2023屆安徽省高三下學期開學考數(shù)學試題一、單選題1．已知集合A={x|y=}，B={x|y=ln|x-1|}，則A∩B=（

）A．{x|x≥0} B．{x|x>1}C．{x|0≤x<1或x>1} D．{x|0≤x<1}【答案】C【分析】化簡集合A、B，根據(jù)集合交集定義即可求出答案.【詳解】由題意，，所以或.故選:C2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復數(shù)除法運算，及共軛復數(shù)概念即可求.【詳解】，則.故選：A3．已知函數(shù)f（x）在R上的導函數(shù)為，則“=0”是“x0是f（x）的極值點”的（

）A．充分必要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】D【分析】根據(jù)極值點定義和充分條件、必要條件定義即可判斷．【詳解】由極值點的定義，若為的極值點，則有，而由不一定推得為的極值點，例如，故“”是“是的極值點”的必要不充分條件.故選：D4．的展開式中x2y4的系數(shù)為（

）A．192 B．240 C．432 D．256【答案】C【分析】根據(jù)二項式定理將原式展開化簡即可求出系數(shù)．【詳解】原式即，化簡得，展開式中項為，系數(shù)為432.故選：C．5．若，則=（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】A【分析】已知等式利用倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡，得，再用兩角和的正切公式求的值.【詳解】由，解得.∴.故選：A6．下表為某外來生物物種入侵某河流生態(tài)后的前3個月繁殖數(shù)量y（單位：百只）的數(shù)據(jù)，通過相關(guān)理論進行分析，知可用回歸模型y=e1+at（a∈R）對y與t的關(guān)系進行擬合，則根據(jù)該回歸模型，預(yù)測從第（

）個月開始該物種的繁殖數(shù)量超過5000只（參考數(shù)據(jù)：e3≈20.09，e4≈54.60）第個月123繁殖數(shù)量A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)計算將回歸模型兩邊取自然對數(shù)，并令，由此構(gòu)建一個u與t的回歸直線模型，根據(jù)回歸直線必過，可求出a值，得到回歸模型解出答案.【詳解】由題意，兩邊取自然對數(shù)得，令，則.，，將數(shù)值代入回歸直線，得，得，因此，則.當時，；當時，；當時，從第6個月開始，該物種的繁殖數(shù)量超過5000只.故選：C7．已知雙曲線（a>0，b>0）的左頂點為A，點B，直線AB與雙曲線的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，若線段PQ的垂直平分線經(jīng)過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直線AB的方程，再聯(lián)立雙曲線的漸近線方程，從而得到點P，Q的坐標，進而可得到的垂直平分線方程，再將雙曲線的右頂點的坐標代入即可得到a和b的關(guān)系，再結(jié)合a，b，c的基本關(guān)系即可求得e．【詳解】不妨設(shè)點在直線上，由題可知，，，由，得，，同理，的中點為，則的垂直平分線方程為，將代入整理得，則．故選：B．8．已知函數(shù)，若在定義域上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，從而原不等式可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的單調(diào)性可得，根據(jù)不同取值分類討論求解即可.【詳解】由得，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，則不等式轉(zhuǎn)化為，又易知在上單調(diào)遞增，故不等式等價于，即.設(shè)，若，，不符合題意；若，則當時，，符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，要使恒成立，只需，所以.綜上可知的取值范圍是.故選：B.二、多選題9．已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，P為正六邊形邊上的動點，則的值可能為（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影數(shù)量的乘積，先求出向量在方向上的投影的數(shù)量的最值，從而得出的范圍，對各選項判斷即可．【詳解】由題意知，，當P點與D重合時，向量在方向上的投影的數(shù)量最大，為，當P點與A重合時，向量在方向上的投影的數(shù)量最小，為，所以的最大值為，最小值．可知，故A不滿足，BCD都滿足．故選：BCD．10．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】A選項，由題可得，結(jié)合可得b范圍；B選項，，利用可得范圍；C選項，，利用可得范圍，后可得范圍；D選項，，結(jié)合B選項可得范圍.【詳解】A選項，由題可得，得，故A錯誤；B選項，，當且僅當，即時取等號.故B錯誤；C選項，，當且僅當，即時取等號.則，故C正確；D選項，由B選項分析得，則，故D正確.故選：CD11．已知拋物線C：的焦點為F，直線l過點F且與拋物線C交于，兩點，其中，且，則（

