哥德爾不完全性定理的科學(xué)推理意義

N09A1000-0763(2010)02-0015-06哥德爾(KurtGdel，1906-1978)是美國著名數(shù)學(xué)家，他于1931年發(fā)表了形式數(shù)論系統(tǒng)的不完全性定理(Gdel’sincompletenesstheorem)。它包括第一定理：形式數(shù)論系統(tǒng)和它的任意協(xié)調(diào)的擴(kuò)充系統(tǒng)里，都有不含自由變元的公式(即閉公式)A使得A和它的否定式┐A都不是定理；第二定理：形式數(shù)論系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性的證明不可能在形式數(shù)論系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)?；虬阉枋鰹椋喝绻麑?duì)自然數(shù)理論形式化而獲得的系統(tǒng)是相容的，則該系統(tǒng)必包含一邏輯公式A，使得A和它的否定┐A在系統(tǒng)中都不能證明。這個(gè)定理不僅表明，作為自然數(shù)理論的公理而言，通常的公理系統(tǒng)是不完全的，而且在有窮觀點(diǎn)下表明對(duì)自然數(shù)理論的形式化系統(tǒng)，在相容性范圍內(nèi)無論怎樣添加公理，它仍然是不完全的。哥德爾不完全性定理的發(fā)表，立即震驚了世界數(shù)壇，其中尤其要提到偉大數(shù)學(xué)家馮·諾意曼的反應(yīng)。馮·諾意曼在20世紀(jì)20年代后期，參與了希爾伯特的元數(shù)學(xué)計(jì)劃，發(fā)表了幾篇關(guān)于證明部分?jǐn)?shù)學(xué)公理無矛盾性的論文。哥德爾不完全性定理發(fā)表后，馮·諾意曼中止了這方面的研究。他幾次親自驗(yàn)證了這條定理，對(duì)哥德爾出色的成就表示完全折服，在1931年秋季普林斯頓討論班上，馮·諾意曼本該報(bào)告自己的重要工作，但他卻沒有這樣做，他利用此機(jī)會(huì)認(rèn)真介紹了哥德爾的這個(gè)成果，大力加以肯定和贊揚(yáng)，哥德爾不完全性定理是很有份量的，它開辟了數(shù)理邏輯的新紀(jì)元，使數(shù)理邏輯形成一門獨(dú)立的科學(xué)。我們知道，所謂形式系統(tǒng)，即用形式符號(hào)對(duì)直觀數(shù)學(xué)系統(tǒng)的模擬。為了使證明嚴(yán)格化，為了使數(shù)學(xué)對(duì)象能夠概括更多的模型，人們力圖機(jī)械地判定哪些合式公式串是證明，哪些不是，這就要用到形式系統(tǒng)，因?yàn)樗泄砑陀砂ü碓趦?nèi)的已知定理產(chǎn)生新定理的推理規(guī)則集，因而形式系統(tǒng)的完全性說明其中的形式推理完全地反映了通常的演繹推理，這就決定了形式系統(tǒng)的推理價(jià)值。哥德爾定理揭示了形式系統(tǒng)最重要的特性——抽象性、協(xié)調(diào)性和完全性的內(nèi)在機(jī)理，也給人們用推理作為工具來認(rèn)識(shí)“無限”帶來了深層次的思考和提供了一些很有意義的思路。哥德爾獲得不完全性定理是有精湛的數(shù)學(xué)技巧的，他證明了不完全性定理并深刻地研究了所用的推理方法。我們知道，數(shù)學(xué)家最關(guān)心的事之一就是公理系統(tǒng)的無矛盾性和完全性。所謂的完全性就是，如果在每個(gè)結(jié)構(gòu)中均可滿足的那些閉公式在一個(gè)邏輯體系中都是可證的，則稱該邏輯系統(tǒng)是完全的。也就是說，每一個(gè)真的邏輯數(shù)學(xué)命題都可以由這個(gè)公理系統(tǒng)導(dǎo)出，亦即可證。