2022-2023學(xué)年浙江省寧波市慈溪市高二上學(xué)期2月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線在x軸上的截距是（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)直線在坐標(biāo)軸上的截距的定義，建立方程，可得答案.【詳解】將代入直線方程，可得，解得.故選：C.2．雙曲線的一個焦點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合a，b，c的關(guān)系求出c的值即可得到結(jié)論．【詳解】雙曲線的焦點在軸上，且，所以焦點坐標(biāo)為．故選：A.3．某汽車集團公司大力發(fā)展新能源汽車，已知2021年全年生產(chǎn)新能源汽車4500輛，如果在后續(xù)的幾年中，后一年新能源汽車的產(chǎn)量是前一年的，那么2030年全年生產(chǎn)新能源汽車（

）A．輛 B．輛C．輛 D．輛【答案】C【分析】依題意知產(chǎn)量符合等比數(shù)列，且公比，首項為4500，利用等比數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】依題意知產(chǎn)量符合等比數(shù)列，且公比，首項為4500，故2030年產(chǎn)量為．故選：C.4．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在空間直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)表示及對稱性求解.【詳解】點關(guān)于z軸對稱時，z不變，x與y變?yōu)橄喾磾?shù)，所以點關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)為.故選：C.5．如圖，某種探照燈的軸截面是拋物線（焦點F），平行于對稱軸的一光線，經(jīng)射入點A反射過F到點B，再經(jīng)反射，平行于對稱軸射出光線，則入射點A到反射點B的光線距離最短時點A的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由AB過點F，所以當(dāng)AB為通徑即軸時，最小，由此即可求得點A的坐標(biāo).【詳解】由AB過點F，所以當(dāng)AB為通徑即軸時，最小，此時，則，所以，則點A的坐標(biāo)是.“軸時，最小”的證明：法一：設(shè)AB傾斜角為，由，當(dāng)即軸時，；法二：設(shè)，與聯(lián)立得，所以，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：A.6．若直線與圓相交于不同兩點A，B，則弦AB長的最小值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】先求出直線過的定點，且在圓內(nèi)，然后求出圓心和半徑，根據(jù)圓的性質(zhì)得，弦過且時弦長最短，從而可以求解．【詳解】由直線，令，解得，所以直線過定點，又，故在圓內(nèi)．由，記圓心為，半徑，所以，根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)弦過且時弦長最短，此時弦長.故選：B.7．已知數(shù)列滿足：，給出兩個結(jié)論：①；②，則（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】B【分析】由累乘法可得，令即可驗證①成立；由累加法可得，所以，可判斷②不成立.【詳解】解：由，故，又，所以，又，則，累乘得：，所以，①正確；由，則，累加得：，由，故，故②錯誤．故選：B8．已知圓，拋物線，過點作圓M的兩條切線AB，AC，點B，C在拋物線P上，過B，C分別作x軸的平行線交P于F，E兩點，則四邊形BCEF的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)過的直線為，由直線和圓相切求得k，直線與拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理求得B、C的橫坐標(biāo)，得到，進而可得解．【詳解】設(shè)過的直線為：，由直線與圓相切，則，點在拋物線上，聯(lián)立，由題意，點的橫坐標(biāo)為方程的一根，另一根設(shè)為，由韋達定理得，則又，可得B、C的橫坐標(biāo)分別為：，則，故四邊形BCEF的周長為：．故選：C.二、多選題9．在正方體中，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】結(jié)合圖象，利用去表示4個選項中所涉及到的向量，且兩兩垂直，借助數(shù)量積的運算法則得到答案.【詳解】A項：，正確；B項：，連，則，故，正確；C項：，錯誤；D項：，正確．故選：ABD10．已知曲線，則（

）A．M既不可能是拋物線，也不可能是圓B．當(dāng)時，M是一個焦點在x軸上的橢圓C．M不可能是焦點在y軸上的雙曲線D．M可能是兩條平行的直線【答案】ACD【分析】根據(jù)各曲線的定義逐項驗證參數(shù)的取值即可得出答案.【詳解】A項：若M是圓，則，無解，由于無一次項，故不可能是拋物線，正確；B項：若M是焦點在x軸上的橢圓，則無解，錯誤；C項：由，為雙曲線時，此時焦點只能在x軸上，正確；D項：當(dāng)即時，為兩條平行直線，正確．故選：ACD.11．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足：則（

