2022-2023學年黑龍江省雙鴨山市友誼縣高二上學期期末考試數(shù)學試題一、單選題1．如果成等比數(shù)列，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比中項的性質，求出或，再根據(jù)，舍去不符合題意的b值，并求出ac即可.【詳解】解：因為成等比數(shù)列，由等比中項性質可得，解得或，又，所以，，故選：B.2．已知空間向量，，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由空間向量平行的坐標公式求出即可.【詳解】由，解得，則.故選：A.3．若直線：與：垂直，則實數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，代入運算求解．【詳解】由題意可得：，則故選：D．4．已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的最大值為A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【詳解】由題意知，點P在以原點（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因為點P在已知圓上，所以只要兩圓有交點即可，所以，故選B.【解析】本小題主要考查兩圓的位置關系，考查數(shù)形結合思想，考查分析問題與解決問題的能力.5．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則的公差為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】本題可根據(jù)得出，然后根據(jù)得出，最后兩式聯(lián)立，通過計算即可得出結果.【詳解】設公差為，因為，所以，因為，所以，聯(lián)立，解得，，故選：B.6．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（

）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式進行求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量計算，考查了等比數(shù)列前項和公式的應用，考查了數(shù)學運算能力.7．如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：可以通過幾何法找到異面直線所成角的平面角，結合余弦定理可以求出；解法二：通過空間向量法，用坐標運算可以求出.【詳解】解法一：設E為BC的中點，連接FE，如圖，∵E是BC的中點，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為，解法二：以A為坐標原點，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，易知，，，所以，，則，∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為.故選：D8．對于正項數(shù)列，定義為數(shù)列的“勻稱值”.已知數(shù)列的“勻稱值”為，則該數(shù)列中的等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知得，由此推導出，從而能求出.【詳解】解：，數(shù)列的“勻稱值”為，，①時，，②①②，得，，，當時，滿足上式，，．故選：D二、多選題9．過點作與圓相切的直線l，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.【詳解】解：圓，即，則圓心為，半徑為1，易知點在圓外，顯然是其中一條切線.當切線斜率存在時，設切線方程為，則，解得，所以切線方程為.綜上，切線方程為或.故選：BC.10．已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2【答案】BC【分析】由可得，記∠PF1F2=α，利用正弦定理結合雙曲線及離心率的定義，利用分比定理以及三角恒等變換公式化簡離心率.然后利用余弦函數(shù)的性質得到離心率的取值范圍，進而做出判定.【詳解】∵，則離心率，則排除A；記，，，則，由正弦定理結合分比定理可知：，則，所以B，C是正確的，D不正確.故選：BC.11．（多選題）在數(shù)列中，，數(shù)列的前n項和為，則下列結論正確的是（

）A．數(shù)列為等差數(shù)列 B．C． D．【答案】BD【解析】由，分n是奇數(shù)和n是偶數(shù)，討論偶數(shù)項和奇數(shù)項的特點求解.【詳解】依題意得，當n是奇數(shù)時，，即數(shù)列中的偶數(shù)項構成以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，當n是偶數(shù)時，，所以，兩式相減，得，即數(shù)列中的奇數(shù)項從開始，每隔一項的兩項相等，即數(shù)列的奇數(shù)項呈周期變化，所以，在中，令，得，因為，所以，對于數(shù)列的前31項，奇數(shù)項滿足，偶數(shù)項構成以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，故選：BD【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是由這一信息，分n是奇數(shù)和n是偶數(shù)討論，偶數(shù)項為等差數(shù)列，部分奇數(shù)項具有周期性從而得解.12．已知三棱錐，，是邊長為2的正三角形，E為中點，，則下列結論正確的是（

）A． B．異面直線與所成的角的余弦值為C．與平面所成的角的正弦值為 D．三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD【分析】對于A：取AC的中點F，連接PF,BF，證明出面，即可得到.對于B、C：先證明出，，.可以以P為原點，為xyz軸正方向建立空間直角坐標系.利用向量法求解；對于D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球.即可求解.【詳解】對于A：在三棱錐，，是邊長為2的正三角形，取AC的中點F，連接PF,BF，則.又，所以面，所以.故A正確.對于B：因為，，,所以面，所以，.在三棱錐，，是邊長為2的正三角形，所以三棱錐為正三棱錐，所以.所以.可以以P為原點，為xyz軸正方向建立空間直角坐標系.則，，，，.所以,.設異面直線與所成的角為，則.即異面直線與所成的角的余弦值為.故B錯誤；對于C：，.設平面ABC的一個法向量為，則,不妨設x=1，則.設與平面所成的角為，則.即與平面所成的角的正弦值為.故C正確.對于D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球.設其半徑為R，由正方體的外接球滿足,所以.所以球的表面積為.故D正確.故選：ACD.三、填空題13．若等比數(shù)列滿足，且公比，則_____.【答案】.【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及其性質即可得出．【詳解】，故答案為：20．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于容易題．14．圓心在直線2x－3y－1＝0上的圓與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，則圓的方程為________．【答案】＝2【分析】由圓與軸的交點和的坐標，根據(jù)垂徑定理得到圓心在直線上，又圓心在直線上，聯(lián)立兩直線方程組成方程組，求出方程組的解集得到交點坐標即為圓心坐標，由求出的圓心坐標和的坐標，利用兩點間的距離公式求出圓心到的距離即為圓的半徑，由圓心和半徑寫出圓的方程即可．【詳解】解：由題意得：圓心在直線上，又圓心在直線上，令，得圓心的坐標為，又，半徑，則圓的方程為．故答案為：15．已知橢圓的焦點分別、，點A為橢圓C的上頂點，直線，與橢圓C的另一個交點為B．若，則橢圓C的方程為______.【答案】【分析】利用定義和已知先求，再由相似三角形可得點B坐標，代入橢圓方程可解.【詳解】如圖，過點B作x軸的垂線，垂足為M，由定義知，，因為，所以因為，，所以，所以將代入得，解得所以所以橢圓方程為.故答案為：四、雙空題16．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，現(xiàn)將△ABC沿對角線AC翻折，得到四面體DABC，則該四面體外接球的體積為________；設二面角D－AC－B的平面角為θ，當θ在內(nèi)變化時，BD的取值范圍為________．【答案】

