2021年（老高考）數(shù)學(xué)（文）方法技巧專(zhuān)練（一）

技法1直接法

1.[2020?廣東省七校聯(lián)合體高三第一次聯(lián)考試題]已知集合4={小2一1一2<0},B=

{x\x<\}f則有（）

A.4GB={x|0<xv2}

B.AQB={x\-\<x<1}

C.AUB={x\-\<x<\}

D.AUB={X\-1<JC<2}

-、歷i

2.[2020?河南省豫北名校高三質(zhì)量考評(píng)]復(fù)數(shù)演由=（）

A2^6.Q巡1.

A，5一?115-51

C.-1D.—i

31

3.[2020?湖南長(zhǎng)郡中學(xué)10月模擬]已知sin（a+2尸）=牙cos4=1,a,夕為銳角，則sin（a

+為的值為（）

3^7-2^23-2^14

A.1212

3V7+2V23+2V14

c12u.12

4.[2019?全國(guó)卷I]如圖是求一?的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（）

女二1

/輸出.

------k=k+l1結(jié)束

A.A=~~r~:B.4=2+)

2十ZA

C'=1+24D?A=]+2A

技法2排除法

5.[2019?全國(guó)卷I]已知集合M={x[—4<x<2},N=3『一'一6<0},則MClN=（）

A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<--2}

C.{x|—2<x<2}D.{x|2<x<3}

6.[2020?安徽五校第二次質(zhì)檢檢測(cè)]函數(shù)廣="3—的圖象大致為（）

技法3特值（例）法

7.[2020?陜西延安黃陵中學(xué)第一次檢測(cè)]實(shí)數(shù)機(jī)，〃滿(mǎn)足用>心0,則（）

A.~—B.y[tn-yfn<\jfn-n

C（9">住〉D.m2<mn

8.如圖，在△/BC中，H為BC上異于B,C的任一點(diǎn)，M為/〃的中點(diǎn)，若/應(yīng)=加

+〃4C,則Z+"等于（）

A.；B.|

CD1

v--6^口3

函數(shù)./（x）=sin（20x+m）在區(qū)間0，苧）內(nèi)沒(méi)有最值,

9.[2020?四川遂寧檢測(cè)]已知

則。的取值范圍是（）

A（?2]B島.

cR'匍D.信,1]

2y[x,OWxWl,

10.[2019?天津卷]已知函數(shù)人力=八若關(guān)于x的方程外）=一a+

x>l.

1X

”（“GR）恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為（）

「591（591

A.[_4）4JB.|j，4

C?汕{1}D.序1]u{l}

技法4圖解法

3x—4yW0,

11.[2020?河南省豫北名校高三質(zhì)量考評(píng)]已知x,歹滿(mǎn)足約束條件,7x—6y20,

、x+6y—24W0,

則z=x—2y的最小值為()

A.0B.-4

c.-YYD.1

2~xx<0,

9'1'則滿(mǎn)足於+1)勺3)的刀的取值范圍是

{1,x>0,

()

A.(—8,—1]B.(0,+°0)

C.(-1,0)D.(一8,0)

13.[2020?開(kāi)封市高三模擬試卷]在△Z8C中，A=^,AB=3,AC=4,動(dòng)點(diǎn)尸在△/SC

的內(nèi)切圓上，若萬(wàn)=9+〃病，則％+〃的最大值為()

A.TB.；

C.1D.2

14.[2020,廣東省?？糫函數(shù)外尸儂一2)ln冗，g(x)=21nx~x9若/(x)Wg(x)(xe(l,十

8))的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則左的取值范圍為()

3-ln3)

三方法技巧2021年(老高考)數(shù)學(xué)(文)方法技巧專(zhuān)練

2021年(老高考)數(shù)學(xué)(文)方法技巧專(zhuān)練(一)

1-答案：B

解析：由題意可得/=國(guó)―1<*<2},故4C8={M-l<xvl},選B.

