1nn1nnnn1n1nn1nnnn1n高階線性微分方程常用解法簡介摘要本文主要介紹高階線性微方程求解方法要內(nèi)容有高階線性微分方程求解的常用方法如。關(guān)鍵詞：階線性微分方程求解方法在微分方程的理論中線性微分方程是非常值得重視的一部分內(nèi)容這不僅因為線性微分方程的一般理論已被研究的十分清楚且線性微分方程是研究非線性微分方程的基礎它在物理學和工程技術(shù)自然科學中也有著廣泛應用。下面對高階線性微分方程解法做一些簡單介紹nnx討論如下n階線性微分方程：(t)t)(t)f(t)dtndtn（1中a(t)i=1,2,3,,n）f(t)都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果ixddxf()，則方程（1）變?yōu)?t)t)(t)xndt

（2稱為齊次線性微分方程，而稱一般方程（）為階非齊次線性微分方程，簡稱非齊次線性微分方程，并且把方程2）叫做對應于方程1）的齊次線性微分方程.1.歐拉待定指數(shù)函數(shù)法此方法又叫特征根法，用于求常系數(shù)齊次線性微分方程的基本解組。形如xddx[x]0,(3)其中a為常數(shù)，稱為dtn階常系數(shù)齊次線性微分方程。dnL]dtndtn

deen

)(

F(其中F(

=0(4)是多項式為特征方程，它的根為特征根.1.1特征根是單根的情形1

,2

是特征方F(n

1

的n彼此不n相等的根，則應相應地方程（3）有如下n個解

,

t

,

e

t

.

（5）我們指出這n個解在區(qū)上線性無關(guān)，從而組成方程的基本解組如

i

i)均為實數(shù)，則（5）是方程（3）的個線性無關(guān)的實值解而方（的通解可表示xe1

e2

t

n

t

,其,1n為任意常數(shù).如果特征方程有復根則因方程的系數(shù)是實常數(shù)復根將稱對共軛的出現(xiàn)1

nk2nk2221

是一特征根2

是特征根因而于這對共軛復根對應的，方程（3）有兩個復值解ee

((

tt

),(cossin).對應于特征方程的一對共軛復值,e.1.2特征根有重根的情形設特征方程有k重則易知知1

我們可求得方程3）的兩個實F

F1

'

(

F1

(

(

F1

(k)

(

1先即特征方程有因于a1nn

n

0,也就是特征根方程的形狀

1

n

而對應的方程（3）變?yōu)閤xxdtndtndtk

見它有k個解1t,t

2

,t且線性無關(guān).特征方程的k重零根就對應于方程（3）的k個線性無關(guān)解1t,tt

.k重0,對應于特征方程（）k重，方程（3）個解1e

,te

樣假設特征方程（）的其他根

2

3

,

的重數(shù)依次k，k++k=n,2mi1+m

j

當j)，對應i方程（3）的解e,tet2

t

k.

t

,

te

t

,

k

t

。上述解夠成（3）的基本解組特征方程有復

且為k重特征根。則（）有2k個實解e

cos

,te

cos

,t

cos

,

cos

,e,sin,e,tsin要點是把微分方程的求解問題化為代數(shù)方程的求根問題。下面介紹兩個例子.例1.

求方程

y

y

y通解.解：特征方程為2

或

(

由此得

=-1，=2+3i,=2-3i1因此，基本解組為

3e2cos3x2x通解為

1

2

cos3xsin3).2例2.

求方程

y

(4)

y

y

y

y

的通解.解：特征方程為

由

2

(

故特征根是

3

4它們對應的實解為e2,,cosx,sinx.所求通解為

2x

x)xsinx.1242．比較系數(shù)法用于求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解2.1類型1設f(t)b0

t1

t)

，其b(imi為實常數(shù)，那么非齊次性微分方程有形如k(BtBt)e的其中k為特征方程01F(的重數(shù)（單根相當于k=1；不是特征根時，取而,B,01

B

是待定常數(shù)，可以通過比較系數(shù)來確定如則此時f(t)t0

t1

t。現(xiàn)在分為兩種情況討論（是特征根的情形，以xBtmtm01

代入方程，并比較t的同次冪的系數(shù)，可以唯一的逐個確,B,01

B

.（b是k重特征根的情形，x

0

t

t1

m

)

為特解如

，同分為兩種情況討論：3

是特征方程的根的情形，有xBt0

t1

m

B)e

特解；特征方程的k重根的情形，有xk(Bttm0

)

特解.例1

求方程

12

x

的通解.解

易見，對應齊次方程的特征方程為

特征根

對應齊次方程的通解為yCx1

由是特征方程的根，故已知方程有形如yA1

的特解.它代入原方程，得2Aex

12

e

x從而

1，故yxe4

x

，由此得通解yC

x

1xe4

x例2

求方程

y

2

x

的通解.解

對應齊次方程的特征方程為

0特征根

,次方程的通解為yC1

5x由0是單特征根故已知非齊次方程有形如y(1

2

Bx的特解.將它代入已知方程,并比較x的同次冪系數(shù),得1,BC31故y3

,后可得所求通解1y23

2.1類型2設(t)A(t)cos

t)

eat中是常數(shù)A(t),B(t)是帶實系4

數(shù)的多項式，一個次數(shù)為另一個不超過m.非齊次線性微分方程有形如x

k

[Pt)

(t)

e

at

的特解，這里k為特征方程的

的重數(shù)P(t),Q(t)均為待定的帶實系數(shù)的次數(shù)不高于m的t的多項式，可以通過比較系數(shù)的方法來確定.例求方程yx)的通解.解

先求解對應的齊次方程：

0我們有

0,

1

2yCx1

x因為數(shù)

不是特征根，故原方程具有形y1

x

(Asin特解.將上式代入原方程,由于y(Asin1y1

x

B)xB)x]y

2

x

BxAx)故yBxsin)x[(B)cosx(B)xx=e

sinx)(3AcosxBAsincosx比較上述等式兩端cos,x的系數(shù),可ABB因此,.y1

x

sin).所求通解為y(2cossin)ee.123.常數(shù)變易法只要知道對應的齊次線性微分方程的基本解組就可以利用常數(shù)變易法求得非齊次線性微分方程的基本解組.例：求非齊次方程

''

y

1x

的通.已cos,yx是對應齊次方1程的線性無關(guān)解.5

1xcosx(1xcosx(x2121解：則它的通解為ycosxsinx現(xiàn)在求已知方程形如1yC(x)cos)sinx的一個特解由關(guān)系式(x),C'(x)滿足方1122程組cosxxx)

或?qū)懗杉兞糠匠探MxC()cosx(x)sinx21('(xx

解上述方程組，得sinC'(x

'2

()積分得C()C()故已知方程的通解為1xlncosxsinx1除以上方法外常用的還有拉普拉斯變換法用拉普拉斯變換法則首先將線性微分方程轉(zhuǎn)換成