追及與相遇問(wèn)題第1頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第2頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第3頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日追及與相遇問(wèn)題第4頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1、追及與相遇問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：2、理清三大關(guān)系：

兩者速度相等。它往往是物體間能否追上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)。

研究的兩物體能否在相同的時(shí)刻到達(dá)相同的空間位置的問(wèn)題。時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系、位移關(guān)系。3、巧用一個(gè)條件：第5頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

1.物理分析法：抓好“兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置”這一關(guān)鍵，認(rèn)真審題，挖掘題中的隱含條件，在頭腦中建立起一幅物體運(yùn)動(dòng)關(guān)系的圖景。

2.數(shù)學(xué)分析法：設(shè)相遇時(shí)間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的方程（通常為一元二次方程），用判別式進(jìn)行討論，若>0，即有兩個(gè)解，說(shuō)明可以相遇兩次；若=0，說(shuō)明剛好追上或相遇；若<0，說(shuō)明追不上或不能相碰。

3.圖象法：將兩者的速度—時(shí)間圖象在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出，然后利用圖象求解。

4.相對(duì)運(yùn)動(dòng)法：巧妙地選取參照系，然后找兩物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。

解答追及、相遇問(wèn)題常用的方法第6頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(1)速度小者追速度大者類(lèi)型圖象說(shuō)明勻加速追勻速①t=t0以前,后面物體與前面物體間距離增大②t=t0即速度相等時(shí),兩物體相距最遠(yuǎn)為x0+x③t=t0以后，后面物體與前面物體間距離減?、苣茏芳扒抑荒芟嘤鲆淮蝿蛩僮穭驕p速勻加速追勻減速第7頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.在解決追及相遇類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要緊抓“一圖三式”，即：過(guò)程示意圖，時(shí)間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式，另外還要注意最后對(duì)解的討論分析。2.分析追及、相遇類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等，往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件。解題思路分析兩物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程畫(huà)運(yùn)動(dòng)示意圖找兩物體的關(guān)系式列方程求解第8頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(1)汽車(chē)一定能追上自行車(chē)嗎？若能追上，汽車(chē)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間追上？追上時(shí)汽車(chē)的瞬時(shí)速度多大？例3一輛汽車(chē)以3m/s2的加速度開(kāi)始啟動(dòng)的瞬間，另一輛以6m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)的自行車(chē)恰好從汽車(chē)的旁邊通過(guò)．(2)當(dāng)v汽<v自時(shí)，兩者距離如何變化？當(dāng)v汽>v自時(shí)，兩者距離如何變化？汽車(chē)追上自行車(chē)前多長(zhǎng)時(shí)間與自行車(chē)相距最遠(yuǎn)？此時(shí)的距離是多大？(3)畫(huà)出兩車(chē)運(yùn)動(dòng)的v－t圖象，并試著用圖象法解上述兩問(wèn)題．第9頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3一輛汽車(chē)以3m/s2的加速度開(kāi)始啟動(dòng)的瞬間，解：汽車(chē):第10頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3一輛汽車(chē)以3m/s2的加速度開(kāi)始啟動(dòng)的瞬間，另一輛以6m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)的自行車(chē)恰好從汽車(chē)的旁邊通過(guò)．(1)汽車(chē)一定能追上自行車(chē)嗎？若能追上，汽車(chē)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間追上？追上時(shí)汽車(chē)的瞬時(shí)速度多大？(2)當(dāng)v汽<v自時(shí)，兩者距離如何變化？當(dāng)v汽>v自時(shí)，兩者距離如何變化？汽車(chē)追上自行車(chē)前多長(zhǎng)時(shí)間與自行車(chē)相距最遠(yuǎn)？此時(shí)的距離是多大？解：汽車(chē):乘客:第11頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第12頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(3)畫(huà)出兩車(chē)運(yùn)動(dòng)的v－t圖象，并試著用圖象法解上述兩問(wèn)題．第13頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日練一練、甲.乙兩車(chē)在平直公路上比賽，某一時(shí)刻，乙車(chē)在甲車(chē)前方L1＝11m處，乙車(chē)速度v乙＝60m/s，甲車(chē)速度v甲＝50m/s，此時(shí)乙車(chē)離終點(diǎn)線尚有L2＝600m，如圖所示.若甲車(chē)加速運(yùn)動(dòng)，加速度a＝2m/s2，乙車(chē)速度不變，不計(jì)車(chē)長(zhǎng).求：（1）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲.乙兩車(chē)間距離最大，最大距離是多少？