2.答案：D

小一啦i（小—小i）（巾一小i）一5i

解析：由題意可知，

V2+V3i-（V2+V3i）（V2-V3i）-5

3.答案：D

解析：因?yàn)閏os/?=女4為銳角，所以sin6=[1_42=2^/2

cos2s=2cos2夕一1=—

3，

j<0，

JT

又尸為銳角，所以爹<2”令，

因?yàn)閍為銳角，所以a+24G&

3_____________

又sin(a+24)=不所以cos(a+2^)=—yj1—sin2(a+2//)——4J

所以sin(a+.)=sin[(a+2份一切

=sin(a+2jS)coscos(a+26)sin夕

=曷-(-部平

3+2V14L…_

=12，故選D.

4.答案：A

解析：/=:,4=1,1W2成立，執(zhí)行循環(huán)體；/=一%,%=2,2W2成立，執(zhí)行循環(huán)體;

24

A=――,A=3,3W2不成立，結(jié)束循環(huán)，輸出力.故空白框中應(yīng)填入.故選A.

-I]，IA

5套享?C

解析：由題得汽={》|一2令<3}.；—3用5；.一39MON,排除A,B；：2.5由W,.,.2.5

由VCN,排除D.故選C.

6.答案：C

、/f+」I

解析：因?yàn)楹瘮?shù)尸=當(dāng)一為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x>0時(shí)，

所以函數(shù)卜="~萬(wàn)一在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以排除選項(xiàng)B,D；

又當(dāng)x=l時(shí)，、=與<1，所以排除選項(xiàng)A,故選C.

7.答案：B

解析：取m=2,72=1,可得>4=m2>mn=2,

所以選項(xiàng)A,C,D錯(cuò)誤，故選B.

8.答案：A

解析：方法一（一般解法）因?yàn)椤盀閆”的中點(diǎn)，且就/=9+//左，

所以京=2病=217^+2〃元.

因?yàn)橥逪,C三點(diǎn)共線(xiàn)，

所以2%+2〃=1,所以義+〃=；.故選A.

方法二（特殊點(diǎn)法），為8c上異于8,C的任一點(diǎn)時(shí)2+〃都可得到唯一的結(jié)果，可取

H為BC的中點(diǎn)、,則有而4M=；,4H=5B+%C,所以4+“=3.故選A.

方法三（特殊圖形+特殊點(diǎn)法）易知△NBC為任意形狀時(shí)都可得到唯一結(jié)果，如

圖所示，在等腰直角三角形/8C中建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)4（0,0）,5（0,4）,C（4,0）,”為8c的中點(diǎn)，則”（2,2）,M（l,l）,所以病=必+立，

所以.故選A.

9.答案：C

解析：方法一（一般解法）當(dāng)於）取得最值時(shí)，2（yx+^=5+E，左GZ,解得x=竟-

瑞，皿

依題意得尸焉+景&啾5

jrL-rrJTi

令前+而9，k《Z,解得3毛+AJGZ,當(dāng)仁。時(shí)，叫

令竟+瑞泮，0解得。號(hào)+李?GZ,當(dāng)仁1時(shí)，。毫.

所以3的取值范圍是,，田故選C.

方法二（特值解法）根據(jù)選項(xiàng)知，當(dāng)3=1時(shí)，Xx）=sin&+；）.

因?yàn)閤G《，爭(zhēng)），所以;x+：G借引，當(dāng)時(shí)八x）取得最值，不符合題意,

排除A.

當(dāng)時(shí)，｛x）=sin&+￡）,因?yàn)閤G國(guó)咨），所以5+江&兀），函數(shù)沒(méi)有最值,

符合題意，B,D均未包含。不符合題意，排除B,D.選C.

10.答案：D

s12d=—守

解析：（特值解法）根據(jù)選項(xiàng)得，當(dāng)“=總時(shí)，由j44'得》=37一隊(duì)②，

OWxWl,

fl1,5

————A■十一

由＜x44，得x=4,符合題意，排除B,C.

lx>l

2G=-幺+1，「.

當(dāng)。=1時(shí)，由4得x=36—16小，由<x4'得x=2,符合

OWxWllx>l

題意，排除A.

選D.

11.答案：B

解析：解法一作出可行域，如圖中陰影部分所示，作出直線(xiàn)x—2y=0并平移，由圖

可知當(dāng)平移后的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(3,\7

時(shí)，z取得最小值，則Zmin=3—2XE=-4,故選B.

