一階電路過渡過程的分析第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日第4章一階電路過渡過程的分析4.1過渡過程和電路初始條件的求解4.1.1動態(tài)電路及其過渡過程1.動態(tài)電路及其描述方法電容和電感是兩種動態(tài)元件，其電壓和電流的約束關(guān)系要用微分或積分形式來表述。我們把含有動態(tài)元件電容、電感的電路稱為動態(tài)電路。動態(tài)電路需要用微分方程來描述。2.電路的過渡過程動態(tài)電路有一個特征：當(dāng)開關(guān)斷開或接入使電路結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生改變時，可能使電路改變原來的工作狀態(tài)而進(jìn)入另一個工作狀態(tài)，并且電路的這種轉(zhuǎn)換往往需要一個過程，該過程被稱為過渡過程。4.1.2換路與電路的初始條件1.換路在電路理論中，把電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)的變化所引起的電路變化稱為“換路”，并認(rèn)為換路是在極短的時間，即t=0時刻進(jìn)行的。把換路前趨近于換路的一瞬間記為t=0-，換路后的瞬間記為t=0+，換路所經(jīng)歷的時間為0-到0+。第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日2.電路的初始條件

電路的初始條件又稱初始值，是指所求變量（u或i）及其（n-1）階導(dǎo)數(shù)在t=0+時的值。電路的初始條件可分為獨立初始條件和相關(guān)初始條件兩種。由于電容電壓和電感電流往往是動態(tài)電路的主要分析對象，因此通常把初始時刻的電容電壓uC(0+)和電感電流iL(0+)稱為獨立初始條件，簡稱初始條件；而把通過獨立初始條件、基爾霍夫定律及歐姆定律求出的其他電壓和電流的初始值稱為相關(guān)初始條件，也稱為非獨立的初始條件。4.1.3電路初始條件的求解1.換路定律換路定律是指在換路瞬間，電容元件的電流值有限時，其電壓不能躍變；電感元件的電壓值為有限時，其電流不能躍變。即：2.0＋等效電路分析法換路定律只能用來求解獨立初始條件，而剩下的相關(guān)初始條件則需要采用0＋等效電路分析法進(jìn)行求解。0＋等效電路分析法的具體做法如下：第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日（1）把t=0＋時電容和電感分別以值為uC(0+)的電壓源和值為iL(0+)的電流源來替代。（2）對電路中的獨立電源取t=0+時的值，此時獲得0＋等效電路。（3）應(yīng)用電阻電路的分析方法求解非獨立的初始條件。如圖所示，t=0時刻關(guān)閉開關(guān)，求iS(0+)為多少？【例】電路圖0+等效電路解：

（1）據(jù)換路定律：（2）畫出0＋等效電路（3）對于結(jié)點a，應(yīng)用KCL可得則第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.1.4研究過渡過程的實際意義過渡過程是客現(xiàn)存在的物理現(xiàn)象。從理論上講，過渡過程所經(jīng)歷的時間是無限長的；但實際上電路中的過渡過程一般是快速的、短暫的，通常為納秒級到秒級之間。過渡過程的持續(xù)時間雖然很短，但在過渡過程中產(chǎn)生的過電壓或過電流現(xiàn)象會使元器件和電氣設(shè)備受損、毀壞，甚至能威脅到人身安全。另一方面，許多電子儀器（如計算機(jī)）中的電路，某些控制電路卻經(jīng)常工作在過渡過程當(dāng)中，即過渡過程是這類電路的正常工作狀態(tài)。所以，我們研究電路的過渡過程，一方面能夠掌握和認(rèn)識過渡過程的客觀規(guī)律，以便在日常產(chǎn)生生活中加以利用；另一方面也能防止它可能帶來的危害。1.產(chǎn)生過渡過程的外因是什么？內(nèi)因是什么？2.電路發(fā)生換路的瞬間，電容電壓和電感電流不能突變的原因是什么？3.電路發(fā)生換路的瞬間，電容和電感可分別等效為何種元件？【思考題】第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.2一階電路的零輸入響應(yīng)