（2）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲乙兩車(chē)相遇？（3）試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明到達(dá)終點(diǎn)前甲車(chē)能否超過(guò)乙車(chē)？第14頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(2)速度大者追速度小者類(lèi)型圖象說(shuō)明勻減速追勻速開(kāi)始追及時(shí)，后面物體與前面物體間的距離在減小，當(dāng)兩物體速度相等時(shí)，即t=t0時(shí)刻：①若x=x0，則恰能追及，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件②若x<x0，則不能追及，此時(shí)兩物體最小距離為x0-x③若x>x0，則相遇兩次，設(shè)t1時(shí)刻x1=x0，兩物體第一次相遇，則t2時(shí)刻兩物體第二次相遇勻速追勻加速勻減速追勻加速第15頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

說(shuō)明：①表中的x是開(kāi)始追及以后，后面物體因速度大而比前面物體多運(yùn)動(dòng)的位移；

②x0是開(kāi)始追及以前兩物體之間的距離；

③t2-t0=t0-t1；

④v1是前面物體的速度，v2是后面物體的速度。第16頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：汽車(chē):乘客:此時(shí)人和車(chē)相距最近此過(guò)程：x人＝vt＝4×2m＝8m第17頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日在一條平直的公路上，乙車(chē)以10m/s的速度勻速行駛，甲車(chē)在乙車(chē)的后面做初速度為15m/s，加速度大小為0.5m/s2的勻減速運(yùn)動(dòng)，則兩車(chē)初始距離L滿足什么條件時(shí)可以使：（1）兩車(chē)不相遇；（2）兩車(chē)只相遇一次；（3）兩車(chē)能相遇兩次（設(shè)兩車(chē)相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動(dòng)）第18頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例1：一輛汽車(chē)在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時(shí)汽車(chē)以3m/s2的加速度開(kāi)始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車(chē)以6m/s的速度勻速駛來(lái)，從后面超過(guò)汽車(chē)。試求：汽車(chē)從路口開(kāi)動(dòng)后，在追上自行車(chē)之前經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車(chē)相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？第19頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日甲、乙兩車(chē)在一平直道路上同向運(yùn)動(dòng)，其v-t圖象如圖示，圖中△OPQ和△OQT的“面積”分別為x1和x2(x2>x1)。初始時(shí)，甲車(chē)在乙車(chē)前方x0處()A.若x0=x1+x2，兩車(chē)不會(huì)相遇B.若x0<x1，兩車(chē)相遇2次C.若x0=x1，兩車(chē)相遇1次D.若x0=x2，兩車(chē)相遇1次ABC第20頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日分析：汽車(chē)追上自行車(chē)之前，

v汽<v自時(shí)△x變大

v汽=v自時(shí)△x最大

v汽>v自時(shí)△x變小解法一物理分析法兩者速度相等時(shí)，兩車(chē)相距最遠(yuǎn)。（速度關(guān)系）

v汽=at=v自∴t=v自/a=6/3=2s△x=v自t－at2/2=6×2－3

×22/2=6m第21頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解法二用數(shù)學(xué)求極值方法來(lái)求解設(shè)汽車(chē)在追上自行車(chē)之前經(jīng)過(guò)t時(shí)間兩車(chē)相距最遠(yuǎn)∵△x=x1－x2=v自t－at2/2（位移關(guān)系）∴△x=6t

－3t2/2由二次函數(shù)求極值條件知t=－b/2a=6/3s=2s時(shí)，△x最大∴△xm=6t－3t2/2=6×2－3

×22/2=6m第22頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解法三用相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解更簡(jiǎn)捷

選勻速運(yùn)動(dòng)的自行車(chē)為參考系，則從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到相距最遠(yuǎn)這段時(shí)間內(nèi)，汽車(chē)相對(duì)參考系的各個(gè)物理量為：初速度v0=v汽初－v自=0－6=－6m/s末速度vt=v汽末－v自=6－6=0加速度a=a汽－a自=3－0=3m/s2∴相距最遠(yuǎn)x===－6mvt2－v022a－622×3第23頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解法四用圖象求解1）自行車(chē)和汽車(chē)的v－t圖象如圖v/（ms-1）v′60t/st′tV汽V自由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖上可以看出在相遇之前，在t時(shí)刻兩車(chē)速度相等時(shí)，自行車(chē)的位移（矩形面積）與汽車(chē)位移（三角形面積）之差（即斜線部分）達(dá)最大，所以t=v自/a=6/3=2s2）由圖可看出，在t時(shí)刻以后，由v自線與v汽線組成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時(shí)，兩車(chē)的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時(shí)，

