AAAA題目：矩陣方程AX+XB=D的極小范數(shù)最小二乘解姓 名學(xué) 號(hào) 指導(dǎo)教師 專 業(yè)學(xué) 院 摘要矩陣?yán)碚摷仁菍W(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是一門最有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)理論。它不僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支，而且也已經(jīng)成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的強(qiáng)有力的工具。特別是計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，為矩陣論的應(yīng)用開辟了廣闊的前景。例如，系統(tǒng)工程、優(yōu)化方法以及穩(wěn)定性理論等，都與矩陣論有著密切的聯(lián)系。當(dāng)前，在矩陣?yán)碚擃I(lǐng)域，對(duì)矩陣方程解的研究一直是最熱點(diǎn)的問題之一，矩陣方程及其解的問題在生物學(xué)、電學(xué)、光子光譜學(xué)、振動(dòng)理論、線性最優(yōu)控制等很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。矩陣方程AX+XB二D解的研究與探索更是沒有間斷過，可見該方程的求解問題確實(shí)是一個(gè)非常重要的課題。本文將圍繞該命題展開討論，利用矩陣的直積(Kronecker積)、按行拉直和矩陣的滿秩分解等算法解出矩陣方程AX+XB二D的極小范數(shù)最小二乘解，并且它可由Moore-Penros^eA+表出。關(guān)鍵詞：矩陣方程極小范數(shù)最小二乘解矩陣的直積(Kroneck積)滿秩分解算法Moore-Penrose逆A+ABSTRACTMatrixtheoryisthefoundationoflearningclassicalmathematics,aswellasoneofthemostmeaningfulmathematicaltheories.Itisnotonlyanimportantbranchofmathematics,butalsohasbecomeapowerfultoolofhandlingmanyrelationshipsbetweenthefinitedimensionspacestructuresandquantitiesinvarityfieldsofmoderntechnology.Theextensiveuseofcomputerhasbroughtabrightprospecttotheapplicationofmatrixtheory.Manyproblemhavecloserelationwithmatrixtheory,suchassystemengineering,optimizationmethod,stabilitytheory,andsoon.Nowadays,theresearchonmatrixequationshasbeenturningintooneofthehottesttopicsinmatrixtheory.Itiswidelyusedindifferentareas,forexample,biology,electrics,spectroscopy,vibrationtheory,linearoptimalcontrol,etc.AndpeoplehaveresearchedandexploredthesolutionofmatrixequationAX+XB=Dallthetime,whichmeansthesubjectstudyisabsolutelycrucial.Thispaperdiscussestheavailablesolutionsofmatrixequation,usingKroneckerproduct,fullrankdecompositionofmatrixtoobtaintheminimalnormleastsquaressolutionofmatrixequationAX+XB=D.AnditcanbeexpressedbyMoore-Penroseinverse1+.Keywords:matrixequation;theminimumnormleastsquaressolution;Kroneckerproduct;fullrankfactorizationalgorithm;Moore-PenroseinverseA+目錄TOC\o"1-5"\h\z摘要 0ABSTRACT 1\o"CurrentDocument"緒論 4李雅普諾夫矩陣方程AX+XB=D應(yīng)用背景及研究現(xiàn)狀 4本文的主要工作 4符號(hào)說明 5\o"CurrentDocument"預(yù)備知識(shí) 