7K-6'H"

v+6\-24=0

3

2

1234x

3x—4y=0,x=O,3x—4y=0,

解法二由解得此時(shí)z=O；由『+6-24=。，解得

7x—6y=0,y=O,

r48

x=3,

*ir247x—6y=0,

此時(shí)z=lyp由，解得17此時(shí)z=-4.綜上所述，z的

36x+6y—24=0,y=r

最小值為-4,故選B.

12.答案：D

解析：當(dāng)xWO時(shí)，函數(shù)/(%)=2一、是減函數(shù)，則,/(x)2/(0)=l.作出/(x)的大致圖象如圖

x+1<0,

x+120,

所示，結(jié)合圖象可知，要使人x+l)q(2x),則需2x<0,或，「八所以X〈0,故選

2X<0

2x<x+19

D.

13.答案：C

解析：

通解以48所在的直線(xiàn)為x軸，/C所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則

/(0,0),8(3,0),C(0,4).設(shè)內(nèi)切圓的半徑為廠，由;(懣|+|就|+的),得，=1,則

內(nèi)切圓的圓心為(1,1),內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—l)2+(y—1)2=1,設(shè)P(1+cos6,1+sin

0)(0￡R),則成=(l+cosa1+sin。)，荔=(3,0),元=(0,4),由蘇=7或+從農(nóng)得

1+cos0=3Aii74cos0+3sin075

.所以2+〃=w(l+cos。)+彳(1+sin0)=二+----TT------=75'+y5sin(e+

1+sin0=4//。41Z1ZIZ12

47s

3)(<9￡R,mne=?),所以2+〃的最大值為五十五=1,故選C.

優(yōu)解設(shè)△48C的內(nèi)切圓與邊6C相切于點(diǎn)。，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，P,B,CS

點(diǎn)共線(xiàn)，又舒=9+〃就，則%+〃=1,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)。不重合時(shí)，A+//<1,故2+〃的

最大值為1,故選C.

14.答案：B

解析：由/(x)Wg(x)得(依-2)InxW21nx—x,xW(l,+°°),

YY

當(dāng)X>1時(shí)，lnx>0,則Ax—2W2一不？即履<4-xe(l,+?o).

、.xI、,xInx-1

設(shè)貼)=4一旅(Al)，則〃(》)=--^-=一而彳,

由力'(x)>0得一(Inx—1)>0,即Inxvl,貝(lave,所以力(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,

由〃'(x)〈0得一(Inx-1)<0,即lnx>l,則x>e,所以〃(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減,

故當(dāng)x=e時(shí)，〃(x)取得極大值/?(e)=4—竟=4—e.

當(dāng)xf1時(shí)，/i(x)f—8,

342

/?(3)=4—命，，(4)=4一記7=4—記亍=/?(2),作出函數(shù)〃(x)的圖象，如圖中實(shí)線(xiàn)所示,

圖中點(diǎn)/的坐標(biāo)為(3,4—備)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,4一書(shū))

—―

r]n34?>In2

當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)力，8時(shí)，對(duì)應(yīng)的斜率分別為Ao/=—六-=§一記?，3=-各一=

—1

-21n2,

經(jīng)分析可知要使/a)wg(x)(x￡(i,+8))的解集中恰有兩個(gè)整數(shù),

141

則直線(xiàn)歹=心:的斜率攵滿(mǎn)足％gvAW%/,即1一而廣左式§一記手

(1411

即實(shí)數(shù)上的取值范圍是(1—赤§一百?|，故選B.

2021年(老高考)數(shù)學(xué)(文)方法技巧專(zhuān)練(二)

技法5構(gòu)造法

1.[2020?江西省質(zhì)量檢測(cè)]已知可導(dǎo)函數(shù)./(X)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若對(duì)任意的xCR,都

有寅X)4'(x)+l,且負(fù)0)=2020,則不等式兀0—20198<1的解集為()

A.(-8,0)B.(0,+8)

C(一8,-)D.(-,+8)

。且?職則(

2.已知加，〃丘(2,

A.m>nB.m<n

C.w>2+~D.m,n的大小關(guān)系不確定

3.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”.若&=4,a“+i=2S“+l，〃GN*,貝ij,S$

4.如圖，己知球O的球面上有四點(diǎn)A,B,C,D,D4_L平面ABC,ABLBC,DA=

4B=BC=則球。的體積等于.