）A． B．C． D．（q為非零常數(shù)，）【答案】AC【分析】借助給賦值可計算，利用遞推式判斷的關(guān)系.【詳解】A項：令，則，又，所以，A正確；B項：令，則，所以，B錯誤；C項：由，所以，所以，C正確；D項：由C知，所以常數(shù)，D錯誤．故選擇：AC.12．已知橢圓，O是坐標(biāo)原點，P是橢圓Q上的動點，是Q的兩個焦點（

）A．若的面積為S，則S的最大值為9B．若P的坐標(biāo)為，則過P的Q的切線方程為C．若過O的直線l交Q于不同兩點A，B，設(shè)PA，PB的斜率分別為，則D．若A，B是Q的長軸上的兩端點，不與重合，且，則R點的軌跡方程為【答案】BCD【分析】對A：根據(jù)題意結(jié)合橢圓縱坐標(biāo)的取值范圍分析運算；對B：設(shè)切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合運算求解；對C：利用點差法分析運算；對D：法一：利用點差法的結(jié)論分析可得，運算求解；法二：利用相關(guān)點法，根據(jù)題意用點的坐標(biāo)求點的坐標(biāo)，運算求解.【詳解】由橢圓可得，設(shè)點，A項：，當(dāng)且僅當(dāng)點為短軸上的頂點時等號成立，A錯誤；B項：顯然過P處切線的斜率存在，設(shè)為，則切線方程為，聯(lián)立方程，消去y得，則，整理得，解得故過P處切線方程為：，即，B正確；C項：設(shè)，則，則，兩式相減得，則，即，C正確；D項：法一：當(dāng)不與重合時，由C知：，∵，，所以，所以，設(shè)，則，，可得，整理得；當(dāng)與重合時，滿足題意，符合上式；綜上所述：R的方程為，D正確.法二：設(shè)，則，可得，∵，解得，由點在橢圓上，可得，則，即，整理得，D正確.故選：BCD.【點睛】方法定睛：求點的軌跡常用方法：1.直接法：設(shè)動點坐標(biāo)，代入其滿足的等式化簡整理；2.定義法：根據(jù)題意分析動點滿足的幾何條件，結(jié)合已知曲線的定義，進而求軌跡方程；3.相關(guān)點法：設(shè)動點坐標(biāo)，用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點的坐標(biāo)，代入相關(guān)點滿足的等式化簡整理；4.參數(shù)法：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，用參數(shù)表示動點坐標(biāo)，再消去參數(shù)，從而得到軌跡方程.三、填空題13．若三條直線與能圍成一個直角三角形，則__________．【答案】或1【分析】由三條直線兩兩垂直，即兩直線的斜率之積為，求解即可.【詳解】顯然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交點，若與垂直，則；若與垂直，則．所以或1．故答案為：或1四、雙空題14．如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于__________m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則圓拱所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．（可用參考數(shù)據(jù)：．）【答案】

