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文檔簡介

線代課件正定二次型第1頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六一、慣性定理一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩．下面我們限定所用的變換為實(shí)變換，來研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)．第2頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六第3頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六為正定二次型為負(fù)定二次型二、正定二次型的概念例如第4頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六證明充分性故三、正(負(fù))定二次型的判別第5頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六必要性故推論對(duì)稱矩陣

A

為正定的充要條件是：

A

的特征值全為正．第6頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六定理11(霍爾維茨定理)對(duì)稱矩陣

A為正定的充分必要條件是：

A

的各階主子式為正，即對(duì)稱矩陣

A為負(fù)定的充要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即第7頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)第8頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六例1判別二次型是否正定.解它的順序主子式故f是正定二次型.第9頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六例2判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，第10頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六例3判別二次型的正定性.解第11頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六例4解第12頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六為半正定二次型為不定二次型例如第13頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六2.正定二次型（正定矩陣）的判別方法：(1)定義法；(2)順次主子式判別法；(3)特征值判別法.四、小結(jié)1.正定二次型的概念，正定二次型與正定矩陣的區(qū)別與聯(lián)系．3.根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到負(fù)定二次型（負(fù)定矩陣）相應(yīng)的判別方法，請(qǐng)大家自己推導(dǎo)．第14頁，共16頁，2023年，2月20日，星期六思考題第15頁

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