技法6等價(jià)轉(zhuǎn)化法

5.設(shè)xGR,若“1WXW3”是“|x—旬<2”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.(1,3)B.[1,3)

C.(1,3]D.[1,3]

6.[2020?江西九江一模]已知不等式mx3^y3—6x2y對(duì)于任意的[2,3]>yG[3,6]恒成

立，則，”的取值范圍是()

A.[9,+8)B.[-5,+8)

C.14樞+8)D.[4-72,9]

7.[2020?武漢調(diào)研]已知關(guān)于x的不等式x—aln對(duì)于任意的xG(l,+8)恒成

立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(—8,1—e]B.(—8,—3]

C.(-8,-2]D.(一8,2-e2]

8.[2020?福建廈門(mén)質(zhì)檢]在正三棱錐S-/8C中，AB=2小,54=2小，E,尸分別為“C,

S3的中點(diǎn).平面a過(guò)點(diǎn)4a〃平面SBC,an平面/8C=/,則異面直線(xiàn)/和EF所成角的

余弦值為.

技法7待定系數(shù)法

9.設(shè)夕=兀0是二次函數(shù)，方程_/(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根，且/(x)=2x+2,求兀0的解

析式?

10.衣柜里的樟腦丸，會(huì)因?yàn)閾]發(fā)而體積變小，剛放入的新樟腦丸體積為。，經(jīng)過(guò)f天

后樟腦丸的體積X。與天數(shù)f的關(guān)系為■(。=。?葭3若新樟腦丸經(jīng)過(guò)80天后，體積變?yōu)檠?/p>

。，則函數(shù)■⑺的解析式為.

11.[2020?長(zhǎng)沙市四校高三年級(jí)模擬考試]已知函數(shù)Xx)=Jsin(<ox+

(P)(/>0，(o>0,儂4)的部分圖象如圖所示，其中|尸。=2小.則於)的解析式為

12.、右焦點(diǎn)分別為a,尸2,過(guò)

點(diǎn)B的直線(xiàn)交橢圓于小B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,若尸C是線(xiàn)段力8的三等分點(diǎn)，AF2AB

的周長(zhǎng)為4小，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A-f+i=1B9+?=I

C.y+,2*=1D.y+y=l

技法8換元法

]

13.函數(shù)歹=x+i(x>—1)的最小值為()

A.1B.2

C.3D.4

14.函數(shù)J(x)=cos2x—2cos]的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.QB\6,1)

C(0,9D(吟§

t?t+1

15.不等式log2(2-l)-log2(2-2)<2的解集是.

Inx—2,x>0,

16.設(shè)函數(shù)f(x)=3……若方程"(王)了+必如(0+〃2—1=°有5個(gè)不

—x+3x,xWO,

同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)勿的取值范圍是

2021年(老高考)數(shù)學(xué)(文)方法技巧專(zhuān)練(二)

1.答案：B

解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)=&p,貝Ug'.)J(”?x)+i<o,所以函數(shù)g(x)=&^」■在

R上單調(diào)遞減.因?yàn)?(0)=2020,所以g(0)三丹]=2019.由/x)—2019e'<l,得/(x)一

/Tx)—1

1<2019ev,艮畔比L<2019,所以g(x)〈g(0).因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，所以x>0.故

選B.

2.答案：A

解析：由不等式可得去一，〈In加一In”，

即點(diǎn)+ln

設(shè)y(x)=5+lnx(xG(2，e)),

則/?=-^+7=—

因?yàn)閤W(2,e),所以/(x)>0,故函數(shù)/(x)在(2,e)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(〃)勺(加)，所以〃〈九故選A.

3.答案：1121

解析：???〃〃+]=2S〃+1,

Sn+]—Sn=2Sn+1,

5

數(shù)歹才是公比為3的等比數(shù)列,

S2+S

3.

又Sz=4,??SI=1,??ci\—\

:.S5+\=(S1+￡)義34=|X34=^,,.*.55=121.

4.答案：加兀

解析：如圖，以D4,AB,為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體,

設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R,

則正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)即為球。的直徑,

所以|C0=4(啦)2+(啦)2+(啦)2=2R,

所以R=坐，

故球。的體積夕=平=加兀.

5.答案：A

解析：由伏一a|v2,解得〃-2vx<t?+2.

