第二節(jié)復__數(shù)1.復數(shù)的有關(guān)概念(1)復數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部.(2)復數(shù)的分類：z＝a＋bieq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a＝0，,非純虛數(shù)a≠0.))))有關(guān)復數(shù)的3點注意(1)若一個復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部為0是不夠的，還要考慮它的實部是否有意義.(2)一個復數(shù)為純虛數(shù)，不僅要求實部為0，還需要求虛部不為0.(3)兩個不全為實數(shù)的復數(shù)不能比較大小.(3)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)復數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2.復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R).(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→)).3.復數(shù)的運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).(2)復數(shù)加法的運算定律設z1，z2，z3∈C，則復數(shù)加法滿足以下運算律：①交換律：z1＋z2＝z2＋z1；②結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).[熟記常用結(jié)論]1.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).3.z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.4.復數(shù)加法的幾何意義：若復數(shù)z1，z2對應的向量eq\o(OZ1,\s\up7(→))，eq\o(OZ2,\s\up7(→))不共線，則復數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up7(→))，eq\o(OZ2,\s\up7(→))為鄰邊的平行四邊形的對角線eq\o(OZ,\s\up7(→))所對應的復數(shù).5.復數(shù)減法的幾何意義：復數(shù)z1－z2是eq\o(OZ1,\s\up7(→))－eq\o(OZ2,\s\up7(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up7(→))所對應的復數(shù).[小題查驗基礎]一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解.()(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(3)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小.()(4)原點是實軸與虛軸的交點.()(5)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√二、選填題x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，則復數(shù)z＝x＋yi在復平面上對應的點位于()解析：選D由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2x＋3y，,y－1＝2y＋1，))所以x＝4，y＝－2，所以復數(shù)z＝4－2i位于復平面的第四象限，故選D.z＝eq\f(2,1－i)，其中i為虛數(shù)單位，則eq\x\to(z)＝()A.1＋i B.1－iC.－1＋i D.－1－i解析：選B∵z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，∴eq\x\to(z)＝1－i，故選B.3.化簡：eq\f(3－i,2＋i)＝________.解析：eq\f(3－i,2＋i)＝eq\f(3－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(5－5i,5)＝1－i.答案：1－iz＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則|z|＝________.解析：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i＋2i2＝－1＋3i，∴|z|＝eq\r(－12＋32)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)考點一復數(shù)的有關(guān)概念[基礎自學過關(guān)][題組練透]1.(2019·湘東五校聯(lián)考)若復數(shù)(m2－m)＋mi為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()解析：選C由純虛數(shù)的概念得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m＝0，,m≠0，))解得m＝1.2.(2019·黃岡模擬)已知復數(shù)z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)的實部與虛部的和為2，則實數(shù)a的值為()解析：選D易知z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)＝eq\f(a2＋i,5)＋eq\f(2－i,5)＝eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(a－1i,5)，由題意得eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(a－1,5)＝2，解得a＝3.故選D.3.(2018·唐山五校聯(lián)考)已知eq\f(z,1－i)＝2＋i，則eq\x\to(z)(z的共軛復數(shù))為()A.－3－i B.－3＋iC.3＋i D.3－i解析：選C由題意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以eq\x\to(z)＝3＋i，故選C.4.(2019·重慶調(diào)研)已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z＝eq\f(1＋3i,2＋i)，則|z|＝________.解析：|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋3i,2＋i)))＝eq\f(|1＋3i|,|2＋i|)＝eq\f(\r(10),\r(5))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)[名師微點]解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)求一個復數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復數(shù)的實部為a，虛部為b.z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).考點二復數(shù)的運算[基礎自學過關(guān)][題組練透]1.(2018·全國卷Ⅱ)eq\f(1＋2i,1－2i)＝()A.－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i B.－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC.