法的物理概念：剛度矩陣中的元素是剛度系數(shù)，即由單位結(jié)點(diǎn)位移引起的結(jié)點(diǎn)力。由2-8節(jié)的例題可見，與結(jié)點(diǎn)2和3相關(guān)的單元有單元①和③，當(dāng)結(jié)點(diǎn)3發(fā)生單位位移時(shí)，相關(guān)單元①和③同時(shí)在結(jié)點(diǎn)2引起結(jié)點(diǎn)力，將相關(guān)單元在結(jié)點(diǎn)2的結(jié)點(diǎn)力相加，就得出結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)2的結(jié)點(diǎn)力。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相關(guān)單元的對(duì)應(yīng)子塊的集成。第67頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7整體剛度矩陣的形式

2、剛度矩陣的集成規(guī)則：先對(duì)每個(gè)單元求出單元?jiǎng)偠染仃嚕缓髮⑵渲械拿總€(gè)子塊送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)位置上去，進(jìn)行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]的子塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]。關(guān)鍵是如何找出中的子塊在[K]中的對(duì)應(yīng)位置。這需要了解單元中的結(jié)點(diǎn)編碼與結(jié)構(gòu)中的結(jié)點(diǎn)編碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第68頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7整體剛度矩陣的形式2、剛度矩陣的集成規(guī)則：結(jié)構(gòu)中的結(jié)點(diǎn)編碼稱為結(jié)點(diǎn)的總碼，各個(gè)單元的三個(gè)結(jié)點(diǎn)又按逆時(shí)針方向編為i,j,m,稱為結(jié)點(diǎn)的局部碼。單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K是按結(jié)點(diǎn)的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是按結(jié)點(diǎn)的總碼排列的。因此，在單元?jiǎng)偠染仃囍校呀Y(jié)點(diǎn)的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列。第69頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六7整體剛度矩陣的形式以單元②為例，局部碼i,j,m對(duì)應(yīng)于總碼5,2,4，因此中的子塊按照總碼重新排列后，得出擴(kuò)大矩陣為：第70頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六整體剛度矩陣的形式用同樣的方法可得出其他單元的擴(kuò)大矩陣將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加，即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]：集成規(guī)則包含搬家和迭加兩個(gè)環(huán)節(jié)：1、將單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K搬家，得出單元的擴(kuò)大剛度矩陣。2、將各單元的擴(kuò)大剛度矩陣迭加，得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]。(例題略)第71頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7支承條件的處理整體剛度矩陣[K]求出后，結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力{F}可表示為在無支桿的結(jié)點(diǎn)處，結(jié)點(diǎn)力就等于已知的結(jié)點(diǎn)載荷。在有支桿的結(jié)點(diǎn)處，則求結(jié)點(diǎn)力時(shí)，還應(yīng)把未知的支桿反力考慮在內(nèi)。如果用{P}表示結(jié)點(diǎn)載荷和支桿反力組成的向量，則結(jié)點(diǎn)的平衡方程為根據(jù)支承條件對(duì)平衡方程加以處理。先考慮結(jié)點(diǎn)n有水平支桿的情況。與結(jié)點(diǎn)n水平方向?qū)?yīng)的平衡方程是第2n-1個(gè)方程，根據(jù)支承情況，上式應(yīng)換成，即在[K]中，第2n-1行的對(duì)角線元素應(yīng)改為1，該行全部非對(duì)角線元素應(yīng)改為0。在{P}中，第2n-1個(gè)元素應(yīng)改為0。此外，為了保持矩陣[K]的對(duì)稱性，則第2n-1列全部非對(duì)角線元素也改為0。第72頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7支承條件的處理同理，如果結(jié)點(diǎn)n有豎向支桿，則平衡方程的第2n個(gè)方程應(yīng)改為，為此，在矩陣[K]中，第2n行的對(duì)角線元素改為1，該行全部非對(duì)角線元素改為0，同時(shí)，第2n列全部非對(duì)角線元素也改為0。在{P}中，第2n個(gè)元素改為0。第73頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7支承條件的處理2-8節(jié)中的結(jié)構(gòu)，結(jié)點(diǎn)1有水平支桿，結(jié)點(diǎn)2有兩個(gè)支桿，結(jié)點(diǎn)3有豎向支桿。對(duì)支承條件處理后，矩陣修改為：第74頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7整體剛度矩陣的特點(diǎn)在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時(shí)常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。1、對(duì)稱性。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。2、稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。第75頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7整體剛度矩陣的特點(diǎn)2、稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。結(jié)點(diǎn)5只與周圍的六個(gè)結(jié)點(diǎn)(2、3、4、6、8、9)用三角形單元相連，它們是5的相關(guān)結(jié)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個(gè)相關(guān)結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移時(shí)，才使該結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)力，其余結(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)并不在該結(jié)點(diǎn)處引起結(jié)點(diǎn)力。因此，在矩陣[K]中，第5行的非零子塊只有七個(gè)(即與相關(guān)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的七個(gè)子塊)。第76頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7整體剛度矩陣的特點(diǎn)2、稀疏性。