因?yàn)槭?|x—〃|v2”的充分不必要條件，所以[1,3](〃-2,。+2),

[^―2<1,

所以「.解得14<3,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(1,3).故選A.

十2>3,

6.答案：A

解析：不等式加/23?一6五2y對(duì)于任意的x￡[2,3],y￡[3,6]恒成立，

等價(jià)于小注一等=￡-6。對(duì)于任意的》€(wěn)[2,3],yd[3,6]恒成立.

令/=?則1W/W3,所以加2/一6/在口,3]上恒成立.

令戶(hù)一6f(lWfW3),則

因?yàn)?⑺=3岸一6,由/(f)>0得也《W3,由，(f)vo得10V啦，

所以火。在[1,6)上單調(diào)遞減，在(啦，3]上單調(diào)遞增.

因?yàn)镠1)=-5,火3)=9,所以y(f)mx=9,所以"?29.故選A.

7.答案：B

Y—X—1

解析：由題意可知，分離參數(shù)得_族■—對(duì)于任意的XG(1,+8)恒成立，

人，x-3er-x-le^3lnx-l-x

令/(x)=i—j(X>1),

〈八/InxInx、，

由題意可知，

e*3in*-i-Yx—31nx—x

因?yàn)樯耙?》x(當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))，所以/(x)=^^i—),/=一3(當(dāng)x-31n

lli4111人

x=0時(shí)取等號(hào))，

所以aW—3,故選B.

8.答案:乎

解析：畫(huà)出圖象如圖所示，因?yàn)槠矫鎍過(guò)點(diǎn)4a〃平面SBC,a。平面/BC=/,平面

SBCC平面/BC=8C,所以/〃8c

取的中點(diǎn)。，連接DE,DF,貝ij￡>E〃8C,所以/〃。￡

所以異面直線(xiàn)/和"1所成角即為/。跖或其補(bǔ)角.

取8c的中點(diǎn)。，連接SO,AO,則SO_L8C,AO±BC,

又SOCMO=O,所以8C_L平面SON,

又S4U平面SQ4,所以8C_LS4

所以。尸.

在RtzXDEF中，易知DE=4&,DF=\[5,

所以EF=2巾,cosNDEF=^=*.

所以異面直線(xiàn)/和E尸所成角的余弦值為平.

9.答案：Hx)=f+2x+l

解析：設(shè)I/(x)=ax2+bx+c(a#0),

則/(x)=2ax+h=2x+2,

*.a=1,b=2,/(x)=x2+2x+c.

又???方程人工)=0有兩個(gè)相等實(shí)根，

?"=4—4c=0,解得《=1.故%0=/+解+1.

10.答案：■(/)=〃?仔■焉(,20)

444

解析：因?yàn)檎聊X丸經(jīng)過(guò)80天后，體積變?yōu)樵u(píng)，所以小所以。8。*=言，解

得/=一表In寸，所以々)=a?扁In今=”?造賒所以函數(shù)■(7)的解析式為■(/)=”?佶源

。20).

11.答案：D=2sin保一；)

解析：由題圖可知A=2,P(xit-2),Q(X2.2),所以|PA=.(X1_X2)2+(_2—2)2=

yl(X1—%2)2+42—2^5.

整理得如一觀=2,所以函數(shù)加)的最小正周期T=2|XLX2|=4,噂=4,解得。=宏

又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0,一小)，

所以2sin甲=一事,即sin9=一勺.

又陽(yáng)號(hào)所以9=—；,所以/(x)=2sin&—如

12.答案：A

解析：由橢圓的定義，得|4凡|+|/乃|=|6川+|83|=2〃，所以△B45的周長(zhǎng)為MQ|十

\AF^+\BF\I+\BF^—4a—4y[5,所以a=小,所以橢圓￡："+J=1.

不妨令點(diǎn)C是尸/的中點(diǎn)，點(diǎn)力在第一象限，因?yàn)槭?(一c,0),所以點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為c,

所以3+6=1,得4(c，1)，所以《。，親)，8(—2c,一罰.把點(diǎn)8的坐標(biāo)代入橢圓

4?204Mh2

E的方程，得當(dāng)-+至=1,即手+宗=1，化簡(jiǎn)得序=20—16c2.又序=5—c2,所以20—16/

=5-c2,得/=1,所以〃=4,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為?+?=1.故選A.

