矢量分析黑白底第1頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六本章內(nèi)容21.1矢量代數(shù)1.2

標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度1.3

矢量場的通量與散度，散度定理1.4

矢量場的環(huán)流和旋度，斯托克斯定理1.5亥姆霍茲定理1.6

常用正交曲線坐標(biāo)系第2頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六1.1矢量代數(shù)1.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示，本書中在符號上加短橫線

矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示

矢量的幾何表示則直角坐標(biāo)系中x,y,z方向的單位矢量分別為：或第3頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六4矢量用坐標(biāo)分量表示或第4頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六5（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法

在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律第5頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六6（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角它就是一個(gè)矢量模(A)與另一個(gè)矢量模在該矢量上的投影(Bcos?)的乘積。第6頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六7（4）矢量的矢量積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則第7頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六8（5）矢量的三重積——

分配律——

分配律——

標(biāo)量三重積——

矢量三重積第8頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六9例：設(shè)的模為1，求a,b.解:故有兩組解,

第9頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六1.2曲面坐標(biāo)系10

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。

在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。第10頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六1、直角坐標(biāo)系

11位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx第11頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六2、圓柱面坐標(biāo)系12坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量第12頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六133、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量第13頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六4、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

14直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq

ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

f第14頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六1.3標(biāo)量場的梯度15如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時(shí)變場。時(shí)變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：第15頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六16標(biāo)量場的等值面

標(biāo)量場的等值線(面)等值面:標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。第16頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六172.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)：

對于一個(gè)標(biāo)量場除了了解標(biāo)量場u的總體分布情況，還要討論其等值面隨空間的變化。

等值面沿某一給定方向l0的變化率，稱為該標(biāo)量場沿l0方向的方向?qū)?shù)。例：溫度場10C20C30C0CL1100米80米L2200米L3第17頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六18甲：（每米的溫度變化為）（0C--30C）/100m=-3/10C/m乙：（每米的溫度變化為）（0C--30C）/200m=-3/20C/m?。海棵椎臏囟茸兓癁椋?C--30C）/80m=-3/8C/m同一個(gè)溫度場中，其等溫面沿不同方向的變化率不同：

L1的方向?qū)?shù)為-3/10L2的方向?qū)?shù)為-3/20L3的方向?qū)?shù)為-3/8第18頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六19M0為標(biāo)量場u(M)中的一點(diǎn)，那么為標(biāo)量場u(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記作，即M0MNnl一般情況：第19頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六20方向?qū)?shù)計(jì)算公式意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減小；

——

u(M)沿方向無變化。

特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？——

的方向余弦。

式中：

第20頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六213、標(biāo)量場的梯度（或）大?。涸擖c(diǎn)的最大方向性導(dǎo)數(shù)。即沿過該點(diǎn)等值面的法線方向的方向性導(dǎo)數(shù)。方向：過M0點(diǎn)等值面的法線方向。規(guī)定沿等值面增加的方向?yàn)檎ň€。上例中：梯度：3/8（-L3）第21頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六224、梯度與方向性導(dǎo)數(shù)的關(guān)系enelM0MNuu+u標(biāo)量場沿l方向的方向?qū)?shù)等于梯度沿該方向的投影，即梯度與該方向的單位矢量的點(diǎn)乘。第22頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六235、梯度的計(jì)算（直角坐標(biāo)系中）直角坐標(biāo)系中，由方向性導(dǎo)數(shù)與梯度的關(guān)系可得標(biāo)量場u沿三個(gè)坐標(biāo)軸的方向性導(dǎo)數(shù)：XYZ其中：是哈密頓算子，又稱為矢性微分算符，具有矢量和微分的雙重性質(zhì)。第23頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六246、梯度的性質(zhì)：梯度的線積分與路徑無關(guān)（）

該積分與路徑無關(guān)的條件是被積函數(shù)可以表示為某一函數(shù)的全微分。梯度的表達(dá)式：直角面坐標(biāo)系

第24頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六25

例1.2.1

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場。試求：

(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；

(2)求該函數(shù)沿單位矢量el=

excos60＋eycos45

＋ezcos60方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。

解

(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為第25頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六26表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為第26頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六27而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。第27頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六1.4矢量場的通量與散度281、矢量場

概念：設(shè)空間某一區(qū)域存在一矢量函數(shù)，它的大小及方向隨空間位置變化（可能還是時(shí)間函數(shù)）。則稱為該區(qū)域存在一矢量場：例：速度場，電場，磁場2、矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場的方向。該點(diǎn)附近曲線的疏密和該點(diǎn)矢量的大小成正比。矢量線oM

第28頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六293、矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大?。恳胪康母拍?。

在討論矢量場通量之前，介紹有向面積元規(guī)定該面積元的正法線方向?yàn)橛邢蛎娣e元：對于封閉曲面，約定其外法線為正法線方向Sn面積元矢量通量的概念:與面積元的標(biāo)量積定義為矢量穿過面積元矢量的通量。第29頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六30

問題：矢量場穿過一有限大面積的通量：

其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：第30頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六31通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義第31頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六324、矢量場的散度

為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。設(shè)想有一包圍P點(diǎn)的閉合曲面，逐漸縮小到P點(diǎn)附件，則閉合曲面所包圍的體積V逐漸減小，且矢量場穿過閉合曲面的通量也逐漸減少。但是在一般情況下，兩者之一有一極值。該極值與閉合曲面的形狀無關(guān)。定義：矢量場的散度等于該極值散度：第32頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六33意義：矢量場穿過包圍單位體積的閉合曲面的通量，又稱通量密度。

散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。第33頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六345、散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S由散度定義：該式只對微小體積V->0成立。對于有限大體積V，分為許多小體積V1、V2……每一小體積有：+）…….左=右第34頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六35左：V為整個(gè)有限體積。右：面積之和

(1)V內(nèi)兩個(gè)相鄰小體積的分界面

(2)V的外表面得：高斯定理。

從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即

散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。第35頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六36直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算?·FzzDxDyDP

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：第36頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六37根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為第37頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六38例：已知點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，求其在任何一點(diǎn)M處的散度。解：可見，除點(diǎn)電荷q所在位置(r=0)外，電場的散度處處為0。第38頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六1.5矢量場的環(huán)流和旋度39矢量場的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場

不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。第39頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六40如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。環(huán)流的概念

矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即第40頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六41

過點(diǎn)M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限稱為矢量場在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。

特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向n有關(guān)。2、矢量場的旋度（）

（1）環(huán)流面密度第41頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六42而

推導(dǎo)

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計(jì)算的示意圖

直角坐標(biāo)系中、、的表達(dá)式第42頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六43于是

同理可得故得概念：矢量場在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度第43頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系第44頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六45旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零第45頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六463、Stokes定理Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第46頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六474、散度和旋度的區(qū)別

第47頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六481、矢量場的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度。1.6無旋場與無散場第48頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六492、矢量場按源的分類（1）無旋場性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為例如：靜電場第49頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六50（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個(gè)矢量場的旋度例如，恒定磁場第50頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六51（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分第51頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理

1、拉普拉斯運(yùn)算

標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：第52頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六53

矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：第53頁，共58頁，2023年，2月20日，星期六542.格林定理

設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場

及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場

及

滿足下列等式。

根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中S

為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場

在S表面的外法線en