－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i D.－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i解析：選Deq\f(1＋2i,1－2i)＝eq\f(1＋2i2,1－2i1＋2i)＝eq\f(－3＋4i,5)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i.2.(2019·合肥質(zhì)檢)已知i為虛數(shù)單位，則eq\f(2＋i3－4i,2－i)＝()C.－eq\f(7,5)－eq\f(12,5)i D.－eq\f(7,5)＋eq\f(12,5)i解析：選Aeq\f(2＋i3－4i,2－i)＝eq\f(10－5i,2－i)＝5，故選A.3.(2019·貴陽模擬)設i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足i(z＋1)＝1，則復數(shù)z＝()A.1＋i B.1－iC.－1－i D.－1＋i解析：選C由題意，得z＝eq\f(1,i)－1＝－1－i，故選C.4.(2018·惠州模擬)已知復數(shù)z的共軛復數(shù)為eq\x\to(z)，若eq\x\to(z)(1－i)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則z＝()A.i B.－1＋iC.－1－i D.－i解析：選C由已知可得eq\x\to(z)＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i，則z＝－1－i，故選C.5.(2018·全國卷Ⅰ)設z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝()A.0 B.eq\f(1,2)C.1 D.eq\r(2)解析：選C∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，∴|z|＝1.故選C.[名師微點]復數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略復數(shù)的加減法在進行復數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可復數(shù)的乘法復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可復數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式考點三復數(shù)的幾何意義[基礎自學過關(guān)][題組練透]1.(2018·武漢調(diào)研)設(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則x＋yi在復平面內(nèi)所對應的點位于()解析：選D∵x，y是實數(shù)，∴(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,－x＝y(tǒng)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))∴x＋yi在復平面內(nèi)所對應的點為(1，－1)，位于第四象限.故選D.2.(2019·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)eq\f(1－i,1＋2i)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()解析：選Beq\f(1－i,1＋2i)＝eq\f(1－i1－2i,1＋2i1－2i)＝－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i，其共軛復數(shù)為－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，故選B.3.若復數(shù)(1－i)(a＋i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)解析：選B因為z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在復平面內(nèi)對應的點為(a＋1,1－a)，又此點在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于實軸對稱，z1＝2＋i，則eq\f(z1,z2)＝()A.1＋i B.eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC.1＋eq\f(4,5)i D.1＋eq\f(4,3)i解析：選B因為復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于實軸對稱，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(2＋i2,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，故選B.z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，C，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________.解析：由條件得eq\o(OC,\s\up7(→))＝(3，－4)，eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－1,2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(1，－1)，根據(jù)eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2.))∴λ＋μ＝1.答案：1[名師微點](1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up7(→)).(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關(guān)系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.2.與復數(shù)的幾何意義相關(guān)問題的一般步驟(1)進行簡單的復數(shù)運算，將復數(shù)化為標準的代數(shù)形式；(2)把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復平面內(nèi)的點之間的關(guān)系，依據(jù)是復數(shù)a＋bi與復平面上的點(a，b)一一對應.eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、題點全面練1.(2018·全國卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A.－3－i B.－3＋iC.3－i D.3＋i解析：選D(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.2.(2019·南昌模擬)已知復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，則復數(shù)z的虛部為()A.1 B.－1C.i D.－i解析：選B∵(1＋i)z＝2，∴z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝1－i，則復數(shù)z的虛部為－1.故選B.3.(2018·福州模擬)若復數(shù)z＝eq\f(a,1＋i)＋1為純虛數(shù)，則實數(shù)a＝()A.－2 B.－1解析：選A因為復數(shù)z＝eq\f(a,1＋i)＋1＝eq\f(a1－i,1＋i1－i)＋1＝eq\f(a,2)＋1－eq\f(a,2)i為純虛數(shù)，所以eq\f(a,2)＋1＝0，且－eq\f(a,2)≠0，解得a＝－2.