2023年初二數(shù)學(xué)習(xí)題一、選擇題1.若$P(x)=6x^2-23x+6$，則$P(1)+P(2)+\\cdots+P(n)$的值是（）A．$6n^3-11n^2+n$B．$2n^3+3n^2-n$C．$3n^3-7n^2+5n$D．$3n^3-8n^2+6n$【解析】將$P(x)=6x^2-23x+6$帶入后有$P(1)=-(17),P(2)=10,P(3)=51,...,P(n)=6n^2-23n+6$，于是$$\\begin{aligned}\\sum\\limits_{i=1}^nP(i)&=P(1)+P(2)+\\cdots+P(n)\\\\&=(-17)+10+51+\\cdots+[6n^2-23n+6]\\\\&=\\sum\\limits_{i=1}^n6i^2-23i+6\\\\&=6\\sum\\limits_{i=1}^ni^2-23\\sum\\limits_{i=1}^ni+\\sum\\limits_{i=1}^n6\\\\&=2n^3+3n^2-n\\end{aligned}$$所以選B。2.若$a^3+b^3=3a^2+3ab^2-b^3$，則$(a+b)$的值為（）A．3B．0C．1D．-1【解析】給等式兩邊同時(shí)加$b^3$，得到$a^3+2b^3=3a^2+3ab^2$，將其整理為$(a+b)(a^2-ab+b^2)=3a(a+b)b$。因?yàn)?(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$，所以$a^3+b^3=3a(a+b)b$，即$a^2-ab+b^2=3ab$，進(jìn)而$(a+b)^2-ab=3ab$，即$(a+b)^2=4ab$。因?yàn)?a,b$都是實(shí)數(shù)，所以$(a+b)$的值只能是0或$-2\\sqrt{ab}$或$2\\sqrt{ab}$。因?yàn)檫x項(xiàng)中只有0，故選B。3.函數(shù)$f(x)=\\sqrt{4-x^2}$的定義域?yàn)椋ǎ〢．$x\\le-2$B．$x\\ge2$C．$-2\\lex\\le2$D．$x\\in(-2,2)$【解析】要使$\\sqrt{4-x^2}$有意義，則必須滿足$4-x^2\\ge0$，即$x\\in[-2,2]$，因此選C。4.若$a\\le0$，則$x^2-2ax+a^2$的值域?yàn)椋ǎ〢．$[0,+\\infty)$B．$(-\\infty,0]$C．$[a^2,+\\infty)$D．$(-\\infty,a^2]$【解析】由于$a\\le0$，所以$x^2-2ax+a^2\\lex^2\\le0$，即當(dāng)$x$取到任何實(shí)數(shù)都有$x^2-2ax+a^2\\le0$。所以該函數(shù)的值域是$(-\\infty,0]$，因此選B。二、填空題1.解方程$(4\\sqrt{x+1}-3\\sqrt{x-2})^2=3x+13$，得到$x=$____________【解析】將未知數(shù)移到左右兩邊，并整理得$(64-24\\sqrt{x+1}\\sqrt{x-2}+9x+12-3x)/3=x+1$，即$(3x-52)/3=8\\sqrt{x+1}\\sqrt{x-2}$。兩邊再平方并化簡得到$81x^2-432x+403=0$，解得$x=3,19/27$，但$x=19/27$不符合原方程條件，所以$x=3$，因此答案為3。2.已知函數(shù)$f(x)=\\sqrt{x-1}+\\sqrt{6-x}$，若$f(x)=f(7-x)$，則$x=$____________【解析】由$f(x)=\\sqrt{x-1}+\\sqrt{6-x}$得$f'(x)=\\dfrac{1}{2\\sqrt{x-1}}-\\dfrac{1}{2\\sqrt{6-x}}$。因?yàn)?f(x)=f(7-x)$，所以$f'(x)=-f'(7-x)$，即$\\dfrac{1}{2\\sqrt{x-1}}-\\dfrac{1}{2\\sqrt{6-x}}=-\\dfrac{1}{2\\sqrt{6-x}}+\\dfrac{1}{2\\sqrt{x-1}}$，所以$\\sqrt{x-1}=\\sqrt{6-x}$，即$x=3$，故答案為3。3.已知函數(shù)$f(x)=\\sqrt{\\dfrac{x-21}{x-20}}+\\sqrt{\\dfrac{x-12}{x-24}}$，則$x∈$____________【解析】$x$的取值應(yīng)滿足$\\dfrac{x-21}{x-20}\\ge0$且$\\dfrac{x-12}{x-24}\\ge0$，即$x\\in[12,20)\\cup(20,21]\\cup[24,+\\infty)$，也可表示為$x\\in[12,21]\\cup[24,+\\infty)$，故答案為$[12,21]\\cup[24,+\\infty)$。三、解答題1.已知函數(shù)$f(x)=\\dfrac{1}{\\sqrt{25-x^2}}$，則$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間和值域分別為什么？【解答】(1)首先，由于$\\sqrt{x}$是單調(diào)遞增函數(shù)，而分母$\\sqrt{25-x^2}$中的$x^2$項(xiàng)系數(shù)為$-1$，所以$\\sqrt{25-x^2}$是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。因此，$f(x)$的單調(diào)性與$f(x)$的分母單調(diào)性相反。因?yàn)?\\sqrt{25-x^2}$的定義域?yàn)?[-5,5]$，所以$f(x)$的定義域?yàn)?(-5,5)$。當(dāng)$x_1<x_2$時(shí)，由于$f(x)$的單調(diào)性與其分母單調(diào)性相反，所以$f(x_1)>f(x_2)$。也就是說，$f(x)$在$(-5,0)$和$(0,5)$區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的。(2)當(dāng)$x\\to-\\infty$時(shí)，$f(x)\\to0$；當(dāng)$x\\to5$時(shí)，$f(x)