如果電路無輸入激勵，其響應(yīng)是由電路內(nèi)的儲能元件的原始儲能而引起的，這種電路響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。4.2.1RC電路的零輸入響應(yīng)如圖(a)所示的RC電路，開關(guān)S在“1”位置時已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，電容電壓uC(0－)=U。設(shè)在t=0瞬間換路，即t=0時將S轉(zhuǎn)換到“2”位置。根據(jù)換路定理uC(0－)=uC(0＋)=U。工作狀態(tài)等效為如圖(b)所示的電路。我們把這種沒有外加激勵，只是根據(jù)儲能元件初始儲能工作的電路稱為零輸入電路。第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日1.求換路后的電容電壓uC(t)式中τ=RC稱為時間常數(shù)。具有時間量綱，單位:秒2.電路中的電流的計算

式中為初始電流，“-”號表示此時電流實際方向與圖中的參考方向相反，電路處于電容器放電狀態(tài)。3.電阻電壓的計算由上述分析可知，uC、iC、uR同為RC電路的零輸入響應(yīng)，同一電路各響應(yīng)的時間常數(shù)均相同，其變化曲線如圖(c)所示。這三種響應(yīng)均按指數(shù)規(guī)律衰減；電容所存儲的能量耗盡、各響應(yīng)將衰減為零；衰減速度由τ＝RC所決定，并且時間常數(shù)越大，衰減越慢。第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.2.2RL電路的零輸入響應(yīng)僅含有一個電感元件的RL一階電路如圖（a）所示，電路原已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，求得

t=0時開關(guān)S閉合，t≥0時RL電路的輸入為零，其響應(yīng)是由電感L初始儲能所引起的，因此也是零輸入響應(yīng)。第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日1.電流的求解換路后RL一階電路的工作狀態(tài)等效為圖（b）所示的電路為RL電路的時間常數(shù)，來表征其衰減的快慢。

2.電路電壓的計算電感上的電壓電阻上的電壓由此可知：電感電流iL、電感電壓uL、電阻電壓uR同為RL電路的零輸入響應(yīng)，它們的變化規(guī)律如圖（c）所示，都是按照指數(shù)規(guī)律衰減。第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)電路換路前儲能元件無儲能（零初始狀態(tài)），由施加于電路的輸入信號所產(chǎn)生的響應(yīng)稱零狀態(tài)響應(yīng)。4.3.1RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)如圖（a）所示的RC電路，開關(guān)S在閉合前電路處于零狀態(tài)，即電容電壓uC(0－)=0，沒有初始儲能。設(shè)t=0瞬間換路，即t=0時將S閉合，電路與恒壓源接通，給電容充電。零狀態(tài)電壓響應(yīng)uC和電流響應(yīng)iC隨時間t變化的曲線如圖（b）所示，uC是按指數(shù)規(guī)律由零向穩(wěn)態(tài)值U逐漸增大的。第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日該電路的全解為響應(yīng)電流

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)相當(dāng)于電容充電的過程。其充電速度由時間常數(shù)τ來決定，RC越大，τ越大，充電越慢；反之則充電越快。此外，由于換路瞬間uC(0+)=0，電容元件相當(dāng)于短路，電路中的電流會發(fā)生突變，產(chǎn)生初始沖擊電流，所以此時電路中若串有電流表，要注意初始沖擊電流是否會超過其量程。注意：如圖（b）所示RC串聯(lián)電路，已知U=100V，R=10KΩ，C=6μF，uC(0-)=0，在t=0時閉合開關(guān)S。求：（1）最大充電電流；（2）開關(guān)閉合后經(jīng)歷多長時間，電容上的電壓才能達(dá)到80V？解：（1）根據(jù)R、C充電電路原理可知，開關(guān)S合上瞬間充電電流最大，其值為【例】第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日（2）由于uC(0-)=0，所以uC(0+)=uC(0-)=0，且設(shè)開關(guān)合上后到t1時，電容上電壓充到80V，已知U=100V，電路的時間常數(shù)為