哥德爾證明第一定理，首先，他覺得：形式系統(tǒng)的概念是用元數(shù)學(xué)(metamathematics)概念建立起來的，這些元數(shù)學(xué)概念是若干個(gè)符號(hào)的規(guī)定、轉(zhuǎn)換與說明。這里所說的元數(shù)學(xué)是與希爾伯特方案(Hilbert’sProgram)相聯(lián)的?！翱茖W(xué)思想是科學(xué)以前的思想的發(fā)展?！盵1]哥德爾的許多工作和杰出成就，是他從研究希爾伯特的思想開始的。把數(shù)學(xué)的各個(gè)分支和研究領(lǐng)域分別進(jìn)行形式化處理，建立相應(yīng)的形式系統(tǒng)，并與邏輯演算相結(jié)合，形成各門形式化的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)，它們都是符號(hào)系統(tǒng)，在那里，每一數(shù)學(xué)定理都可在相應(yīng)的形式系統(tǒng)中表示出來，并能從語法上得到證明。建立在對(duì)這樣的形式數(shù)學(xué)系統(tǒng)給出工具并進(jìn)行研究的有窮邏輯和(不含無窮對(duì)象的)初等數(shù)論，這樣的邏輯與數(shù)論稱為元數(shù)學(xué)(元數(shù)學(xué)又稱為證明論。它的研究對(duì)象是數(shù)學(xué)證明本身。它研究數(shù)學(xué)的最基本活動(dòng)——證明的合理性問題)。用元數(shù)學(xué)去研究形式數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的協(xié)調(diào)性、完全性問題，哥德爾進(jìn)行算術(shù)化處理是巧妙地通過哥德爾配數(shù)法進(jìn)行的。關(guān)于哥德爾配數(shù)法，這是哥德爾推理證明極重要的訣竅。這里，他使用了“算術(shù)化”的方法。對(duì)于任一公式都可以配給它一確定的自然數(shù)，反過來，這種自然數(shù)都唯一地對(duì)應(yīng)一公式，即公式與自然數(shù)之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。研究一個(gè)形式系統(tǒng)實(shí)際上就是研究可數(shù)個(gè)對(duì)象的集合。哥德爾認(rèn)為：“一個(gè)系統(tǒng)的公式……從外觀上看是原始符號(hào)的有窮系列……不難嚴(yán)格地陳述，哪些原始符號(hào)的系列是合適公式，哪些不是。類似地，從形式觀點(diǎn)看來，證明也只不過是一串公式的有窮序列?！盵2]“哥德爾配數(shù)法”就是給每個(gè)對(duì)象配上一個(gè)數(shù)，以此來研究原形式系統(tǒng)的性質(zhì)。給公式所配的自然數(shù)，就叫做該公式的哥德爾數(shù)，而證明是由公式序列組成的，因而對(duì)每個(gè)公式的證明也可配上唯一的一個(gè)哥德爾數(shù)。這樣，哥德爾把元數(shù)學(xué)概念通過哥德爾配數(shù)法給出算術(shù)化處理，用自然數(shù)的函數(shù)與關(guān)系把它們描述出來，并證明這些函數(shù)與關(guān)系的機(jī)械性質(zhì)，即它們都是遞歸關(guān)系。這里，以自然數(shù)為變元，取值也是自然數(shù)的所謂“遞歸的”數(shù)論函數(shù)，即原始遞歸函數(shù)(后來，作為原始遞歸函數(shù)的自然推廣，哥德爾定義并發(fā)展了一般遞歸函數(shù)理論)。定義域?yàn)樽匀粩?shù)集合并取值為自然數(shù)的函數(shù)t，如果對(duì)于任一自然數(shù)n都可在有窮步內(nèi)機(jī)械地獲得它的值f(n)，則稱f為一遞歸函數(shù)。