t′=2t=4sv′=2v自=12m/s第24頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

2．什么時(shí)候汽車(chē)追上自行車(chē)，此時(shí)汽車(chē)的速度是多少？解：汽車(chē)追上自行車(chē)時(shí)，二車(chē)位移相等（位移關(guān)系）則vt′=at′2/26×t′=at′2/2，t′=4sv′=at′=3×4=12m/s

思考：若自行車(chē)超過(guò)汽車(chē)2s后，汽車(chē)才開(kāi)始加速。那么，前面的1、2兩問(wèn)如何？第25頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2：A火車(chē)以v1=20m/s速度勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距100m處有另一列火車(chē)B正以v2=10m/s速度與A火車(chē)同方向勻速行駛，A車(chē)立即做加速度大小為a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)。要使兩車(chē)不相撞，a應(yīng)滿足什么條件？第26頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日兩車(chē)恰不相撞的條件是：兩車(chē)速度相同時(shí)相遇.由A、B速度關(guān)系：由A、B位移關(guān)系：方法一：物理分析法第27頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日v/ms-1BAt/so10t020方法二：圖象法第28頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

代入數(shù)據(jù)得

若兩車(chē)不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為其圖像(拋物線)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)必為正值,故有方法三：二次函數(shù)極值法第29頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

代入數(shù)據(jù)得∵不相撞∴△<0方法四、判別式法：第30頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

以B車(chē)為參照物，A車(chē)的初速度為v0=10m/s，以加速度大小a減速，行駛x=100m后“停下”，末速度為vt=0

以B為參照物,公式中的各個(gè)量都應(yīng)是相對(duì)于B的物理量.注意物理量的正負(fù)號(hào).方法五：相對(duì)運(yùn)動(dòng)法第31頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3、一車(chē)從靜止開(kāi)始以1m/s2的加速度前進(jìn)，車(chē)后相距x0為25m處，某人同時(shí)開(kāi)始以6m/s的速度勻速追車(chē)，能否追上？如追不上，求人、車(chē)間的最小距離。一、數(shù)學(xué)分析法：依題意，人與車(chē)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，設(shè)為t,當(dāng)人追上車(chē)時(shí)，兩者之間的位移關(guān)系為：x車(chē)+x0=x人即：at2／2+x0=v人t由此方程求解t，若有解，則可追上；若無(wú)解，則不能追上。代入數(shù)據(jù)并整理得：t2－12t+50=0△=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0所以，人追不上車(chē)。x0v=6m/sa=1m/s2第32頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、物理分析法在剛開(kāi)始追車(chē)時(shí)，由于人的速度大于車(chē)的速度，因此人車(chē)間的距離逐漸減??；當(dāng)車(chē)速大于人的速度時(shí)，人車(chē)間的距離逐漸增大。因此，當(dāng)人車(chē)速度相等時(shí)，兩者間距離最小。at′=v人t′=6s在這段時(shí)間里，人、車(chē)的位移分別為：x人=v人t=6×6=36mx車(chē)=at′2/2=1×62/2=18m△x=x0+x車(chē)－x人=25+18－36=7m二、數(shù)學(xué)分析法△s=1/2×1×t2+25-6t=1/2×1×t2-6t+25△=-14<0△st第33頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例4.

在平直公路上有兩輛汽車(chē)A、B平行同向行駛，A車(chē)以vA=4m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，B車(chē)以vB=10m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)B車(chē)行駛到A車(chē)前x=7m處時(shí)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)以2m/s2的加速度做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則從此時(shí)開(kāi)始A車(chē)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間可追上B車(chē)？分析：畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的示意圖如圖所示：vA=4m/svB=10m/s7m追上處a=-2m/s2A車(chē)追上B車(chē)可能有兩種不同情況：B車(chē)停止前被追及和B車(chē)停止后被追及。究竟是哪一種情況，應(yīng)根據(jù)解答結(jié)果，由實(shí)際情況判斷。第34頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解答：設(shè)經(jīng)時(shí)間t追上。依題意：vBt+at2/2+x=vAt10t-t