13.答案：A

.(/—l)2+(z—1)+1t2―/+11

解析：設(shè)f=x+1,.,.x=t—1,'-y—j=j='+]—1>2—1=1.

故選A.

14.答案：A

解析：y(x)—cos2x—Zcos2^=cos2x—cosx—1,

令尸cosxGLl1],原函數(shù)可以看作g(/)=*-Ll,

由于對(duì)稱(chēng)軸為f=T，對(duì)于酚=?—L1,

當(dāng)1,時(shí)，g⑺為減函數(shù)，當(dāng)twQ,1時(shí)，g(r)為增函數(shù)，

當(dāng)xe俘竽)時(shí)，f=cosx為減函數(shù)，且舊(一；，，，

，原函數(shù)在俘爭(zhēng))上單調(diào)遞增，故選A.

15.答案：(log2,，log23)

解析：設(shè)log2(2*—l)=y,則MJ+1)<2,解得一2勺<1,所以xe(log2,,log?3^).

16.答案：[—1,1]

解析：根據(jù)題意，畫(huà)出分段函數(shù)人工)的圖象，如圖中實(shí)線(xiàn)所示.

令，=y（x）,則方程［/（工）］2+〃?/（工）+加2—1=0有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根可轉(zhuǎn)化為方程，2+加/+

/-1=0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，.

設(shè)這兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根分別為d亥，易知外20,-2<Z2<0,

[g(—2)=加之一2〃?+3>0

令g(f)=?+〃”+〃，-1,則《

[g(0)=m2—1W0

解得一iWmWl,

???實(shí)數(shù)用的取值范圍是

2021年（老高考）數(shù)學(xué)（文）方法技巧專(zhuān)練（三）

技法9割補(bǔ)法

1.如圖所示，虛線(xiàn)網(wǎng)格的最小正方形的邊長(zhǎng)為1,實(shí)線(xiàn)是某幾何體的三視圖，則這個(gè)

幾何體的體積為（）

A.4兀B.2TI

C壽D.71

2.如圖，過(guò)正方形的頂點(diǎn)4作線(xiàn)段以1.平面/8CD若必=4B,則平面現(xiàn)8

與平面CQ尸所成二面角的度數(shù)為（）

A.90°B.60°

C.45°D.30°

3.［2020?江西九江模擬］半正多面體亦稱(chēng)“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的正

多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.二十四等邊體就是一種半正多面體，它由正

方體切截而成，以八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形為面，所有的棱都相等.如圖是某二十四等

邊體的三視圖，則其體積為（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.1B.4

C竽.

4.[2020?福州質(zhì)檢]在三棱錐P-48C中,底面4BC,ABLAC,48=6,ZC=8,

。是線(xiàn)段/C上一點(diǎn)，且/O=3OC.三棱錐尸-48C的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，過(guò)點(diǎn)。

作球O的截面，則所得截面圓的面積的最小值為.

技法10整體代換法

5.若函數(shù)/(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有=|,則/(log22

019)=()

10111010

A-1012B1Oil

rl?09

J010D.1

6.等比數(shù)列｛〃〃｝中，己知。1+的=8,怒+白7=4,則。9+〃11+。13+。15的值為()

A.1B.2

C.3D.5

7.已知人乃二^^+反+乂必力0),若火2019)=〃，則|一2019)=()

A.kB.—k

C,1—kD.2~k

??2a2?b

8.已知三點(diǎn)A[\,-2),B(a,-1),C(一SO)共線(xiàn)，則午-(a>0,b>0)的最小

值為()

A.11B.10

C.6D.4

技法11分離參數(shù)法

9.已知函數(shù)/(才)=&「，若不等式/(x)Wfcr對(duì)任意的x>0恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范

圍為?

10.已知關(guān)于x的方程。+l)cosx-/sinx=/+2在(0,兀)上有實(shí)根，則實(shí)數(shù)，的最大值

是.

