第十一章三角形111.1與三角形有關(guān)的線段211.1

與三角形有關(guān)的線段34三角形及相關(guān)概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。ABCacb組成三角形的線段叫做三角形的邊。相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱角。相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)。頂點(diǎn)是A，B，C的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”。5三角形的分類按照三個(gè)內(nèi)角的大小分類6三邊都相等的三角形叫做等邊三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形ABCABCABC腰腰底邊頂角底角底角7按邊的相等關(guān)系分類三邊都不相等的三角形等腰三角形等邊三角形8三角形三邊之間的大小關(guān)系探究任意畫(huà)一個(gè)△ABC，假設(shè)有一只小蟲(chóng)要從B

點(diǎn)出發(fā)，沿三角形的邊爬到C點(diǎn)。（1）它有幾種路線可以選擇?（2）各條路線的長(zhǎng)有什么關(guān)系?為什么？ABC兩點(diǎn)之間線段最短三角形兩邊的和大于第三邊9移項(xiàng)ABC三角形兩邊的差小于第三邊10例題用一條長(zhǎng)為18㎝的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形。（1）如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，那么各邊的長(zhǎng)是多少？（2）能圍成有一邊的長(zhǎng)為4㎝的等腰三角形嗎？為什么？解：（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為x

㎝，則腰長(zhǎng)2x

㎝。x+2x+2x=18解得x=3.6所以，三邊長(zhǎng)分別為3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝。等腰三角形有什么特點(diǎn)？若設(shè)底邊長(zhǎng)為x

㎝，則腰長(zhǎng)是多少？11例題用一條長(zhǎng)為18㎝的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形。（1）如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，那么各邊的長(zhǎng)是多少？（2）能圍成有一邊的長(zhǎng)為4㎝的等腰三角形嗎？為什么？（2）①如果長(zhǎng)為4㎝的邊為底邊，設(shè)腰長(zhǎng)為x㎝，則4+2x=18解得x=7②如果長(zhǎng)為4㎝的邊為腰，設(shè)底邊長(zhǎng)為x㎝，則2×4+x=18解得x=10因?yàn)?+4＜10，出現(xiàn)兩邊的和小于第三邊的情況，所以不能圍成腰長(zhǎng)是4㎝的等腰三角形。由以上討論可知，可以圍成底邊長(zhǎng)是4㎝的等腰三角形。“有一邊的長(zhǎng)為4㎝”是什么意思？12課堂練習(xí)1.圖中有幾個(gè)三角形？用符號(hào)表示這些三角形。ABCDE13課堂練習(xí)2.下列長(zhǎng)度的三條線段能否組成三角形？為什么？（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10.1411.1.1

三角形的邊三角形及相關(guān)概念階段小結(jié)由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。頂點(diǎn)是A，B，C的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”。ABCacb組成三角形的線段叫做三角形的邊。相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱角。相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)。1511.1.1

三角形的邊三角形的分類三角形三邊之間的大小關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊三角形兩邊的差小于第三邊階段小結(jié)1611.1.2

三角形的高、中線、角平分線從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對(duì)的邊BC所在的直線畫(huà)垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高。ABCD高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。1711.1.2

三角形的高、中線、角平分線從△

ABC的頂點(diǎn)A向它所對(duì)的邊BC所在的直線畫(huà)垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高。ABCDABC(D)ABCD18ABCDABC(D)ABCD你能畫(huà)出另兩條邊上的高嗎？三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)。19連接△ABC的頂點(diǎn)A和它的對(duì)邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線。ABCD你能畫(huà)出另兩條邊上的中線嗎？FE三角形的三條中線相交于一點(diǎn)。三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心。20如圖，畫(huà)∠A的平分線AD，交∠A所對(duì)的邊BC于點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線。ABCD你能畫(huà)出另兩條角平分線嗎？FE三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)。21課堂練習(xí)填空:(1)如圖(1),AD,BE,CF是△ABC的三條中線,則(2)如圖(2),AD,BE,CF是△ABC的三條角平分線,則2211.1.2

三角形的高、中線、角平分線1、三角形的高、中線、角平分線的概念和畫(huà)法。從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對(duì)的邊BC所在的直線畫(huà)垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高。連結(jié)△ABC的頂點(diǎn)A和它的對(duì)邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線。畫(huà)∠A的平分線AD，交∠A所對(duì)的邊BC于點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線。2、三角形的三條高、三條中線、三條角平分線及交點(diǎn)的位置規(guī)律。三角形的三條中線的交點(diǎn)、三條角平分線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部。銳三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，直角三角形三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部。階段小結(jié)2311.1.3

三角形的穩(wěn)定性工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，如屋頂鋼架，其中的道理是什么？蓋房子時(shí)，在窗框未安裝之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，為什么要這樣做呢？24探究扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎?三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性。25三角形的穩(wěn)定性有廣泛的應(yīng)用。26四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛的應(yīng)用。27課堂練習(xí)1.下列圖形中哪些具有穩(wěn)定性？28課堂練習(xí)2.要使下列木架不變形，分別至少要再釘上幾根木條？2911.1.3

三角形的穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性。三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性都在生產(chǎn)和生活中都有廣泛的應(yīng)用。階段小結(jié)3011.1