當(dāng)一關(guān)系的特征函數(shù)為一遞歸全函數(shù)時(shí)，就稱這一關(guān)系為遞歸關(guān)系。接下去，哥德爾證明遞歸函數(shù)與遞歸關(guān)系在形式系統(tǒng)P中都是可表達(dá)的。他成功地使用遞歸函數(shù)將元數(shù)學(xué)算術(shù)化這個(gè)有效方法引進(jìn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中。哥德爾善于抓住問題中心的技巧甚至影響到愛因斯坦，愛因斯坦在普林斯頓與哥德爾結(jié)識(shí)后，他在數(shù)學(xué)中很快就可以辨認(rèn)出什么是中心問題了。當(dāng)然，明了了哥德爾怎樣展開對(duì)定理的證明，也應(yīng)探究哥德爾怎么構(gòu)造出他的定理中所要求的命題A：有一形式命題A，使得A與┐A在此系統(tǒng)內(nèi)部都是不可證明的。要構(gòu)造出此命題，需要梳理極其錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系，并且弄清這些聯(lián)系。比如，要將“命題A在P中是可證的”、“公式序列L是命題A在P中的一證明”等這樣一些關(guān)于形式系統(tǒng)P的元數(shù)學(xué)概念都可以算術(shù)化為關(guān)于自然數(shù)間的函數(shù)與關(guān)系等弄清楚，是不容易的。哥德爾獨(dú)到的思路是區(qū)分系統(tǒng)內(nèi)外的幾個(gè)層次和它們間的聯(lián)系，而著手點(diǎn)是從考慮數(shù)學(xué)分析的協(xié)調(diào)性問題開始的。在考慮分析的協(xié)調(diào)性時(shí)，哥德爾是先用有限主義的算術(shù)證明算術(shù)的協(xié)調(diào)性，再用算術(shù)的協(xié)調(diào)性證明分析的協(xié)調(diào)性，也就是說，他不是直接去證分析的協(xié)調(diào)性，而是分兩步走。這個(gè)明智之舉使他在去證明算術(shù)的協(xié)調(diào)性時(shí)很快就得到了相反的結(jié)果，從而構(gòu)造出不完全性定理。哥德爾不完全性定理命題構(gòu)造和定理證明的數(shù)學(xué)技巧，是精湛的。這些成果，在科學(xué)推理上意義重大。首先，人們看到了，不完全性定理揭示了完全性與協(xié)調(diào)性之間遇到了麻煩，而協(xié)調(diào)性本身又是用“推出”說明的。一個(gè)公式的集合具有協(xié)調(diào)性，是指沒有公式A使得A和┐A都能從這個(gè)集合中的公式形式地推出。推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知判斷(前提)推出未知判斷(結(jié)論)的思維形式。這是由已知進(jìn)入到未知的方法，是探尋新結(jié)果的方法，因而是極重要的思維形式。然而，因?yàn)槭挛锏膹?fù)雜性情況的差異，它決定了人們進(jìn)行推理時(shí)所依據(jù)的前提被人們所了解和掌握程度不同，并且新判斷所得出的結(jié)論深刻程度也不同，所以不同的推理的難度是不一樣的，甚至相差十分大。哥德爾不完全性定理使人們碰到了兩不可的情景：在形式系統(tǒng)中完全性與協(xié)調(diào)性不可同時(shí)兼顧。兩可、兩不可的情景是人們思維深層次的矛盾和推理結(jié)果可能淪入的窘境，可取的思想方法不是避免和擺脫，而是設(shè)法改進(jìn)情景。哥德爾不完全性定理在數(shù)學(xué)界公認(rèn)否定了希爾伯特方案的某些設(shè)想，但它開辟的卻是另一番富有生機(jī)的新生長點(diǎn)?？茖W(xué)史上不乏這樣的事實(shí)：前進(jìn)吧，你就會(huì)有信心！