）A．直線l的斜率為 B．C． D．△MON（點O為坐標原點）的面積為6【答案】BC【分析】設(shè)l方程為，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達定理可得，，又如圖可得，據(jù)此可得則，.據(jù)此可判斷AB選項正誤；C選項，由拋物線定義可得；D選項，由圖可得.【詳解】因為，所以點M在第一象限，顯然直線l不與x軸垂直，設(shè)直線：，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得：，．做垂直于x軸，則，得，則，.A選項，，則直線斜率為，故A錯誤；B選項，因，則，故B正確；C選項，由拋物線定義，，又，則，故C正確；D選項，由圖有，故D錯誤.故選：BC.12．如圖，在正方體中，E為棱上的一個動點，F(xiàn)為棱上的一個動點，則直線與平面EFB所成的角可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量、直線與平面夾角的計算公式進行求解判斷.【詳解】以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，，，其中m，，則，，，，，，，，設(shè)平面EFB的法向量為，則，即，取，則．設(shè)直線與平面EFB所成的角為θ，，當時，，當時，，該式隨著m的增大而增大，隨著n的增大而減小，當，時，取得最大值，所以，綜上，的取值范圍是，所以，故CD錯誤.故選：AB.三、填空題13．已知隨機變量X~N（1，），且P=2P，則P=__________.【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性進行求解即可.【詳解】由題意可知，所以，所以.故答案為：.14．已知函數(shù)f的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移（T為的最小正周期）個單位長度得到的圖象，則______．【答案】【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象平移結(jié)論求函數(shù)的解析式，再求.【詳解】由圖可知，，∴，．又，所以，又，所以，∴，∴，∴．故答案為：.15．已知圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱，圓柱的底面在圓錐的底面內(nèi)，當圓柱與圓錐體積之比最大時，圓柱與圓錐的底面半徑之比為__________.【答案】【分析】設(shè)出圓錐的底面半徑與底角，則可以求出圓錐的高與體積，再設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱的底面半徑，及高，根據(jù)比例關(guān)系可以求得圓柱的高，，進而求得圓柱的體積，表示出圓柱體積與圓錐的體積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用導數(shù)求最值.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的軸截面為等腰三角形，底邊長為，設(shè)其底角為，則圓錐的高為，圓錐的體積為.設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，則，即，則圓柱的體積為.圓柱與圓錐體積之比為，設(shè)，則.由，得，當時，，當時，，所以當時，取得最大值，即圓柱與圓錐體積之比最大，此時.故答案為：16．已知函數(shù)，，在區(qū)間I上均有定義，若對任意，，，成等差數(shù)列，則稱函數(shù)，，在區(qū)間I上成“等差函數(shù)列”．若，，在區(qū)間上成等差函數(shù)列，且恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是____________．【答案】【詳解】首先根據(jù)已知條件得到，恒成立，從而得到直線恒在半圓的上方，再利用直線與圓的位置關(guān)系求解即可.【分析】根據(jù)“等差函數(shù)列”的定義知：，則，由，可得，恒成立，則直線恒在半圓的上方，所以，因為，所以．故答案為：四、解答題17．已知數(shù)列{}的前項和.(1)求{}的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由求通項公式；（2）由數(shù)列{}的通項公式，分類討論求和即可.【詳解】（1），當時，有，兩式相減得，當時，符合上式，故.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，則.由題意得，，，.18．某超市為改善某產(chǎn)品的銷售狀況并制訂銷售策略，統(tǒng)計了過去100天該產(chǎn)品的日銷售收入（單位：萬元）并分成六組制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值并估計過去100天該產(chǎn)品的日銷售收入的平均值；（同一區(qū)間數(shù)據(jù)以中點值作代表）(2)該超市過去100天中有30天將該商品降價銷售，在該商品降價的30天中有18天該產(chǎn)品的日銷售收入不低于0.6萬元，判斷能否有97.5%的把握認為該商品的日銷售收入不低于0.6萬元與該日是否降價有關(guān).附：，其中.【答案】(1)，(2)有【分析】（1）由頻率分布直方圖總面積為1列方程求a，由定義求均值；（2）作出列聯(lián)表，求得，根據(jù)表格比較判斷即可.【詳解】（1）依題意有，得.；（2）依題意作列聯(lián)表：降價非降價總計不低于萬元181230低于萬元125870總計3070100因為，所以有的把握認為該商品的日銷售收入不低于萬元與該日是否降價有關(guān).19．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)證明：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化，然后結(jié)合三角恒等變換公式化簡，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，先由正弦定理求得，再結(jié)合余弦定理解得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由及正弦定理得，因為，所以，所以．因為，，所以，所以，或，即或（舍去）．（2）由及正弦定理得，由，得，所以，．由余弦定理得，得，整理得，解得或．當時，，當時，可得，此時不滿足，故舍去．綜上所述，△ABC的面積為．20．如圖所示，四棱臺的上?下底面均為正方形，且底面ABCD.(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明線線垂直；(2)利用空間向量的坐標運算求面面角.【詳解】（1）平面平面，如圖，連接四邊形為正方形，，又平面，平面，平面.（2）由題意知直線兩兩互相垂直，故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知可得，.設(shè)平面與平面的法向量分別為.則令，則，令，則，，故二面角的正弦值為.21．已知函數(shù).(1)設(shè)是的最小零點，求曲線在點處的切線方程；(2)證明：當時，.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）得出函數(shù)的定義域，令求出零點，結(jié)合已知得出，即可求導根據(jù)曲線的切線的導數(shù)求法得出答案；（2）根據(jù)與在上的正負結(jié)合條件可得，只需證明時，，令，根據(jù)導數(shù)得出其單調(diào)性，進而可得只需證，令，根據(jù)導數(shù)得出其單調(diào)性，即可證明在上成立，即在上成立，即可證明原命題.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，令，得，或，是的最小零點，，為，，則曲線在點處的切線方程為.（2）在上為負，在上為正，在上為正，在上為負，又，當時，，當是，，當時，，故只需證時，，令，則，是反比例函數(shù)平移，易得在上單調(diào)遞增，且，故當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，當時，，即，，要證，只需證，令，則，令，則，當時，，則在時，，即在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，故在上恒成立，綜上可得原命題成立.22．已知橢圓C：的離心率為，且為C上一點．(1)求C的標準方程；(2)點A，B分別為C的左、右頂點，M，N為C上異于A，B的兩點，直線MN不與坐標軸平行且不過坐標原點О，點M關(guān)于原點О的對稱點為