7矩陣的范數(shù) 7矩陣范數(shù)的定義 7矩陣范數(shù)的性質(zhì) 7矩陣的直積及其應(yīng)用 9直積的概念 9矩陣直積的性質(zhì) 10線性矩陣方程的可解性 10矩陣的滿秩分解 11矩陣滿秩分解的定義 11矩陣滿秩分解的性質(zhì) 11廣義逆矩陣的存在和性質(zhì) 13Penrose的廣義逆矩陣定義 13廣義逆矩陣的性質(zhì) 14Moore-Penrose逆矩陣的計(jì)算 15\o"CurrentDocument"3矩陣方程AX+XB=D的極小范數(shù)最小二乘解 16廣義逆矩陣與線性方程組的求解 16線性方程組極小范數(shù)最小二乘解的定義 16矩陣方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組 17矩陣方程AX+XB=D的求解 18矩陣方程AX+XB=D在相容條件下解的情況 18矩陣方程AX+XB=D不相容時(shí)解的情況 21\o"CurrentDocument"結(jié)論 23致謝 錯(cuò)誤!未定義書簽。\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn) 24緒論矩陣?yán)碚摷仁菍W(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是一門最有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)理論。它不僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支，而且也已經(jīng)成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的強(qiáng)有力的工具。在矩陣?yán)碚擃I(lǐng)域，對(duì)矩陣方程解的研究一直是最熱點(diǎn)的問題之一，而矩陣方程AX+XB=D解的研究與探索更是沒有間斷過，但幾乎所有的結(jié)論要么基于矩陣A,B為特殊矩陣（如對(duì)稱矩陣等）的情形，要么解的表達(dá)形式過于繁瑣。此外，還有一些文獻(xiàn)僅僅只是討論了解的存在性。而在力學(xué)以及控制論等諸多領(lǐng)域利亞普諾夫方程都有著很重要的應(yīng)用?？梢娫摲匠痰那蠼鈫栴}確實(shí)是一個(gè)非常重要的課題，所以，考慮給出該方程的極小范數(shù)最小二乘解的表達(dá)式也是很有必要的。本文將圍繞該命題展開討論，并且最終給出它的重要應(yīng)用 矩陣方程AX+XB=D的最小二乘解以及極小范數(shù)最小二乘解。李雅普諾夫矩陣方程AX+XB=D應(yīng)用背景及研究現(xiàn)狀在科學(xué)與工程中，經(jīng)常會(huì)遇到求解線性方程組的問題。矩陣是描述和求解線性方程組最基本和最有用的數(shù)學(xué)工具。矩陣有很多基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算，如轉(zhuǎn)置、內(nèi)積、外積、逆矩陣、廣義逆矩陣等。矩陣方程及其解的問題在生物學(xué)、電學(xué)、光子光譜學(xué)、振動(dòng)理論、有限元、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、參數(shù)識(shí)別、自動(dòng)控制理論、線性最優(yōu)控制等很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，正是這些領(lǐng)域提出了許多不同類型的線性矩陣方程的模型問題刺激了理論的快速發(fā)展,使得線性矩陣方程的求解問題成為當(dāng)今計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的熱門研究課題之一，經(jīng)過國(guó)內(nèi)外的專家和學(xué)者的不斷探索,迄今為止，線性矩陣方程問題的研究已取得了一系列豐碩的成果。對(duì)于矩陣方程AX+XB=D,1955年，Penrose得到了它有一般解的充要條件和通解表達(dá)式；1994年，黃禮平博士研究了四元數(shù)體上方陣的標(biāo)準(zhǔn)形與矩陣方程AX+XB=D的問題；2002年，馬飛博士研究了矩陣方程AX+XB=D的迭代解法問題,得出方程在不同精度下的解并給出迭代所需步數(shù)；2004年,袁永新教授研究了矩陣方程AX+XB=D的最優(yōu)解問題。本文的主要工作論文第一章簡(jiǎn)要的介紹了利亞普諾夫方程研究的實(shí)際背景及研究現(xiàn)狀；第二章介紹了已有的主要結(jié)果、范數(shù)理論、矩陣的直積（Kronecker積）、按行拉直和矩陣的滿秩分解算法等。第三章為本文的主要工作，本文根據(jù)直積的定義及性質(zhì)可以將矩陣方程AX+XB=D拉直為一般的線性方程組，以此為基礎(chǔ)，求解經(jīng)過按行向量拉直轉(zhuǎn)化得到