與三角形有關(guān)的線段本節(jié)小結(jié)三角形相關(guān)概念及表示方法三角形按邊分類三角形三邊之間的關(guān)系概念、畫(huà)法、交點(diǎn)三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性3111.2與三角形有關(guān)的角3211.2

與三角形有關(guān)的角3311.2.1

三角形的內(nèi)角ABC三角形的內(nèi)角和等于180°如何證明？34你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？35已知△ABC

，求證：∠A+∠B+∠C=180°。ABC35412l證明:過(guò)點(diǎn)A作線l，使l∥BC.∵l∥BC∴∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）同理∠3=∠5∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定義）∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°36你還有其它方法證明三角形內(nèi)角和定理嗎？373839課堂練習(xí)40課堂練習(xí)41思考直角三角形的兩個(gè)銳角有什么關(guān)系?ACB如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°即∠A+∠B+90°=180°所以∠A+∠B=90°也就是說(shuō)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余。42思考我們知道，如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余。反過(guò)來(lái)，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？說(shuō)說(shuō)理由。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形43由三角形內(nèi)角和定理，可得出：（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；（2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；（3）一個(gè)三角形最多有一個(gè)直角或鈍角，最少有兩個(gè)銳角；（4）一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角小于或等于60°。44課堂練習(xí)45課堂練習(xí)4611.2.1

三角形的內(nèi)角1、三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。證明+應(yīng)用2、由三角形內(nèi)角和定理，可得出：（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；（2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；（3）一個(gè)三角形最多有一個(gè)直角或鈍角，最少有兩個(gè)銳角；（4）一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角小于或等于60°。階段小結(jié)4711.1.2

三角形的外角三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。ABCD148哪些是三角形的內(nèi)角?哪些是三角形的外角?132457861211910三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有2個(gè)外角(互為對(duì)頂角)，共有6個(gè)外角。49思考如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，能求出∠ACD嗎？∠ACD與∠A，∠B有什么關(guān)系？任意一個(gè)三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角是否都有這種關(guān)系？ABCD70°60°三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。如何證明？50證明：在△ABC中∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形內(nèi)角和定理)，∠ACB+∠ACD=180°（平角定義），∴∠ACD=∠A+∠B.已知：∠ACD

是△ABC的外角.求證：∠ACD=∠A+∠BABCD51例題三角形外角和等于360°。外角和一般是每個(gè)頂點(diǎn)只取一個(gè)外角計(jì)算而得。52課堂練習(xí)說(shuō)出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)5311.1.2

三角形的外角1、三角形外角的定義三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。2、三角形外角的性質(zhì)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。3、三角形外角和三角形外角和等于360°。階段小結(jié)5411.2

與三角形有關(guān)的角本節(jié)小結(jié)與三角形有關(guān)的角定義性質(zhì)外角和內(nèi)角和5511.3多邊形及其內(nèi)角和5611.3

多邊形及其內(nèi)角和5711.3.1

多邊形58在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。如果一個(gè)多邊形由n條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做n邊形。由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。三角形四邊形五邊形六邊形八邊形（n≥3）59多邊形的相關(guān)概念A(yù)BCDE內(nèi)角外角F多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫多邊形的外角。連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。ABC三角形相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角。三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。D頂點(diǎn)邊對(duì)角線60探究：n邊形有幾條對(duì)角線？三角形四邊形五邊形六邊形八邊形從同一頂點(diǎn)引出的對(duì)角線條數(shù)：01235n邊形n-3n邊形共有對(duì)角線條（n≥3）61你能說(shuō)出這兩個(gè)圖形的異同點(diǎn)嗎？畫(huà)出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形。凸四邊形凹四邊形62各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。正三角形正方形正五邊形正六邊形63課堂練習(xí)在書(shū)21頁(yè)畫(huà)一畫(huà)64課堂練習(xí)2.四邊形的一條對(duì)角線將四邊形分成幾個(gè)三角形？從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)出幾條對(duì)角線？它們將五邊形分成幾個(gè)三角形？6511.3.1

多邊形1.多邊形的相關(guān)概念在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫多邊形的外角。連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。2.多邊形的對(duì)角線條數(shù)3.多邊形的分類階段小結(jié)n邊形共有對(duì)角線條（n≥3）凸多邊形凹多邊形6611.3.2

多邊形的內(nèi)角和思考：三角形的內(nèi)角和是多少度？四邊形的內(nèi)角和多少度？你能利用三角形內(nèi)角和定理證明四邊形的內(nèi)角和為360°嗎？ABDC2143類比上面的過(guò)程，你能推導(dǎo)出五邊形、六邊形的內(nèi)角和各是多少度嗎？67從五邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作______對(duì)角線，它們將五邊形分為_(kāi)_____個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×_______；從六邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作______對(duì)角線，它們將六邊形分為_(kāi)_____個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×_______；從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作______對(duì)角線，它們將n邊形分為_(kāi)_____個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×_______；五邊形六邊形233344n-3n-2n-268五邊形六邊形n邊形的內(nèi)角和公式：

n邊形的內(nèi)角和等于（n－2）×180°69例題例1如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？70例題例2如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和。六邊形的外角和等于多少？如果六邊形換成n邊形呢？多邊形的外角的等于360°。分析：(1)任何一個(gè)外角和與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？(2)六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少