沿著正確的思路慣性地操作(推理)下去，在普遍性的范圍內(nèi)陸續(xù)取得成效，然后再回過頭來，不少原先很難解決的問題隨之迎刃而解。在科學(xué)推理中，往往要對(duì)兩種“情景”尤加重視，即初始條件和邊界條件。事件以某一時(shí)刻為開始的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，叫做初始條件；而受周圍環(huán)境影響的邊界實(shí)際狀況則稱為邊界條件。推理的起始狀態(tài)之確立和推理過程進(jìn)行的邊界條件之改進(jìn)，對(duì)科學(xué)研究和科學(xué)創(chuàng)新是很有意義的?？疾臁皵z動(dòng)”和采取“逼近”，是人們通常采用的手段。我們這里說“改進(jìn)情景”正是這個(gè)意思。要達(dá)到的目標(biāo)明確，但證明推理過程遭到困難，其重要的一種思路就是改進(jìn)情景。哥德爾不完全性定理給了我們這種啟示。哥德爾本人對(duì)此也是十分重視的。1930年夏天，哥德爾開始研究證明分析學(xué)的協(xié)調(diào)性問題。他發(fā)現(xiàn)：希爾伯特想要通過有窮主義的方法來直接證明分析學(xué)的協(xié)調(diào)性是不可思議的。他總的認(rèn)為，我們應(yīng)該把這個(gè)困難分解成幾個(gè)部分，以便使每一部分能夠變得更容易克服。在這個(gè)特殊情況下，他的計(jì)劃是通過有窮主義的數(shù)論來證明數(shù)論的協(xié)調(diào)性，然后用數(shù)論來證明分析學(xué)的協(xié)調(diào)性，在這里，我們可以假定數(shù)論不僅是協(xié)調(diào)的，而且是真的。他當(dāng)時(shí)給自己提出的問題是分析學(xué)對(duì)于數(shù)論的相對(duì)協(xié)調(diào)性，這個(gè)問題對(duì)于有窮主義數(shù)論的某些不確定的概念來說是獨(dú)立的。[5]當(dāng)數(shù)學(xué)上出現(xiàn)一些重大發(fā)現(xiàn)時(shí)，它貌似與以往的某些定理甚至是公理發(fā)生了沖突，但它并不是要完全否定、擯棄或推翻原有的定理、公理或者方案，而往往是將原有的那些數(shù)學(xué)成果、結(jié)論作為有條件的東西保留在知識(shí)的長河之中?？茖W(xué)推理是講究前提條件的，對(duì)前提條件進(jìn)行情景改進(jìn)然后再進(jìn)行正確推理，往往會(huì)得到珍貴的副產(chǎn)品，比如，哥德爾原先是在系統(tǒng)為ω協(xié)調(diào)的(英為ω-consistent，德為ω-widerspruchsfrei)假定之下證明這條定理的。這個(gè)條件，對(duì)形式系統(tǒng)而言，比簡單協(xié)調(diào)性條件更強(qiáng)。但是，J.B.Rosser則對(duì)情景作了改變，他成功地用簡單協(xié)調(diào)性代替了更強(qiáng)的ω協(xié)調(diào)性[6]。又比如，進(jìn)一步限制不使用解析中的輔助手段(如無理數(shù)和無窮級(jí)數(shù))的自然數(shù)的理論“純數(shù)論”，我們便可以得到較弱的自然數(shù)理論，它們的協(xié)調(diào)性可不必使用直到ε。為止超限歸納法這種特殊論證，而使用有窮方法便可以推理證明。同時(shí)，用逐步逼近也是一種可考慮的思想方法。數(shù)學(xué)發(fā)展史表明，在命題的證明推理過程中，往往會(huì)得到一些非常重要的新發(fā)現(xiàn)，有時(shí)甚至?xí)袛?shù)學(xué)新工具的創(chuàng)造；原定的目標(biāo)有時(shí)不一定理想地達(dá)到或較快地達(dá)到，但證明推理過程中所得到的或先得到的副產(chǎn)品卻是十分有價(jià)值的。