的線性方程組，解出該方程的極小范數(shù)解和最小二乘解，雖然最小二乘解一般不是唯一的，但是極小范數(shù)最小二乘解確實(shí)唯一的，并且它可由Moore-Penrose逆A+表出。若矩陣方程AX+XB=D不相容，則它的極小范數(shù)最小二乘解需滿足min||X||minllAX+XB一DII求出的X即為矩陣方程AX+XB=D極小范數(shù)最小二乘解。第四章給出了結(jié)論，最后是本文的參考文獻(xiàn)與致謝。1.3符號(hào)說明1.3符號(hào)說明RRnRmxnRmxnrCCnCmxnCmxn

rdetAVnR(A)rankATe(x,y)L(x,x，…，x)12 nATAH(A)ij|A|AFcond(A)IMp實(shí)n維向量空間實(shí)mxn矩陣空間秩為r的實(shí)mxn矩陣的集合復(fù)數(shù)域復(fù)n維向量空間復(fù)mxn矩陣空間秩為r的復(fù)mxn矩陣的集合矩陣A的行列式n維線性空間矩陣A的值域，A的列空間矩陣A的秩單位變換向量x與向量）的內(nèi)積向量x,x，…,x生成的子空間12 n矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣A的i行j列處的元素矩陣A的任意范數(shù)矩陣A的Frobenius范數(shù)矩陣A的條件數(shù)向量x的p-范數(shù)九或九(A) 矩陣A的第，個(gè)特征值iiA區(qū)B 矩陣A與矩陣B的直積嬴(A) 矩陣A按行拉直所得到的列向量A+ 矩陣A 的Moore-Penrose 逆A# 矩陣A的群逆預(yù)備知識(shí)矩陣的范數(shù)在計(jì)算數(shù)學(xué)中，特別是在數(shù)值代數(shù)中，研究數(shù)值方法的收斂性、穩(wěn)定性及誤差分析等問題時(shí)，范數(shù)理論都顯得十分重要。本章主要討論矩陣空間。〃X〃中的矩陣范數(shù)的理論及其性質(zhì)。矩陣空間CmXn是一個(gè)mn維的線性空間，將mXn矩陣A看做線性空間CmXn中的“向量”可以按照定義夕-范數(shù)的方式定義A的范數(shù)。但是，矩陣之間還有乘法運(yùn)算，它應(yīng)該在定義范數(shù)時(shí)予以體現(xiàn)。2.1.1矩陣范數(shù)的定義定義2.1設(shè)AGCmXn，定義一個(gè)實(shí)值函數(shù)網(wǎng)，它滿足以下三個(gè)條件（1）非負(fù)性：當(dāng)A豐0時(shí)，||A||>0;當(dāng)A=0時(shí)，||A||二0;（2）齊次性：河||=|44〃gc;（3）三角不等式：IA+B<||A||+|B||,BGCmXn，則稱網(wǎng)為A的廣義矩陣范數(shù)。若對(duì)CmXn，Cnx/，及Cmx/上的同類廣義矩陣范數(shù)臚，有（4）相容性：||AB||<||A||+||B||,BgCnxx則稱A為A的矩陣范數(shù)。2.1.2矩陣范數(shù)的性質(zhì)同向量的情況一樣，對(duì)于矩陣序列也有極限的概念：設(shè)有一個(gè)矩陣序列｛A（左）｝，其中A（k）GCmXn，k=1,2,…。用a（k）記A（k）的第i行第j列的元素，且a（k）都有極限a，則ij ij ij稱A（k）有極限A=（a），或稱A（k）收斂于矩陣A，記為ijlimA（k）=A或A（k）fAx-8不收斂的矩陣序列稱為發(fā)散的。于是可以證明：A（k）fA的充要條件是帆k）-A|f0。由定義2.1的條件（3），可以證明下列不等式1 A-BII1<1lA-B由此可以證明矩陣范數(shù)的連續(xù)性，即由A（k）fA可以推出||A（k）|1f冏事實(shí)上，由上面的論述知，當(dāng)A（k）fA時(shí)，（A（k）-A|f0,但是||A（k）||-||A|| |<||A（K）-A|于是當(dāng)a（k）—at0時(shí)，便有1a（k）/A。推論2.1已知A=（推論2.1已知A=（〃）eCnxn，可證明下面二函數(shù)ijA都是Cnxn上的矩陣范數(shù)。，固m8ij證對(duì)于函數(shù)科II而言，它顯然具有非負(fù)性與齊次性，現(xiàn)僅就三角不等式與相容性m加以驗(yàn)證于下1||A+Bll=Z|a+b?Z(Ia+b)

"m 1ijij 1ijij1 i,j=1 i,j=1=^^lajl+^^^7.|=l|A|l+Bj j mmi,j=1 i,j=1 1 1l|AB||m14i,j=1ab+abH l|AB||m14i,j=1ab+abH Fabi11ji22jinnj-Z(lai1i,j=1H Fain/1i1i=1aRZ1in1j+—Fbnjj=1=i,j=1?^^^,

j,i=1=IIAII因此，A是A的矩陣范數(shù)。m但是，在數(shù)值方法中進(jìn)行某種估計(jì)同理可證，IIA也是A的矩陣范數(shù)。m8但是，在數(shù)值方法中進(jìn)行某種估計(jì)如同向量范數(shù)一樣，矩陣范數(shù)也是多種多樣的。時(shí)，遇到的多數(shù)情況是，矩陣范數(shù)常與向量范數(shù)混合在一起使用，而矩陣經(jīng)常是作為兩個(gè)線性空間上的線性映射（變換）出現(xiàn)的。因此，考慮一些矩陣范數(shù)時(shí)，應(yīng)該使他能與向量范數(shù)聯(lián)系起來。這可由矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容的概念來實(shí)現(xiàn)。下面引入這一概念。TOC\o"1-5"\h\z定義2.2對(duì)于Cmxn上的矩陣范數(shù)||7和Cm與Cn上的同類向量范數(shù)||?||,如果 M V網(wǎng)VSAM

(2.1)則稱矩陣范數(shù)II?ll與向量范數(shù)II?II是相容的。M V定理2.1設(shè)AeCmxn，且PeCmxn與QeCmxn都是酉矩陣，則IPAI=1All=1IAQIIF F F即給A左乘或右乘以酉矩陣后其||?II值不變（在AeRmxn時(shí)，P和Q都是正交矩陣）。F證若記A的第j列為a（j=1,2,3,…,n），則有j