2+7=4tt=7st=-1s(舍去)B車(chē)剎車(chē)的時(shí)間t′=vB/a=5s顯然，B車(chē)停止后A再追上B。B車(chē)剎車(chē)的位移xB=vB2/2a=102/4=25mA車(chē)的總位移xA=xB+x=32m∴t=xA/vA=32/4=8s思考：若將題中的7m改為3m，結(jié)果如何？答：甲車(chē)停止前被追及錯(cuò)解：4t=7+10t–?×2t2

t=-1(舍)t=7第35頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例5.汽車(chē)正以10m/s的速度在平直公路上做勻速直線運(yùn)動(dòng),突然發(fā)現(xiàn)正前方10m處有一輛自行車(chē)以4m/s的速度同方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),汽車(chē)立即關(guān)閉油門(mén),做加速度為6m/s2的勻減速運(yùn)動(dòng),問(wèn)：汽車(chē)能否撞上自行車(chē)?若汽車(chē)不能撞上自行車(chē)，汽車(chē)與自行車(chē)間的最近距離為多少？汽車(chē)在關(guān)閉油門(mén)減速后的一段時(shí)間內(nèi)，其速度大于自行車(chē)速度，因此，汽車(chē)和自行車(chē)之間的距離在不斷的縮小，當(dāng)這距離縮小到零時(shí)，若汽車(chē)的速度減至與自行車(chē)相同，則能滿足汽車(chē)恰好不碰上自行車(chē)v汽=10m/sv自=4m/s10m追上處a=-6m/s2分析：畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的示意圖如圖所示第36頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日物理分析法解：（1）汽車(chē)速度減到4m/s時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和發(fā)生的位移分別為t=(v自-v汽)/a=（4-10）/(-6）s=1sx汽=（v自2-v汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m這段時(shí)間內(nèi)自行車(chē)發(fā)生的位移x自=v自t=4m因?yàn)閤0+x自>x汽所以，汽車(chē)不能撞上自行車(chē)。汽車(chē)與自行車(chē)間的最近距離為△x=x0+x自－x汽=（10+4－7）m=7m數(shù)學(xué)分析法△x=x0+x自－x汽=(10+4t)-(10t-1/2×6t2)=3t2-6t+10△=-84<0，無(wú)解不相遇△st第37頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第38頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日典例二追及類(lèi)問(wèn)題【例2】摩托車(chē)先由靜止開(kāi)始以25/16m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，后以最大行駛速度

25m/s勻速運(yùn)動(dòng)，追趕前方以15m/s的速度同向勻速行駛的卡車(chē)。已知摩托車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)與卡車(chē)的距離為1000m，則：

(1)追上卡車(chē)前二者相隔的最大距離是多少？

(2)摩托車(chē)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才能追上卡車(chē)？

【解析】(1)對(duì)摩托車(chē)由靜止開(kāi)始勻加速至vm=25m/s，用時(shí)t1=vm/a=16s。發(fā)生位移x1=vm2/(2a)=200m，顯然未追上卡車(chē)。則追上卡車(chē)前二者共速時(shí)，間距最大(如圖所示)，即x=x0+x卡-x摩①

x摩=v2/(2a)

②

x卡=v·v/a③

由①②③聯(lián)立得x=1072m。第39頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

1.通過(guò)運(yùn)動(dòng)的分析，找隱含條件

2.利用二次函數(shù)求極值的方法

3.因追及相遇問(wèn)題至少涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)描述它們的物理量必須選同一參考系?；舅悸肥牵孩俜謩e對(duì)兩物體研究②畫(huà)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖③列出方程④找出時(shí)間關(guān)系⑤解出結(jié)果，必要時(shí)進(jìn)行討論(2)追上時(shí)，由運(yùn)動(dòng)情景圖(如圖所示)分析可知，

x摩′=x卡′+x0

vm2/(2a)+vm(t-t1)=x0+vt

解得t=120s?！敬鸢浮?1)1072m(2)120s第40頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期日A、B兩輛汽車(chē)在筆直的公路上同向行駛。當(dāng)B車(chē)在A車(chē)前84m處時(shí)，B車(chē)速度為4m/s，且正以2m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)；經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，B車(chē)加速度突然變?yōu)榱?。A車(chē)一直以20m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)12s后兩車(chē)相遇。問(wèn)B車(chē)加速行駛的時(shí)間是多少？【答案】6s第41頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星