隨機變量的方差和標準差1第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日隨機變量X的數(shù)學期望，描述了隨機變量X取值的集中趨勢或平均水平，但是僅僅知道X的數(shù)學期望有時還不能完全刻劃隨機變量X的統(tǒng)計特征。比如，某廠生產(chǎn)一批元件，平均使用壽命E(X)=1000小時，僅由此我們還很難了解這批元件質(zhì)量的好壞，因為有可能有一半的元件質(zhì)量很高，壽命在1500小時以上，而另一半?yún)s質(zhì)量很差，壽命不足500小時，從而反映出質(zhì)量不穩(wěn)定?？梢姂M一步考察元件壽命X對期望E(X)的偏離程度。下面介紹的方差就是用來描述隨機變量的可能取值與其期望之間的差異程度的數(shù)量特征。

2第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日一、方差的定義定義即3第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日計算公式:4第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日1.若X是離散型隨機變量，其概率分布為

則計算公式:2.若X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，則5第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日

設X表示機床A一天生產(chǎn)的產(chǎn)品廢品數(shù)，Y表示機床B一天生產(chǎn)的產(chǎn)品廢品數(shù)，它們的概率分布如下：

X0120.5P

30.30.10.1例1解Y0120.6P

30.10.20.1問：兩機床哪臺質(zhì)量好？設兩臺機床的日產(chǎn)量相等。

均值相等,據(jù)此不能判斷優(yōu)劣,再求方差.6第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日X0120.5P

30.30.10.1Y0120.6P

30.10.20.1均值相等,據(jù)此不能判斷優(yōu)劣,再求方差.由于D(X)<D(Y),因此機床A的波動較機床B的波動小,質(zhì)量較穩(wěn)定.7第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日解例2設隨機變量X的概率密度函數(shù)

求：EX,DX.8第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日二、方差的性質(zhì)性質(zhì)1

D(C)=0，其中C是常數(shù)。性質(zhì)2

若k是常數(shù),則性質(zhì)3證其中C是常數(shù)。證9第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)4設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，則

證而10第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日當X和Y相互獨立時，有E(XY)=E(X)E(Y)，所以推廣：若X1,X2,…,Xn兩兩獨立,則性質(zhì)4設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，則

證11第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日注意：以下兩個式子是等價的,的充分必要條件為,存在常數(shù)C,使事實上,例如,當X和Y相互獨立時,有性質(zhì)5若X1,X2,…,Xn兩兩獨立,則12第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日三、切比雪夫不等式隨機變量的方差是刻畫它圍繞其期望值的離散程度的，因此我們希望用方差來估計隨機變量與其期望值之間的偏差大于某一給定正數(shù)的概率的上界。

定理成立.13第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日定理成立.證設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),則

14第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日上式可改寫為切比雪夫不等式具體地估算了隨機變量X取值時，以數(shù)學期望E(X)為中心的分散程度。不難看出，方差D(X)越小，則隨機變量X的取值越集中在數(shù)學期望E(X)的附近，由此可以進一步體會到方差的概率意義，它刻劃了隨機變量的分散程度。如取15第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率.設每毫升白細胞數(shù)為X，依題意，E(X)=7300,D(X)=7002

，例3解由切比雪夫不等式，16第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日根據(jù)過去統(tǒng)計資料，某產(chǎn)品的次品率為p=0.05，試用切比雪夫不等式估計1000件產(chǎn)品中，次品數(shù)在40~60之間的概率.例4解設X表示1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則由切比雪夫不等式，17第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期日該數(shù)值是