即pa=iaF。于是FF=|(Pj=i12n即pa=iaF。于是FF=|(Pj=i12na,Pa，…,Pa)Paj『二W2 j=1AQII=||( "II=|QF FhAh=HF=Ia，F(xiàn)推論2.2和A酉（或正交）相似的矩陣的F-范數(shù)是相同的，即若B=QhAQ，則IlBll=1|A||,其中Q是酉矩陣。F F矩陣的直積（Kronecker積）在矩陣的理論研究和計(jì)算方法中都有十分重要的應(yīng)用。特別地，運(yùn)用矩陣的直積運(yùn)算，能夠?qū)⒕€性矩陣方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組進(jìn)行討論或計(jì)算。2.2.1直積的概念首先從簡(jiǎn)單的例子開始。設(shè)有二元向量（e,e）t和三元向量（n,n,nH，他們分別經(jīng)aab11b12b13a=1112，B=bbbaaab11b12b13a=1112，B=bbbaa2122232122bbbL3132331 2的變換，變成向量（e',e'）t和（n12123一￡In'1-n1=a_1 ，n'=Bne222n:n即有t，3」e'1e'23」現(xiàn)在考慮以這兩個(gè)向量的分量乘積為分量的六元向量u=（en,en,en,en,en,en11 12 13 21 22 23由假設(shè)經(jīng)過怎樣的線性變換可以變成六元向量v=(en',en',en',e'n',e'n',e'n')11 12 13 21 22 23故有e'=ae+ae,i=1,2i i11i22n'=bn+bn+bn,j=1,2,3j j11 j22 j33en'=aben+aben+aben+abe「+abenij i1j111 i1j21+abeni2j323于是所求變換的矩陣為六階矩陣i1j313 i2j121 i2j222(i=1,2,j=1,2,3)aBaB

1112aBaB21 22一般地，引進(jìn)以下的定義。定義2.3設(shè)A=(a)eCmxn,B=(b)eCpxq,則稱如下的分塊矩陣ij ijaB

11

aB21aBaB

11

aB21aB12aB22aB1naB2neCmpxnq（2.2）aBaB…aB

m1 m2 mn為A與B的直積(Kronecker積)。A笆B是一個(gè)mxn塊的分塊矩陣，所以式（2.2.1）還可簡(jiǎn)寫為（2.3）A（2.3）A區(qū)B=(aB)

ij2.2.2矩陣直積的性質(zhì)矩陣的直積具有以下性質(zhì)。(1)k(A區(qū)B)=(kA)區(qū)B=A區(qū)(kB)(2)設(shè)(2)設(shè)A與A為同階矩陣，則12TOC\o"1-5"\h\z(A+A)二B=A二B+A二B12 1 2(3)(4)（5）（6）B區(qū)(A+A)=B區(qū)A+B區(qū)(3)(4)（5）（6）B=(b(1)) ,B=(b(2))1ij p1B=(b(1)) ,B=(b(2))1ij p1xq1 2ij p2xq2設(shè)A=(a⑴) ,A=(a⑵)1ij m1xn1 2ijm2xn2且n=m,q=p，貝U1 21 2（A區(qū)B）（A區(qū)B）=（AA）區(qū)（BB）。

1 1 2 2 12 12設(shè)A與B都可逆，則（A二B）-i=A-i二B-imxm nxn設(shè)A與B都是上三角（下三角）矩陣，則A兇B也是上三角（下三角）矩mxm nxn陣。（7）（A二B）h=Ah二Bh（8）設(shè)A與B都是正交（酉）矩陣，則A笆B也是正交（酉）矩陣。mxn mxn2.2.3線性矩陣方程的可解性在系統(tǒng)控制等工程領(lǐng)域，經(jīng)常遇到矩陣方程AX+XB=D （2.4）的求解問題，其中AeCmxm,BeCnXn,DeCnxn為以知矩陣，而XECmxn，為未知矩陣，一般地線性矩陣方程可表示為工AXB=Fiii=1

其中AGCmxp,BGCqxn,FGCmxn為已知矩陣，而XGCpxq為未知矩陣。ii下面利用矩陣直積的性質(zhì)，研究矩陣方程(2.5)的可解性問題。設(shè)A=(a) ,BGCqxn，并記XGCpxq的第i行為xT(i=1,2,...,p)及ijmxp ivec(X)=(xT,xT,…，xT)t12 p則有AXB=(axT+axTH FaxT)Bi11 i22 ipp從而vec(AXB)=BT(vec(AXB)=BT(ax

i1Haxi22H Fax)ippaBT

11aBT1paBT

m1aBT

mp=(A③BT)vec(X)定理2.2方程(2.5)有解的充要條件是嬴(F)gR(Xa⑤BT)，這里，R(A)表示ii矩陣A的列空間。定理2.3設(shè)A矩陣A的列空間。定理2.3設(shè)A的特征值為九,九，…,九i=1mxm12B的特征值為日，四，…平nxn12，則方程nAX+XB=F有惟一解的充要條件…/0(i=以…,m,j=12…,n)。2.3矩陣的滿秩分解本節(jié)論述將非零矩陣分解為列滿秩矩陣與行滿秩矩陣的乘積問題。矩陣滿秩分解的定義定義2.4設(shè)AGCmxn(r>0)，如果存在矩陣FGCmxr和GGCrxn，使得r rrA=FG則稱式(2.6)為矩陣A的滿秩分解。當(dāng)A是滿秩(列滿秩或行滿秩)矩陣時(shí)，A可分解為一個(gè)因子是單位矩陣，另一個(gè)因子是A本身，稱此滿秩矩陣分解為平凡分解。2.3.2矩陣滿秩分解的性質(zhì)矩陣的滿秩分解有下列性質(zhì)：定理2.4設(shè)AGCmxn（r>0），則A有滿秩分解（2.6）。r證當(dāng)rankA=r時(shí)，根據(jù)矩陣的初等變換理論，對(duì)A進(jìn)行初等變換，可將A化為階梯形矩陣B，即, 「G一「「A行~BB= ,GGCrxn0r于是存在有限個(gè)m階初等矩陣的乘積，記作P，使得PA=B或者A=P-1B將P-1分塊為P-1=[F：S],FGCmxr,SGCmx（n-r）