其次，我們著重來談“無限”。隨著人的認(rèn)識(shí)的深化，對(duì)“無限”的認(rèn)識(shí)愈來愈顯得實(shí)在和重要了?？茖W(xué)實(shí)踐很自然地招引人們把注意力吸引到：在科學(xué)認(rèn)識(shí)上，如何通過有限來認(rèn)識(shí)無限；在科學(xué)方法上，如何通過有限的手段把握無限。具體說來，人們?nèi)绾芜\(yùn)用推理來認(rèn)識(shí)和把握“無限”呢？它的可能性和方法是怎樣的呢？無限(無窮)即沒有窮盡，它是相對(duì)有限(有窮)而言的。在數(shù)學(xué)中，有無窮大、無窮?。阂粋€(gè)變量在變化過程中其絕對(duì)值永遠(yuǎn)大于任意大的已定正數(shù)，這個(gè)變量叫做無窮大(無限大)；一個(gè)變量在變化過程中其絕對(duì)值永遠(yuǎn)小于任意小的已定正數(shù)，即以零為極限的變量，這個(gè)變量叫做無窮小(無限小)。還有無窮序列、無窮集合、無窮序數(shù)、無窮基數(shù)等。而關(guān)于無窮過程，人們把無窮作為一個(gè)逼近的目標(biāo)，可逐步逼近而永遠(yuǎn)不能達(dá)到，叫潛無窮；把無窮作為一個(gè)完成了的總體，通過思維能夠把握的，叫實(shí)無窮。在極限理論中，大于零小于任意實(shí)數(shù)的無窮序列無窮小和大于任意正實(shí)數(shù)的無窮序列無窮大，都是潛無窮概念。在非標(biāo)準(zhǔn)分析中，通過邏輯證明，存在一個(gè)大于零小于一切實(shí)數(shù)的無窮小量，就是實(shí)無窮概念。一個(gè)集如由無限多個(gè)元素組成，這樣的集就叫做無限集。我們知道，要對(duì)事物和命題進(jìn)行證明，有依據(jù)事實(shí)的、經(jīng)驗(yàn)的，也有用嚴(yán)格數(shù)學(xué)的、非經(jīng)驗(yàn)的推理方法。在處理包含無窮多個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的集合時(shí)，象涉及到所謂“一切的”、“全部的”、“所有的”這樣情景時(shí)，工具、手段的采用就非常重要了?！皵?shù)學(xué)無窮的觀念已經(jīng)起著舉足輕重的作用，沒有它便沒有科學(xué)”。[7]在自然科學(xué)中，我們面對(duì)的對(duì)象是許多有關(guān)于無限性的事實(shí)；在數(shù)學(xué)中，我們必須處理包含無窮多個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的集合。在自然科學(xué)中，人們在摸索一般規(guī)律時(shí)往往會(huì)從“經(jīng)驗(yàn)歸納法”出發(fā)，從特殊到一般；而用嚴(yán)格邏輯或數(shù)學(xué)推理來證明定理卻大不一樣?！霸跀?shù)學(xué)上，一個(gè)規(guī)律或一個(gè)定理，只有當(dāng)它能表示為某些已被認(rèn)為是正確的假設(shè)的邏輯的必然結(jié)果時(shí)，才算是被證明?！盵8]在通過有限的步驟去證明無限時(shí)，必須十分明了要從任意有限多個(gè)(哪怕是非常多個(gè)非常多個(gè))的情形中去得出一個(gè)正確的一般規(guī)律，一定要保證“邏輯的必然結(jié)果”，因?yàn)榧词故恰叭我庥邢薅鄠€(gè)”，充其量也是“合理的假說”，還不是“邏輯的必然結(jié)果”。一個(gè)規(guī)律或一個(gè)定律的確定，講究的是它要普遍地成立，因而，推理證明的前提和步驟必須嚴(yán)格遵守。那么，數(shù)學(xué)上的無窮是不是可以被認(rèn)識(shí)的呢？