【分析】分別過點，作，計算得到，得到半徑和體積，根據(jù)，計算，得到答案.【詳解】如圖1，分別過點，作，垂足分別為F，E，則在四面體中也滿足．因為，，所以，，則，．在四面體ABCD中，三角形ABC和三角形DAC均為直角三角形，設點O為AC的中點，如圖2，連接OB，OD，則，即點O為四面體ABCD外接球的球心，則外接球的半徑，所以外接球的體積．在四面體ABCD中，，因為二面角的平面角為θ，且，所以和的夾角為，所以因為，所以，則．故答案為：；五、解答題17．數(shù)列的前項和為，且，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用，可得，即可根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，再檢驗即可求解；（2）根據(jù)，令和，利用等比數(shù)列的前n項和公式求解，并檢驗即可求解.【詳解】（1）解：已知，則，兩式相減可得，即，所以數(shù)列是在n≥2上公比為3的等比數(shù)列，則，因為，不符合上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）根據(jù)題意，得，當時，，當時，，因為符合上式，所以數(shù)列的前項和.18．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，．Ⅰ求數(shù)列的通項公式；Ⅱ設證明：為等差數(shù)列，并求的前n項和．【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）見解析，【分析】（1）利用及求得，從而得到通項公式．（2）利用定義證明等差數(shù)列，并利用公式求和．【詳解】（Ⅰ）設等比數(shù)列的公比為，依題意．由得，解得．故．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得．故，所以是首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以．【點睛】一般地，判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列，可從兩個角度去考慮：（1）證明；（2）證明：.19．設?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.(1)雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出拋物線的焦點坐標，即可得到，再根據(jù)為等腰直角三角形，即可求出，最后根據(jù)，求出，即可求出雙曲線方程；（2）設，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元列出韋達定理，利用弦長公式計算可得；【詳解】（1）解：拋物線的焦點為，所以，即，，又點，，是等腰直角三角形的三個頂點，所以，即，又，所以，所以雙曲線方程為.（2）解：依題意設，，由消去整理得，由，所以，，所以.20．如圖，已知平面平面，，．(1)連接，求證：；(2)求與平面所成角的大??；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法一：延長CB到E，使，連接EA、ED，不妨設，證明和，利用線面垂直的判定得到平面，再利用線面垂直的性質即可得到；方法二：連接AD，取AD中點M，連接MB，MC，利用等腰三角形三線合一，證明和，利用線面垂直的判定得到平面MBC，再利用線面垂直的性質即可得到；（2）尋找在平面內(nèi)投影，即為直線與平面成角，求解即可.【詳解】（1）證明：方法一：延長CB到E，使，連接EA、ED，不妨設，又因為，由余弦定理得，因為，所以，同理，，因為，所以平面，又因為平面，所以，即；方法二：連接AD，取AD中點M，連接MB，MC，因為，，，所以，所以，所以，又，所以，又因為，所以平面MBC，又因為平面MBC，所以.（2）解：由（1）知為二面角的平面角，，因為平面平面，所以，即，因為，所以平面，所以為在平面內(nèi)的投影，于是為與平面所成角，因為，，所以，故AD與平面BDC所成角的大小.21．如圖，且，，且，且．平面ABCD，．(1)若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；(2)求平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值；(3)若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為，求線段DP的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由題意，以D為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系，求出對應點的坐標，求出平面CDE的法向量，，由兩向量的數(shù)量積為零，可證得結論，（2）分別求出兩平面的法向量，利用空間向量求解即可，（3）設線段DP的長為h（h∈［0，2］），求出，，然后利用向量的夾角公式列方程求解【詳解】（1）證明：因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以D為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），則D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．所以=（0，2，0），=（2，0，2）．設為平面CDE的法向量，則，令，則．因為=（1，，1），所以，因為直線MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（2）解：依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．設為平面BCE的法向量，則，令，則，設為平面BCF的法向量，則，令，則，所以，所以平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值為（3）解：設線段DP的長為h（），則點P的坐標為（0，0，h），可得．因為，，所以平面所以=（0，2，0）為平面ADGE的一個法向量，所以，由題意，可得，解得．所以線段的長為.22．已知橢圓的離心率為，過橢圓C右焦點并垂直于x軸的直線PM交橢圓C于P，M（點P位于x軸上方）兩點，且△OPM（O為坐標原點）的面積為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點P）兩點，且直線PA與PB的斜率之積為，求點P到直線l距離的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，根據(jù)離心率和面積即可列出方程求解，.【詳解】（1）由題意可得，∴由題意可得且，解得，，∴橢圓的方程為：．（2