r n-r則有.一「GIA=P-iB=[F:S]0=FG其中F是列滿秩矩陣，G是行滿秩矩陣。 證畢需要指出的是，矩陣A的滿秩分解（2.6）不是唯一的。這是因?yàn)槿羧是任意一個(gè)r階非奇異矩陣，則式（2.6）可改寫為A=（FD）（D-iG）=FG這是A的另一個(gè)滿秩分解。在求列滿秩矩陣F時(shí)，需要求出矩陣P及其逆矩陣P-1，這是十分麻煩的。為了避免這些運(yùn)算，引入下面的定義。定義2.5設(shè)BGCmxn（r>0）,且滿足r（1）B的前r行中每一行至少含一個(gè)非零元素，且第一個(gè)非零元素是1,而后m-r行元素均為零;TOC\o"1-5"\h\z⑵若B中第i行的第一個(gè)非零元素1在第4列（i=1,2，…,r），則j<j<j；i 12 r（3）B中的j1,j2,…:j列為單位矩陣I的前r列，那么就稱B為Hermite標(biāo)準(zhǔn)形。12 r m定義2.6以n階單位矩陣I的n個(gè)列向量匕，e2，一'e為列構(gòu)成的n階矩陣nP-（e,e，…，e） （27）j1j2 jn （2.7）稱為置換矩陣，這里j1，j2,…，j是1,2，…,n的一個(gè)排列。定理2.5設(shè)AGCmxn（r>0）的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形為B（如定義2.5），那么，在A的r滿秩分解（2.6）中，可取F為A的j1，j2,…，jr列構(gòu)成的mxr矩陣，G為B的前r行構(gòu)成的rxn矩陣。證由A-B知，存在m階可逆矩陣P，使得PA-B或者A-P-1B根據(jù)定理，將P-1分塊為P-1-[F：S],FGCmxr,SGCmx（n-r）

r n-r

可得滿秩分解A=FG,其中G為B的前r行構(gòu)成的rxn矩陣。下面確定列滿秩矩陣F。參照A的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形B，作n階置換矩陣P=(e,…，e,e1 j1 jP=(e,…，e,e1 j1 jrjr+1劃分A=(a,a，…,a),B=(b,b，…,b),則有,…e)

jn12 n12 nAP=(a,…,a1 j1,ajr jr+1…,a)

jnBP=(b，…,b1 j1 j其中B12GCrx(n-r)。再由A二P-1B可得,bjr+1，…,bj)=B12OAP=P-i(BP)二[FS]OB12O=[FFB]12證畢(i)(ii)(iii)(iv)陣滿足四個(gè)Penrose證畢(i)(ii)(iii)(iv)陣滿足四個(gè)Penrose方程。若r>0，由定理知，A可進(jìn)行奇異值分解即F為AP的前r列構(gòu)成的矩陣，也就是A的?j,j列構(gòu)成的矩陣。1 12 r2.4廣義逆矩陣的存在和性質(zhì)Penrose的廣義逆矩陣定義定義2.7設(shè)矩陣AGCmxn，若矩陣XGCn義m滿足如下四個(gè)Penrose方程AXA=AXAX=X