這是認(rèn)識(shí)論上的問題。實(shí)際上，無窮是人們對(duì)大量相繼性過程的反復(fù)構(gòu)造中通過外推的思維建立起來的。人們可以通過理性思維的能力相對(duì)地把握某一無窮集合的特征，這就是說無窮是可以相對(duì)地被認(rèn)識(shí)的。但是，想要通過理性把無窮個(gè)客體一一都認(rèn)識(shí)出來，這是不可能的。對(duì)無窮客體的認(rèn)識(shí)只能是個(gè)逐步推進(jìn)的過程，而這個(gè)過程又是永遠(yuǎn)不會(huì)完結(jié)的。無窮是既可被認(rèn)識(shí)又不可絕對(duì)被認(rèn)識(shí)的這種辯證法，讓數(shù)學(xué)家們有信心地尋找解決的辦法和工具，比如，把“代數(shù)和”的概念應(yīng)用于一個(gè)收斂的無窮級(jí)數(shù)，建立起一個(gè)全稱的無窮概念利用排中律來認(rèn)識(shí)無窮，這些手段，是正確的、有效的。數(shù)學(xué)上的無窮和哲學(xué)上的無窮是不完全一樣的，它們既不同又相聯(lián)系，要把握這些，數(shù)學(xué)家的哲學(xué)素養(yǎng)往往是很重要的?！盁o論如何，哲學(xué)也給科學(xué)提供了一些有價(jià)值的積極概念，……哲學(xué)家反過來也從專門科學(xué)采納了比從日常思維采納的任何東西更健全的基礎(chǔ)?！聦?shí)上，每一個(gè)哲學(xué)家都擁有他自己的私人科學(xué)觀，每一個(gè)科學(xué)家擁有他的私人哲學(xué)?！盵9]明了這些，我們來闡述哥德爾不完全性定理在證明推理上的意義就會(huì)更加深刻。哥德爾不完全性定理本身以及哥德爾對(duì)不完全性定理的證明，在科學(xué)推理上都有重要意義。首先，哥德爾不完全性定理給人們在認(rèn)識(shí)和處理無窮上啟迪了寶貴的思路：當(dāng)完全性與可證明發(fā)生沖突時(shí)，可以改變論證推理的方式。我們知道，數(shù)學(xué)家們都希望，任何真語句都一定可以在某個(gè)公理系統(tǒng)范圍內(nèi)得到確立。但哥德爾定理的一個(gè)推理是：不僅沒有一個(gè)公理系統(tǒng)足以包含全部數(shù)學(xué)，而且也沒有一個(gè)公理系統(tǒng)足以包含任何一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)分支，因?yàn)槿魏芜@樣的公理系統(tǒng)都是不完全的。在系統(tǒng)內(nèi)存在不可證明的語句(它的概念屬于該系統(tǒng))，但是人們可以通過非形式的論證來證明它是真的——實(shí)際上這非形式的論證是通過元數(shù)學(xué)的邏輯實(shí)現(xiàn)的。哥德爾在獲得不完全性定理時(shí)，還研究了所用的方法，從而得出另一個(gè)十分重要的結(jié)果：設(shè)S為包含自然數(shù)理論的形式化系統(tǒng)(在有窮觀點(diǎn)下)，如果S是相容的，則只利用S中可形式化的論證不可能證明S的相容性。這就是說，例如，要從有窮觀點(diǎn)來證明自然數(shù)理論的形式化系統(tǒng)的相容性，就不能不用到一些有窮觀點(diǎn)容許的形式化自然數(shù)理論所不容許的某些論證。按照這種思路在純數(shù)論的相容性的證明中，必須使用純數(shù)論以外的某種論證推理方法，如使用直到ε。為止的超限歸納法。還有，純數(shù)論相容性的證明推理方法也還不限于超限歸納法，例如哥德爾利用了“自然數(shù)域上有窮類型的可計(jì)算函數(shù)”而對(duì)自然數(shù)論的相容性給出了另外一種證明[10]。其次是哥德爾配數(shù)法。哥德爾數(shù)及其哥德爾的配數(shù)方法，是哥德爾給出的，其思想精髓就是從“一一對(duì)應(yīng)”的方法出發(fā)來進(jìn)行后面的推理的。