一般，一個(gè)結(jié)點(diǎn)的相關(guān)結(jié)點(diǎn)不會(huì)超過九個(gè)，如果網(wǎng)格中有200個(gè)結(jié)點(diǎn)，則一行中非零子塊的個(gè)數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于9/200，即在5%以下，如果網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。利用矩陣[K]的稀疏性，可設(shè)法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量。第77頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六6-7整體剛度矩陣的特點(diǎn)3、帶形分布規(guī)律。上圖中，矩陣[K]的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個(gè)帶形區(qū)域中(包括對(duì)角線元素在內(nèi))，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬，用d表示。半帶寬的一般計(jì)算公式是：半帶寬d=(相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值+1)*2上圖中相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值為4，故d=(4+1)*2=10利用帶形矩陣的特點(diǎn)并利用對(duì)稱性，可只存貯上半帶的元素，叫半帶存貯。

第78頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

有限單元法的具體計(jì)算步驟：

§6－8解題的具體步驟

單元的劃分1、劃分單元網(wǎng)格，對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)。

2、選定直角坐標(biāo)系，按程序要求填寫和輸入有關(guān)信息。單元內(nèi)的ijm的局部編號(hào)應(yīng)按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號(hào)。否則會(huì)使三角形的面積出現(xiàn)負(fù)號(hào)等問題。第79頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

3、使用已編好的程序進(jìn)行上機(jī)計(jì)算。事先須將有限單元法的公式，計(jì)算方法和步驟都編入程序。4、對(duì)成果進(jìn)行整理、分析。

對(duì)第1和第4步的工作，也盡可能讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行，以減少人工的工作量。如自動(dòng)劃分網(wǎng)格，整理成果等。第80頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

關(guān)于單元的劃分，注意幾點(diǎn)：（8）結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞等應(yīng)力集中處等。（1）單元大小問題；（2）單元在不同部位的合理布置問題；（3）三角形三個(gè)內(nèi)角最好較接近；（4）利用對(duì)稱性和反對(duì)稱性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問題；第81頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

在有限單元法中，位移的精度較高，其誤差量級(jí)是，即與單元尺度的二次冪成正比。應(yīng)力的誤差量級(jí)是，即與單元的大小成正比。

§6－9計(jì)算成果的整理第82頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

三結(jié)點(diǎn)三角形單元的應(yīng)力的成果，不但應(yīng)力的精度較低，而且還產(chǎn)生了所謂應(yīng)力的波動(dòng)性。對(duì)于結(jié)點(diǎn)位移的成果，可以直接采用。第83頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六第六章用有限單元法解平面問題

應(yīng)力的波動(dòng)性在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中較為顯著。由于計(jì)算出的應(yīng)力的精度較