τ＝RC=10×103×6×10－6＝60ms因此所以

t1=96.6ms4.3.2RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖（a）所示的RL一階電路同樣能產(chǎn)生零狀態(tài)響應(yīng)。已知開關(guān)S閉合前iL為零。圖（b）為iL、uL的波形圖。第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日在圖1所示電路中，已知U=20V，L=0.01H，R1=R2=20Ω，R3=10Ω。開關(guān)閉合前電路處于零狀態(tài)，iL(0－)＝0。求開關(guān)閉合后電感中的電流?！纠康?3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日解：為了求解通過電感的電流，可利用戴維南定理將電感L以外的電路部分化簡為戴維南等效電路如圖2所示。電路的時間常數(shù)則1.沒有外施激勵，已有初始儲能的電路是什么電路，初始儲能元件在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)是什么響應(yīng)？2.接通電源前儲能元件沒有初始儲能的電路是什么電路，此時由外施信號激勵在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)是什么響應(yīng)？【思考題】第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日4.4一階電路的全響應(yīng)和三要素法前面討論了一階電路的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，本節(jié)將討論電路的全響應(yīng)。電路的全響應(yīng)是非零狀態(tài)的一階電路受到外施激勵時所引起的響應(yīng)，這時電路的響應(yīng)是外加激勵和儲能元件的初始儲能共同作用的結(jié)果，可看做零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。4.4.1一階電路的全響應(yīng)本節(jié)我們以外加恒定激勵的RC串聯(lián)電路為例來討論一階電路的全響應(yīng)。如圖(a)所示的RC電路，開關(guān)S在閉合前電容電壓uC(0－)=U0，此時電路的儲能是非零狀態(tài)。設(shè)在t=0瞬間換路，即t=0時將S閉合、電路與恒壓源接通，給電容充電。第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日全響應(yīng)方程全響應(yīng)等于強(qiáng)制分量和自由分量之和全響應(yīng)還可以改寫成全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和4.4.2三要素法一階電路過渡過程通解的一般表達(dá)式為

表示電路中的電壓或電流表示換路后電路中電壓或電流的初始值表示換路后電壓或電流的穩(wěn)態(tài)值第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日和τ三個量稱為一階電路的三要素，由三要素直接求得電路完全解的方法稱為三要素法。【例4-4】如圖所示電路中，已知U=12V，R1=R2=10KΩ，C=1000pF。開關(guān)閉合前電路處于零狀態(tài)uC(0-)=0。求開關(guān)閉合后的電容電壓uC和電路電流iC、iR與i。解：本題求零狀態(tài)響應(yīng)，雖有三個未知量，但也不需要解聯(lián)立方程組，關(guān)鍵是確定出各支路響應(yīng)的初始值及穩(wěn)態(tài)值。t=0+瞬間、uC(0+)=uC(0-)=0，R2被短路，整個電路相當(dāng)于R1C串聯(lián)t=∞時，C相當(dāng)于開路元件，電路相當(dāng)于R1、R2串聯(lián)電路第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日電阻R2支路的電壓響應(yīng)電容支路的電流響應(yīng)電阻R2支路的電流響應(yīng)據(jù)KCL，有1.在對含有儲能元件的電路進(jìn)行分析時，電容有時可看成開路，有時卻又看成短路，電感也有同樣情況，為什么？2.在一階電路全響應(yīng)中，由于零輸入響應(yīng)僅由元件初始儲能產(chǎn)生，所以零輸入響應(yīng)就是暫態(tài)響應(yīng)。而零狀態(tài)響應(yīng)是由外界激勵引起的．所以零狀態(tài)響響應(yīng)就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。這種說法對嗎？3.一階電路的時間常數(shù)是由電路的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的，對嗎？【思考題】第18頁，共20頁，2023年，2月20日，星期日本章小結(jié)引起電路穩(wěn)定狀態(tài)改變的電路變化，稱為換路。換路定理：設(shè)t=0時電路發(fā)生換路1.過渡過程電路從一個穩(wěn)定的狀態(tài)變化到另一個穩(wěn)定狀態(tài)的過程，稱為過渡過程。對于電容有：即電容電壓不能躍變2.換路定理對于電感有：即電感電流不能躍變利用換路定理，求出t=0時的電容電壓、電感電流，再利用電路的基本定律，求出電路中其他變量的初始值。電路在發(fā)生換路時，如初始值和穩(wěn)態(tài)不相等，電路就會發(fā)生瞬時過程，電壓和電流按指數(shù)規(guī)律由初始值過渡到穩(wěn)態(tài)值，根據(jù)初始值和穩(wěn)態(tài)值大小的不同，它們可以是指數(shù)增長也可以是指數(shù)衰減。3.初始值的確定：4.在時間域內(nèi)求解電路的過渡方程的