如上所述，對(duì)于給定的任一公式，都可以配給一確定的自然數(shù)，反過來這種自然數(shù)都唯一地對(duì)應(yīng)一公式，而證明是由公式序列組成的，這樣，對(duì)于每個(gè)公式的證明來說，也可配上唯一的一個(gè)哥德爾數(shù)，因而“一一對(duì)應(yīng)”使得哥德爾數(shù)在證明推理的過程中發(fā)揮著重要作用?！耙灰粚?duì)應(yīng)”的方法看去好像簡單，但思想?yún)s很深刻?！皥?jiān)持把證明的嚴(yán)格性作為完善地解決問題的一種要求，是完全必要的，并且，正是追求嚴(yán)格化的努力驅(qū)使我們?nèi)で蟊容^簡單的推理方法，因而嚴(yán)格化與簡單性原則是統(tǒng)一的?！盵11]此外，哥德爾的高明之處還在于他又通過這些數(shù)反過來看原來形式系統(tǒng)的性質(zhì)?！八枷肽軌虍a(chǎn)生思想”[12]。他的成功確實(shí)可以給人們帶來許多推理證明方法上的啟示。在研究哥德爾不完全性定理的科學(xué)推理意義時(shí)，有兩件事是值得一提的。其一是：中國古代著名的數(shù)學(xué)家劉徽在注釋《九章算術(shù)·商功》“陽馬術(shù)”時(shí)，在充分肯定和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)推理進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的過程中曾深沉地發(fā)出感嘆：“數(shù)而求窮之者，謂以情推，不用籌算?！盵13]其二是著名數(shù)學(xué)家布勞威“搞清楚直觀上確定的不及數(shù)學(xué)上證明的時(shí)候，哥德爾用他的不完全性定理證明了直觀上確定的勝過數(shù)學(xué)的證明”[14]。為什么劉徽意味深長地說到要用“情推”？為什么哥德爾會(huì)說到“直觀上確定的勝過數(shù)學(xué)的證明”？為什么這些數(shù)學(xué)大師在嚴(yán)格證明推理得出偉大成果時(shí)發(fā)出這樣的感嘆呢？這里，涉及到形式與形象、實(shí)際與抽象、現(xiàn)實(shí)與原型及模型、經(jīng)驗(yàn)與證明等諸多關(guān)系問題。眾所周知，在數(shù)學(xué)上成立的東西，只有當(dāng)它已從邏輯的推理上嚴(yán)格地被證明了的時(shí)候。在數(shù)學(xué)上，不僅數(shù)學(xué)的概念是抽象的、思辨的，而且數(shù)學(xué)的方法也是抽象的、思辨的。要推理證明，需用抽象的形式化語言，比如，數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)就是抽象的形式化語言，它對(duì)數(shù)學(xué)本身的存在和發(fā)展十分重要，“常常是由于缺乏能夠說清楚真正實(shí)質(zhì)的符號(hào)，數(shù)學(xué)的某個(gè)領(lǐng)域就得不到發(fā)展。典型的例子就是代數(shù)學(xué)：為了寫出‘一般的’代數(shù)方程式，從丟番圖到維耶特和萊布尼茨用了整整三個(gè)世紀(jì)；……·為了使無窮小的計(jì)算獲得一個(gè)確定的形式，用了整整100年。這里的主要原因是，在牛頓和萊布尼茨以前，還沒有提出導(dǎo)數(shù)和微分這些新的概念的方便符號(hào)，還不能十分清楚地分辨這些概念”。[15]抽象性、形式化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的力量，也是一種數(shù)學(xué)美。