3.32

【分析】設(shè)拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，由可求得，圓心，可得圓的方程；由題意設(shè)，代入圓的方程可求支柱的高度．【詳解】設(shè)拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，如圖，則，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．由題意設(shè)，代入圓的方程得，解得，即，則.故答案為：3.32；.五、填空題15．已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，試寫出數(shù)列的一個通項公式：__________．【答案】（答案不唯一）.【分析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，取為非零常數(shù)列，所以令為非0常數(shù)且），即可求出是通項公式，再驗證數(shù)列是等比數(shù)列即可.【詳解】解：因為數(shù)列是等差數(shù)列，取為非零常數(shù)列，令為非0常數(shù)且），則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，此時是等比數(shù)列，符合題意，事實上，取皆符合．例如，則，此時，為等比，符合題意，故答案為：（答案不唯一）.16．已知雙曲線，其離心率，直線的，若l與C交于A，B兩點，過A點作C的其中一條漸近線的垂線，其垂足為M，連接MB，則的面積為__________．（可用a，b，k表示）【答案】（或或）【分析】根據(jù)對稱性，直線和雙曲線聯(lián)立，表示出，利用三角形的面積公式進行求解.【詳解】由，所以，所以，不妨考慮直線和雙曲線的交點在一三象限，且第一象限交點是，根據(jù)對稱性可知.如圖，設(shè)，則，，則，則，且，則，由于，也可寫成或．故答案為：（或或）六、解答題17．已知焦點在x軸上的雙曲線C的漸近線方程為，(1)求雙曲線C的離心率e(2)若直線與C相交于不同的兩點A，B，且，求雙曲線C的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由雙曲線C的漸近線方程結(jié)合即可求出雙曲線C的離心率；（2）聯(lián)立直線與雙曲線C的方程，由弦長公式代入求解即可.【詳解】（1）可設(shè)雙曲線C的方程為，則其漸近線方程為，所以，所以離心率；（2）設(shè)，則由得，所以，因為，所以，得，故雙曲線C的方程為．18．已知拋物線（a是常數(shù)）過點，動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．(1)求拋物線C的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)時，求直線AB的方程；(3)證明：直線AB過定點．【答案】(1)C的焦點為，準(zhǔn)線方程為；(2)(3)證明見解析【分析】（1）由點P代入得，即可求出拋物線C的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）法一：設(shè)，因為，所以切線DA的斜率，再由，即可求出直線DA，同理求出DB的直線方程，即可取出直線AB的方程；法二：設(shè)其中一條切線的斜率為k（顯然存在），則切線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程由求出，即可求出A、B兩點的坐標(biāo)，即可求出直線AB的方程；（3）由（2）知：，所以，令，即可求出直線AB過的定點.【詳解】（1）由點P代入得，所以C的焦點為，準(zhǔn)線方程為；（2）設(shè)，此時，則，因為，所以切線DA的斜率，即，所以（1）同理可得（2）所以由（1）、（2）可得直線AB的方程為；法二：設(shè)其中一條切線的斜率為k（顯然存在），則切線方程為，由得，所以由得，不妨設(shè)，可解得所以AB的斜率，得直線AB的方程為即（3）由（2）知：，所以，同理可得，顯然直線AB經(jīng)過定點．19．記，已知數(shù)列和分別滿足：．(1)求的通項公式；(2)求．【答案】(1)；(2)【分析】(1)根據(jù)題意可知數(shù)列的前項和，進而可求解的通項公式；而即可求解；(2)由（1）知，結(jié)合錯位相減法求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．經(jīng)檢驗，當(dāng)時，滿足，所以；當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足，所以．（2）由（1）知，則，①，②由①-②相減得：故20．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，側(cè)棱平面SCD，，E是AD的中點．(1)求證：平面SAC；(2)求直線AB與平面SBD所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理即可證明；（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線AB的方向向量與平面SBD的法向量，再由線面角的向量公式代入即可得出答案；法二：由等體積求出A點到平面SBD的距離，再由，即可得出答案.【詳解】（1）因為E是AD的中點，所以且，且，所以由條件可知ABCE是正方形，BCDE是平行四邊形，所以，因為平面SCD，所以，因為，平面SAC，所以平面SAC；（2）設(shè)，則（1）得，在直角梯形ABCD中，，又因為平面SCD，得，所以為等腰直角三角形，因為O為斜邊的中點，所以，所以平面ABCD，法一：建立如圖直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，設(shè)是平面SBD的一個法向量，則由得，則可取，所以．法二：因為，所以，也不妨設(shè)，所以，所以．21．為了促銷，某大型電器商場，對某種型號的進口電視機銷售進行分期付款，規(guī)定：現(xiàn)場購買時先付款，其余的在2年（24個月，不得提前）內(nèi)每月（首付日后的第30天）固定支付等額數(shù)量的錢（設(shè)A元），以一月為一期計算復(fù)利，已知此電視機每臺售價為24000元，月息0.45%．[溫馨提示：分期付款公平交易原則：余款和分期付款的已付款均有利息收入．](1)若有本金18000元，月息0.45%，復(fù)利計，求經(jīng)過24個月后的本息和；（精確到1元）(2)求A的值．（精確到1元）（可用參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)20052(2)792【分析】（1）根據(jù)復(fù)利計算本息和的規(guī)則，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求解即可；（2）利用等比數(shù)列的求和公式建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】（1）經(jīng)過1個月后本息和為：，經(jīng)過2個月后本息和為：……經(jīng)過24個月后本息和為：；（2）設(shè)每月付款金額A，月息，則經(jīng)過1個月后本息和為：A，經(jīng)過2個月后本息和為：，經(jīng)過3個月后本息和為：……經(jīng)過24個月后本息和為：，所以，得．22．已知橢圓的離心率為，且四個頂點構(gòu)成的四邊形面積等于．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左焦點為F，若直線l過定點