(AX)H=AX(XA)h二XA則稱X為A的Moore-Penrose逆，記為A+。定理2.6對(duì)任意AGCmxn，A+存在且唯一。A=UDVh其中o>0(i=1,…,r)是A的奇異值，io?I???r.二 iOU和A=UDVh其中o>0(i=1,…,r)是A的奇異值，io?I???r.二 iOU和V分別是m階和n階酉矩陣。容易驗(yàn)證0-11\O\O-1-，???2????;_ iO滿足四個(gè)Penrose方程。可見，A+總是存在的。nxmUH唯一性設(shè)X,y均滿足方程(i)?(iv),則X=X(AX)H=XXhAh=X(AX)H(AY)h=XAY=(XA)H(YA)hY=AhYhY=(YA)HY=Y證畢廣義逆矩陣的性質(zhì)廣義逆矩陣有以下性質(zhì)定理2.7設(shè)AeCm義n,BeCn義p,九eC，貝(1)(A(1))HeAH{1};(2)九+A(i)eAh*}；(3)若S和T非奇異，則T-iA(i)S-ie(SAT)&}；rankA⑴>rankA；AA(i)和A(i)A均為冪等矩陣且與A同秩；R(AA(1)=R(A),N(A(1)A)=N(A),R((A(i)A)H=R(AH)定理2.8給定矩陣A和XeA4},則XeA42}的充要條件&nkX=rankA證充分性顯然R(XA)eR(X),若rankX=rankA，由定理2.6之(5)得rank(XA)=rankX=rankA所以R(XA)=R(X),即存在矩陣Y使得X=XAY從而 XAX=XA(XAY)=XAY=X必要性因?yàn)锳和X互為{1,2}-逆，有定理(2.4.2)之(4)即得。證畢定理2.9設(shè)矩陣A給定，則(1)rankA+=rankA(2)(A+)+=A(3)(AH)+=(A+)H,(AT)+=(A+)T；(4)(AHA)+=A+(AH)+,(AAH)+=(AH)+A+；(5)A+=(AHA)+AH=AH(AAH)+；(6)R(A+)=R(AH),N(A+)=N(AH)推論2.2若AeCmxn，貝I」A+=(AHA)-iAH若AeCmxn，貝I」mA+=Ah(AAh)-1推論2.3設(shè)a為n維列向量，且aw0，貝a+=(aha)-1ah而(ah)+=(a+)h=a(aha)-12.4.3Moore-Penrose逆矩陣的計(jì)算假定mxn矩陣A的秩為r，其中r<min(m,n)，下面介紹求Moore-Penrose逆矩陣A+的一種方法，滿秩分解法。前面已經(jīng)介紹過矩陣AGCmxn的滿秩分解的概念，并給出了用初等變換進(jìn)行滿秩分r解的方法。設(shè)AgCmxn(r〉0)的滿秩分解為rA=FG(2.12)其中FGCmxr,GGCrxn,那么可以按照下述定理給出的結(jié)論計(jì)算廣義逆矩陣。rr定理2.10設(shè)AGCmxn(r>0)的滿秩分解為式(2.12),則G(i)F(1)GA±}i=1,2,4;G(1)F(i)gA±}i=1,2,3;G(1)F+gA{1,2,3),G+F(1)gA{1,2,4);A+=G+F(1,3)=G(1,4)F+A+=G+F+=Gh(GGh)-1(FhF)-1Fh=Gh(FhAGh)-1Fh證由定理知F(1)F=GG(1)=Ir根據(jù)定義容易驗(yàn)證(1),(2)成立。(3)可由(1),(2)直接得到。(其中F+與G+分別換成F(1,2,3)與G(124)時(shí)，結(jié)論仍成立。)(4)由(3)知，X=G+F(1,3)gA&24},又因?yàn)?AX)h=(FGG+F(1,3))h=(FF(1,3))h=FF(1,3)=AX所以XgA11,2,3,4)另一式可類似的證明。(5)由(4)知，G+F+=A+，載根據(jù)式A+=(AhA)-1Ah和A+=Ah(AAh)-1可推得其他結(jié)論。3矩陣方程AX+XB=D的極小范數(shù)最小二乘解廣義逆矩陣與線性方程組的求解線性方程組極小范數(shù)最小二乘解的定義考慮非齊次線性方程組Ax=b其中AGCmxn,bGCn給定，而X￡C為待定向量。如果存在向量X使方程組（3.1）成立，則稱方程組相容，否則稱為不相容或矛盾方程組。關(guān)于線性方程組的求解問題，常見的有以下幾種情形。（1）方程組（3.1）相容的條件是什么？在相容時(shí)求出其通解（若解不唯一的話）。（2）如果方程組（3.1）相容，其解可能有無窮多個(gè)，求出具有極小范數(shù)的解，即min||x||Ax=b其中II?II是歐氏范數(shù)?？梢宰C明，滿足該條件的解是唯一的，稱之為極小范數(shù)解。（3）如果方程組（3.1）不相容，則不存在通常意義下的解。但在許多實(shí)際問題中，需要求出極值問題min||Ax一b|| （3.3）xGCn的解x，其中||?||是歐氏范數(shù)。稱這個(gè)極值問題為求矛盾方程的最小二乘問題，相應(yīng)的x稱為矛盾方程的最小二乘解。（4）一般說來，矛盾方程的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解得集合中，具有極小范數(shù)的解min||x|| （3.4）miJAx一b是唯一的，稱之為極小范數(shù)最小二乘解。廣義逆矩陣與線性方程的求解有著極為密切的關(guān)系。利用廣義逆矩陣可以給出上述