不過，另一方面，它也帶來了危險(xiǎn)，“當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科遠(yuǎn)離它的經(jīng)驗(yàn)本源繼續(xù)發(fā)展的時(shí)候，或者更進(jìn)一步，如果它是第二代和第三代，僅僅間接地受到來自‘現(xiàn)實(shí)’的思想所啟發(fā)，它就會(huì)遭到嚴(yán)重危險(xiǎn)的困擾。它變得越來越純粹地美學(xué)化，……這門學(xué)科將沿著阻力最小的途徑發(fā)展，……換句話說，在距離經(jīng)驗(yàn)本源很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的地方，或者在多次‘抽象的’的近親繁殖之后，一門數(shù)學(xué)學(xué)科就有退化的危險(xiǎn)?！盵16]馮·諾意曼認(rèn)為：“每當(dāng)?shù)搅诉@種地步時(shí)，在我看來，唯一的藥方就是為重獲青春而返本求源，重新注入多少直接來自經(jīng)驗(yàn)的思想?！盵17]昂利·彭加勒也說：“我希望審查的是，邏輯原則一旦被承認(rèn)，人們是否真的能夠證明——我不說發(fā)現(xiàn)——所有的數(shù)學(xué)真實(shí)性而不重新訴諸直覺。”[18]這層思想，在哥德爾不完全性定理的提出過程和這個(gè)定理本身，揭示得頗為徹底。哥德爾說：“我在數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)中構(gòu)造不可判定數(shù)論命題的直觀試探原理是與‘可證性’相對(duì)立的‘客觀數(shù)學(xué)真理’的高度超限概括(這里我說明了直觀性的論證，通過它我達(dá)到了不完全性定理這個(gè)結(jié)果)?！备绲聽柾黄屏藬?shù)學(xué)界和邏輯學(xué)界長期普遍認(rèn)為的僅當(dāng)能用有限的元數(shù)學(xué)加以解釋或證明為是正確時(shí)才算作是有意義的觀念，不將元數(shù)學(xué)的可證性與客觀數(shù)學(xué)真理對(duì)立起來，而是既看到數(shù)學(xué)形式化的重要，又看到數(shù)學(xué)直觀的重要，既強(qiáng)調(diào)形式的理性思維，又重視直接認(rèn)識(shí)真理的能力，他把這稱為“直觀性的證明”。通過它，他得到了不完全性定理的結(jié)果；而不完全性定理本身，也蘊(yùn)含了這個(gè)深邃的思想。這種既講究抽象的證明推理手段又把握“直觀的”、“具體的”思想方法，在菲利克斯·克萊因那兒也受到重視。[19]“抽象化”、“形式化”、“情推”、“直觀上確定的”、“返本求源”、“直觀性論證”，這些都從不同側(cè)面反映了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)，健全的數(shù)學(xué)思維應(yīng)當(dāng)既要講求形式化并運(yùn)用形式規(guī)則去推導(dǎo)而給出數(shù)學(xué)真理，而且要訓(xùn)練出具有不經(jīng)過邏輯推理就直接認(rèn)識(shí)真理的能力。元數(shù)學(xué)論證的推理和“直觀性論證”的推理(包括“情推”)都不應(yīng)偏廢。對(duì)于給定的形式系統(tǒng)而言，可證性是一個(gè)較為機(jī)械的思維過程，而它的真理性則是一個(gè)能動(dòng)的和超窮的思維過程，哥德爾揭示了機(jī)械的與非機(jī)械的思維活動(dòng)的基本性質(zhì)，對(duì)涉及到理論協(xié)調(diào)的邏輯標(biāo)準(zhǔn)與局限性問題有了論證，這項(xiàng)工作是人類科學(xué)認(rèn)識(shí)史上的重要結(jié)果，意義的確十分重大。把數(shù)學(xué)理論形式化，構(gòu)造形