2a—x2

11.已知函數(shù)/(x)=_e「一(aeR).若VxC[l,+8),不等式—l恒成立，求實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

12.[2020?河南三市聯(lián)考]已知函數(shù)段)=x—ln(x+l)對(duì)任意的xW[0,+°°),都有

./(x)Wfcc2成立，則%的最小值為()

A.1B，2

C.eD，2

技法12估算法

2

13.[2020?山東濟(jì)南部分學(xué)校聯(lián)考]設(shè)〃=2一§,Z>=log35,c=log45,則mb,c的大小

關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.c<h<a

14.[2020?濟(jì)南市高考模擬考試]如圖，在多面體力8CDE尸中，己知平面/8C。是邊長(zhǎng)

3

為3的正方形，EF//AB,EF=y跖與平面48CD的距離為2,則該多面體的體積為（）

9

A，2B.5

C.6D學(xué)

15.設(shè)4B,C,。是一個(gè)半徑為4的球的球面上不共面的四點(diǎn)，4ABC為等邊三角

形且面積為喃，則三棱錐。-A8C的體積的最大值為（）

A.12^3B.18小

C.24^3D.544

2021年（老高考）數(shù)學(xué)（文）方法技巧專(zhuān)練（三）

1.答案：B

解析：

依題意可得所求的幾何體的直觀圖如圖所示，把所求的幾何體補(bǔ)成圓柱，易知該幾何

體剛好是底面圓的半徑為1,高為4的圓柱的一半，可得這個(gè)幾何體的體積為

XTCX[2x4=2兀，故選B.

2.答案：C

解析：把原四棱錐補(bǔ)成正方體力8C。-尸。如圖所示，連接C。，則所求二面角轉(zhuǎn)

化為平面COP0與平面8/P。所成的二面角，而NCQ8是平面CDP。與平面8/P。所成二

面角的平面角，又因?yàn)?C08=45。，所以平面為8與平面8尸所成二面角的度數(shù)為45。.

故選C.

P0

Pw

DC

3.答案：D

解析：該二十四等邊體的直觀圖的示意圖如圖所示，將其放入正方體中，由三視圖可

知，二十四等邊體的棱長(zhǎng)為啦，

它是由棱長(zhǎng)為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐得到的.

其體積匕=2*2乂2—8*；義；義1*1義1=乎.故選口.

4,答案：12兀

解扁如圖所示，將三棱錐尸-Z8C補(bǔ)成直三棱柱，則三棱錐和該直三棱柱的外接球

都是球O,記三角形Z8C的外心為。，連接

設(shè)球。的半徑為凡PA=2x,則易知球心O到平面Z8C的距離為x,即。Oi=x.

連接OM,OA,則8c=9加2+82=5,所以片=%2+25.

在△48。中，取/C的中點(diǎn)E,連接0\E,則。E=?B=3,DE=^AC=2,

所以。1。=/耳？=也._____

連接O。，在RtaOOiZ）中，。。=#接+13,由題意得當(dāng)過(guò)點(diǎn)。的截面與直線(xiàn)OD垂直

時(shí)，截面面積最小，設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為廠，則八=/?2-?！辏?=，+25—3+13）=12.

所以所得截面圓的面積的最小值為127t.

5.答案：C

122

解析：假設(shè)大期）=丞則40+再]=xo,進(jìn)而｛x）=xo一詬

21

從而/(xo)=xo-2v(|+1)當(dāng)X0=l時(shí)，/U)=§，

因?yàn)閥（x）是單調(diào)函數(shù)，所以由於o）=；,可得x（）=i,

所以40=1—訴Y

21009

所以火1。822。9)=1一示菽麗百=1oo,故選C.

6.答案：C

解析：解法一設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,則。5=。1夕4，。7=。3]，

怒+。741

所以r=

。1+。382,

又砂+⑶]=。4+。3q8=3+。3)夕8=8X(引2=2,

03+015=0/2+43412=(4]+。3)/2=8X(￡)3=],

所以的十的1+。13+。15=2+1=3.

解法二因?yàn)椋梗秊榈缺葦?shù)列，所以卷+乃是m+的與ag+a\\的等比中項(xiàng),

所以(45+47)2=(0+43)(09+011),故a9+si=(：]+]=]=2.

同理，。9+〃11是的+。7與。13+。15的等比中項(xiàng)，

所以(。9+。11)2=(。5+。7)(。13+。15),故。13+。15="，詈"=曰=1.

所以。9+。11+。13+〃15=2+1=3.

7.答案：D

33

解析：V/2019)=a*2019+6-2019+1=k9Aa-2019+i-2019=*-1,則-一2019)

=a(-2019)3+/?(-2019)+l=-[?-20193+Z)-2019]+l=2-A:.