諸多問題的解，反之由線性方程的解又可以確定廣義逆矩陣。3.1.2矩陣方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組對(duì)比較復(fù)雜的矩陣方程的求解，我們通常要用按行向量拉直的方法將矩陣方程轉(zhuǎn)化為線性方程組，把矩陣方程化成Ax=b的形式，然后再討論矩陣方程解的情況。設(shè)AGCmXP,XGCPXq,BGCqXn，X的第i行為XT,則X可表示為由此可得XT1XT2XTpAXB=a11a21a12由此可得XT1XT2XTpAXB=a11a21a12a22vec(X)=apapaxt+a111XT12 2x1X2=(tXT1XT2XTp」+…+axt1PPxt2XTPaxt+axt+…axtm1 1 m2 2 mPP(axt+axt+…+axt)B11112 21PP11112 2所以Bt(aX111+ax+…12 2…+ax)1ppB所以Bt(aX111+ax+…12 2…+ax)1ppBt(aXm1+ax+?1 m2 2…ax)mppBtaX111+Btax+12 2……+BtaBtaX+BtaX+…Btavec(AXB)=m11m2 2X1PP(axt+axt+…axt)Bm1 1 m2 2 mPPXmppa11Btx+aBtx+…+aBtx12aBtx

m1+aBtx+…aBtxmPaBt

11aBt

m12a=(A⑤Bt)vec(X)a由上面推理可得vec(AX+XB)=(A兇I+I兇Bt)vec(X)

即矩陣方程AX+XB=D按行向量拉直后為(A③I+I③Bt)詼(X)=嬴(D)令(A⑤It+I⑤Bt)為G,vec(X)為了,定(D)為c，則矩陣方程AX+XB=D可寫成等價(jià)形式Gx=c3.2矩陣方程AX+XB=D的求解考慮將矩陣方程AX+XB=D(其中A,B,X,DgCnxn)，按行向量拉直后有(a③I+1③bt)vec(x)=vec(d)，即aI1naInnaI1naInnBT0十:,0??0]:0x1xj—--dd：20BtJxxd—1nn0Bt這里xT表示X的第i行，dT表示D的第i行。i i經(jīng)整理得aI+BtaI…aIx「d]11aI12aI+Bt1n：x1d12122aI:2—-：2aI…aIn-1,naI+Btxxdn1n,n-1nnnn3.2.1矩陣方程AX+XB=D在相容條件下解的情況在本節(jié)主要考慮矩陣方程AX+XB=D在相容條件下解的情況，并且其中AgCmxm與BGCnXn。由前面分析知道，這時(shí)矩陣方程成為(A區(qū)I+1區(qū)Bt)嬴(X)=嬴(D)nm可知該矩陣相容的條件是R(A區(qū)I+1?Bt)=R(A區(qū)I+1區(qū)B,vec(D))，它有唯一解nm nm當(dāng)且僅當(dāng)矩陣(A區(qū)I+1區(qū)Bt)為非奇異矩陣。nm定理3.1設(shè)AGCmXm與BGCnxn，則當(dāng)且僅當(dāng)九十日豐0，其中九與日分別是A和Bij ij的特征值，矩陣方程AX+XB=D有唯一解。證明矩陣方程AX+XB=D有唯一解Ovec(AX+XB)-vec(D)有唯一解o(a區(qū)I+1區(qū)bt)vec(x)-vec(d)有唯一解嬴(x)nmodet(A區(qū)I+1區(qū)Bt)牛0nm令f(x,y)=xiy0+x。尸，并注意Bt與B的特征值完全相同，由f(A,Bt)-A③In+I③Bt的特征值為f(X,R)=九十日，故m ijijdet(A區(qū)I+1區(qū)Bt)中0oX+Rw0nm ij

其中i=1,2，…,m;j=1,2，…,n。 證畢推論3.1設(shè)AmXm的特征值為九,九,…,九,B的特征值為從,從，…,從，則齊次方12 m nxn 12 n程AX+XB=0有非零解的充要條件是存在i與j使九十從=0。00 i0 j0雖然上述定理給出了矩陣方程AX+XB=D有唯一解的充分與必要條件，但要寫出它們解矩陣X的明顯表達(dá)式一般是不容易的。若AeCmXm與BeCnXn為穩(wěn)定矩陣，即所有特征值的實(shí)部小于零的矩陣，則AX+XB=D的解X有明顯的表達(dá)式。定理3.2設(shè)AeCmXm與BeCnXn為穩(wěn)定矩陣，且DeCmXn給定。則線性矩陣方程AX+XB=D有唯一解X，并且，X=—feAtDeBtdt (3.5)證本定理的假定保證了A與-B沒有相同的特征值，因而按定理3.1,AX+XB=D有唯一解X?，F(xiàn)考慮初值問題Z(t)=AZ(t)+Z(t)B,Z(0)=D (3.6)式中，Z(t)eCmXn為定義在［0,+8)上的矩陣值函數(shù)。直接驗(yàn)證可得，Z(t)=eSt為問題(3.6)的解。即有自t=0到t=8對(duì)方程(3.6)的兩端求積分便有Z(8)-Z(0)=AJ8Z(t)dt+(J8Z(t)dt)題(3.6)的解。即有A(-J8eAtCeBtdt)+(-J8eAtCeBtdt)B=D-Z(8).00只需驗(yàn)證上式中因此，為了證明由(3.5)式確定的X為AX+XB=D的解，只需驗(yàn)證上式中l(wèi)imeAt=0對(duì)任意穩(wěn)定矩陣A成立。但按普分確t—8Z(8)limeAt=0對(duì)任意穩(wěn)定矩陣A成立。但按普分確t—8定理，我們有eAt=Zmk-tje九kteAtik=1 j=0式中，九,九,…,九為A不同的特征值，m,m，…,m分別為它們的指標(biāo)，E為A的分1 2 s 1 2 s kj量?，F(xiàn)令九=a+ip，a與0分別為九的實(shí)部和虛部。按A為穩(wěn)定矩陣的假設(shè)，kkkkk ka<0,k=1,2，…,s，因而ktje九k=tjeakt-0,t-8.于是，limeAt=0。所以結(jié)論成立。前甯我們討論了AX+XB=D有解與有唯一解的條件，現(xiàn)在討論當(dāng)此方程有解時(shí)，解的結(jié)構(gòu)形式。具體步驟如下。首先取B=-A,C=O，我們得到如下特殊的矩陣方程：AX=XA, AeCnXn (3.7)求解方程(3.7)等價(jià)于尋求與AeCnxn可交換的所有矩陣。顯然，方程(3.7)有無限多個(gè)解。事實(shí)上，Xep(A)(p(A)為復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式)總是它的解。在下面定理3.3中將給出方程(3.7)的解的表達(dá)式，接著，應(yīng)用這個(gè)結(jié)果討論AX+XB=O解的表達(dá)式與它的解空間的構(gòu)造。由于AX+XB=D的解可以表示為齊次方程AX+XB=O的同解與