故選A.4.(2019·石家莊質(zhì)檢)若復數(shù)z滿足eq\f(z,1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則共軛復數(shù)eq\x\to(z)＝()A.1＋i B.1－iC.－1－i D.－1＋i解析：選B由題意，得z＝i(1－i)＝1＋i，所以eq\x\to(z)＝1－i.5.(2019·重慶六校聯(lián)考)若z＝4＋3i，則eq\f(\x\to(z),|z|)＝()A.1 B.－1C.eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i D.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i解析：選D因為z＝4＋3i，所以eq\x\to(z)＝4－3i，|z|＝5，故eq\f(\x\to(z),|z|)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.z＝(a＋i)2(a∈R)在復平面內(nèi)對應的點在y軸上，則|z|＝()解析：選C由z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai在復平面內(nèi)對應的點在y軸上，知a2－1＝0，即a＝±1，所以z＝±2i，故|z|＝2.7.(2018·南寧模擬)已知(1＋i)·z＝eq\r(3)i(i是虛數(shù)單位)，那么復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于()解析：選A因為z＝eq\f(\r(3)i,1＋i)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)i，所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，在第一象限，故選A.a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若(1＋i)(1－bi)＝a，則eq\f(a,b)的值為________.解析：因為(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝a，,1－b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,a＝2，))所以eq\f(a,b)＝2.答案：29.復數(shù)|1＋eq\r(2)i|＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3)i,1＋i)))2＝________.解析：原式＝eq\r(12＋\r(2)2)＋eq\f(1－\r(3)i2,1＋i2)＝eq\r(3)＋eq\f(－2－2\r(3)i,2i)＝eq\r(3)＋i－eq\r(3)＝i.答案：iz2＝z1－ieq\x\to(z)1(其中eq\x\to(z)1表示z1的共軛復數(shù))，已知z2的實部是－1，則z2的虛部為________.解析：設z1＝a＋bi(a，b∈R)，所以eq\x\to(z)1＝a－bi，z2＝z1－ieq\x\to(z)1＝a＋bi－i(a－bi)＝a＋bi－ai－b＝a－b＋(b－a)i，因為z2的實部是－1，所以a－b＝－1，所以z2的虛部為b－a＝1.答案：1z＝bi(b∈R)，eq\f(z－2,1＋i)是實數(shù)，i是虛數(shù)單位.(1)求復數(shù)z；(2)若復數(shù)(m＋z)2所表示的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍.解：(1)因為z＝bi(b∈R)，所以eq\f(z－2,1＋i)＝eq\f(bi－2,1＋i)＝eq\f(bi－21－i,1＋i1－i)＝eq\f(b－2,2)＋eq\f(b＋2,2)i.又因為eq\f(z－2,1＋i)是實數(shù)，所以eq\f(b＋2,2)＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因為z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因為復數(shù)(m＋z)2所表示的點在第一象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－4＞0，,－4m＞0，))解得m＜－2，即實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－2).z同時滿足下列兩個條件：①z＋eq\f(5,z)是實數(shù)；②z＋3的實部與虛部互為相反數(shù).這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由.解：這樣的虛數(shù)存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.理由如下：設z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋eq\f(5,z)＝a＋bi＋eq\f(5,a＋bi)＝a＋bi＋eq\f(5a－bi,a2＋b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(5a,a2＋b2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(5b,a2＋b2)))i.∵z＋eq\f(5,z)是實數(shù)，∴b－eq\f(5b,a2＋b2)＝0.又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的實部與虛部互為相反數(shù)，∴a＋3＋b＝0.②聯(lián)立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋3＝0，,a2＋b2＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，))故存在虛數(shù)z，z＝－1－2i或z＝－2－i滿足條件.二、專項培優(yōu)練(一)易錯專練——不丟怨枉分1.△ABC的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，若復數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點為△ABC的()解析：選D由幾何意義知，復數(shù)z對應的點到△ABC的三個頂點距離相等，z對應的點是△ABC的外心.z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.(－1,1)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)解析：選B∵|z1|＝eq\r(a2＋4)，|z2|＝eq\r(5)，∴eq\r(a2＋4)＜eq\r(5)，即a2＋4＜5，∴a2＜1，即－1＜a＜1.3.若1＋eq\r(2)i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個復數(shù)根，則b＝________，c＝________.解析：∵實系數(shù)一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一個虛根為1＋eq\r(2)i，∴其共軛復數(shù)1－eq\r(2)i也是方程的根.由根與系數(shù)的關(guān)系知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\r(2)i＋1－\r(2)i＝－b，,1＋\r(2)i1－\r(2)i＝c，))∴b＝－2，c＝3.答案：－23(二)交匯專練——融會巧遷移4.[與集合交匯]已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，則實數(shù)m的值為________.解析：∵M