8.答案：A

—2—1+2

解析：由力(1,-2),B(a,-1),C(—b,0)共線(xiàn)得甲=下不，

整理得2a+b=l,

匕匕?1+2。2+Z?4〃+力4a+3hA4。[b4a,1\,b4a

所以-----=-----------+—；—=7+-+父27+2、一工=11,當(dāng)且僅當(dāng)一=工且

ababab\]abab

2a+b=l即a=：,b=，時(shí),等號(hào)成立，故選A.

9.答案：y,十8)

解析：不等式段)W丘對(duì)任意的x>0恒成立，即左》T—對(duì)任意的Q0恒成立.令g(x)

Inx+2e.1—2(lnx+2)—21nx—3.,3_.

=-p-,則g(x)=p=p，令g(x)=0，付x=e—],且當(dāng)x￡(0,

e—3時(shí)，gr(x)>0,當(dāng)x《(e—芯+8)時(shí)，g/(x)<0,故當(dāng)尸e一1?時(shí)，g(x)取得最大值g(e

1

-f)=^3=f,所以左即左的取值范圍為[3,+8).

10.

答案：一1

解析：由題意可得,

11-cosx+sinx1-sinx

2—cosx2—cosx'

]—sinx

如圖，令尸(cosx,sinx),4(2,1),則%S因?yàn)閤￡(0,K),所以一IVcosxV

乙COSX

l,0<sin令a=cosx,b=sinx,則點(diǎn)P是上半圓片十后=乂一1Va〈l,0V6Wl)上任

1—cinX|

意一點(diǎn)，可知OW%V1,所以0<1—^------^1,即0V—所以，w-l,故實(shí)數(shù)E

2—cosxt

的最大值是一1.

11.答案：g,+8)

f-~2a~x2i

2

解析：V/(x)>-IOe,t>-l<^2a>x-e,

...由條件知，2a>/-e*對(duì)于任意恒成立.

令g(x)=f—e*,h(x)—g'(x)—2x~ex,

則力'(x)=2-e\

當(dāng)xC[l,+8)時(shí)，h'(x)=2—82—e<0,

...〃(x)=g'(x)=2x-e、在[1,+8)上單調(diào)遞減，

：./i(x)=2x-er^2-e<0,即g'(x)<0,

—8,在[1，+8)上單調(diào)遞減，

二g(x)=*—e'<g(l)=l-e,

故火X)>-1在□,+8)上恒成立,只需2">g(x)mox=1—e,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是仁￡,+°°j.

12.答案：B

解析：方法一(一般解法)①當(dāng)Z0時(shí)，取x=l,有｛l)=l-ln2>0,故收0不符合

題意.

②當(dāng)4>0時(shí)，令g(x)=/(x)—fcr2,即g(x)=x—ln(x+1)一丘2,工20,

-1x[2kx—(1—2k)]

所以g。)=1_再1_2丘=_x+i

令g'(X)=O,可得Xl=0,X2=一五一>—1.

I1—2k

(i)當(dāng)左2]時(shí)，』一式0,g'(x)<0在(0,+8)上恒成立，g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞減,

所以g(x)<g(0)=0，

所以對(duì)任意的x￡[0,+°°),有/(x)Wfcr2成立.

1]—2k

(ii)當(dāng)0〈人〈2時(shí)，X2=—^>0,

1—2k1—2k

當(dāng)0<x<筌時(shí),gr(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>,卜時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

因此存在x()e[o,12；*)使得g(xo)>冢0)=0,

可得看一ln(xo+l)》Ax8,即與題設(shè)矛盾，該情況不成立，

綜上所述，當(dāng)人23時(shí)，對(duì)任意的xG[0,+8),都有丘2成立，

則人的最小值為3，故選B.

方法二(洛必達(dá)法則)當(dāng)x=0時(shí)，不等式丘2顯然成立.

當(dāng)xWO時(shí)，不等式/(x)W小恒成立可化為左型二工—1y+1)恒成立.

因?yàn)椋?x)=l一士20對(duì)任意的x￡[0,+8)恒成立且/(x)不恒為0,所以外)在

[0,+8）上也單調(diào)遞增，

而