非齊次方程AX+XB=D某個(gè)特解之和，故最后我們只要討論AX+XB=D有解的條件即可。定理3.3設(shè)AeCnxn有形式A=PJPt,這里J=diag[J,J，…,J]為A的Jordan12 p正規(guī)形式，J,J，…,J分別是對(duì)應(yīng)于A的特征值九,九，…,九的Jordan塊。則XeCnxn12 p 12 p為方程（3.7）解的充分與必要條件為X=PYP-1,其中，Y=[Y]是與J有相同分塊形式st的分塊矩陣。接著考慮齊次線性矩陣方程AX+XB=O （3.8）的解的形式。主要的技巧是將它歸結(jié)為前面討論過的問題。顯然，方程（3.8）有解。假定X為它的解，則可以驗(yàn)證（3.9）則X（3.9）則X必定為方程（3.8）的mOIn可交換，反之，若（3.9）式中兩個(gè)（m+n）階矩陣可交換，解。因此，對(duì)（3.9）式中這兩個(gè)矩陣應(yīng)用定理3.3的結(jié)果，我們有J=P-1AP=diag[XI+N，…，入I+N]，A 1kk pkk1 1 p kpJ=Q-1AQ=diag[^I+N，…，RI+N]，B 1rr qrr1 1 qr則矩陣方程(3.8)的任意解X有形式X=PYQ-1,其中Y=[Yq]pq(YeM(C))是sts,t=1 k,r矩陣方程JY+YJ=O的一般解。 'AB類似地，將推論應(yīng)用到矩陣方程O-Xnn（3.10）O-Xnn（3.10）我們有如下結(jié)果推論3.2矩陣方程（3.8）的一般解呈如下形式：X=X推論3.2矩陣方程（3.8）的一般解呈如下形式：X=XavX，ii式中，X，…,X為方程（3.8）的線性無關(guān)解，而1aa立Xa，st這里，a（1<s<p,1<t<q）為A的初等因子（X-X）ks與一B的初等因子（X+日）rst s t（3.11）（3.12）

的最大公因式的次數(shù)。我們順便指出，（3.12）式中a恰為（3.8）解空間的維數(shù)，因而也等于dim（KerG）,其中G=（A區(qū)I+1?Bt）=A十Bt。nm最后考慮一般非齊次矩陣方程AX+XB=D （3.13）它等價(jià)于線性代數(shù)方程組Gx=c，于是，G=A十Bt，x=詼（X）與c=VeC（D），因此，若方程（3.10）可解，則它的解或是唯一的，或有無限多個(gè)，且一般解為方程（3.8）的一般解與方程(3.10)的某個(gè)特解之和。下面的基本結(jié)果應(yīng)用非構(gòu)造性辦法給出方程(3.10)有解得充分與必要條件。顯然，它相當(dāng)于rankG=rankG:c]3.2.2矩陣方程AX+XB=D不相容時(shí)解的情況當(dāng)R(A區(qū)I+1區(qū)Bt)中R(A區(qū)I+1區(qū)B,vec(D))即相當(dāng)于nmrankG豐rankG:c」時(shí)，稱矩陣方程AX+XB=D不相容，此方程組為矛盾方程組。當(dāng)矩陣方程不相容時(shí)可求出該方程的最小二乘解min||AX+XB-D||XGCm義n一般說來，矛盾方程的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有極小范數(shù)的解min X||miniAX+XB-D11是唯一的，稱之為極小范數(shù)最小二乘解。要求解上述矩陣方程的極小范數(shù)最