高考模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題

（滿分150分，時(shí)間：120分鐘）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.設(shè)全集。=k|2產(chǎn)-5xW0,xeN},且則滿足條件的集合P的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.7D,8

1,

2.若復(fù)數(shù)z滿足二=l+i,其中i為虛數(shù)單位，則忖=（）

Z

A.1B.72C.2D.6

3.已知a,/?,ce（O,+x））,3a-2b+c=0,則牛的（）

A.最大值是道B.最大值是更

3

C.最小值73D.最小值是正

3

4.已知函數(shù)/（x）=or2+〃nx的圖象在點(diǎn)的切線方程為y=3x-2,則

a+b=（）

A.2B.0C.1D.-2

sin（a-〃）+cos（萬一a）

5.角a的終邊在直線y==2x上，則一4----{------7-----（=（）

sin（乃+a）-cos（4一a）

]_

A.B.1C.3D.-1

3

6.在區(qū)間［0,1］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則事件“cos分發(fā)生概率為（）

7.”（108〃2）》2+（108〃2）>2=1表示焦點(diǎn)在卜軸上橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.0<a<bB.\<a<bC.2<a<bD.

1<b<a

8.在如圖所示的程序框圖中，如果4=6,程序運(yùn)行的結(jié)果S為360,那么判斷框中應(yīng)填入

的關(guān)于攵的判斷條件是（）

A.k<3?B.k>3?C.k<4?D.k>4?

9.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩

中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出

發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所

在區(qū)域?yàn)閂+y2<3,若將軍從點(diǎn)A(3』)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=5,并假

定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，貝『'將軍飲馬”的最短總路程為()

A.V10-V3B.V10C.275-73D.2舊

10.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,/(x+l)為偶函數(shù)，且對(duì)\/西<々41，滿足

/(一)-/(*)<0.若/⑶=[,則不等式/(ng,%)<1的解集為

赴一王

A.(耳,8)B.(1,8)

C.(0,；)U(8,+8)D.(-co,l)u(8,+oo)

11.已知四邊形。WC的直觀圖0'43'。如圖所示，O'A'=3B'C',O'A'IE'C,

SOABC=8,C'D'Hy',C'E'=—,。'為O'A'的三等分點(diǎn)，則四邊形。IBC沿>軸

2

旋轉(zhuǎn)一周所成的空間幾何體的體積為()

12.已知K，E分別為雙曲線「一馬=1（a>0，匕>0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為雙曲線右

a"b~

支上一點(diǎn)，直線PK交y軸于點(diǎn)。，且點(diǎn)。，。，p,6四點(diǎn)共圓（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），

若射線瑞。是/尸乙片的角平分線，則雙曲線的離心率為（）

A.V2+1B.6+1C.2D.當(dāng)

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知向量方=（1,3）,|礪|=2,若（3礪一2麗）?礪=10,則向量麗與麗夾角

的余弦值為.

14.正四面體A-88棱長(zhǎng)為2,則該正四面體的內(nèi)切球半徑為.

15.如圖，在AABC中，點(diǎn)P在BC邊上，ZPAC=60°,PC=2,AP+AC=4,若NBC面

積是述，貝.

2

8

16.已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足2S,,=〃2+〃（〃€”），設(shè)a=（一1）”旦二，

an*an+]

則數(shù)列｛2｝的前2021項(xiàng)和T2O2i=.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟）

17.已知數(shù)列｛《,｝的前"項(xiàng)和為S”.

（1）請(qǐng)從①2s“=3a”—3—4〃，②“=-3,。,用=—%一4這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，證明數(shù)

列｛《,+2｝是等比數(shù)列；

⑵數(shù)列也｝為等差數(shù)列，4=5,々=9,記c“=(a“+2)%求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

18.

在如圖所示的多面體中，四邊形AB44和ACGA都為矩形.

(1)若4。_13。，證明：直線6C_L平面ACC14；

(H)設(shè)。，E分別是線段3C,CC的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE//

平面4MC?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

19.中國(guó)茶文化博大精深，已知茶水的口感與茶葉類型以及水溫有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用

85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.某學(xué)習(xí)研究小組通

過測(cè)量，得到了下面表格中的數(shù)據(jù)(室溫是20℃).

泡制時(shí)間％/min01234

水溫y/℃8579747165

(1)小組成員根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖分布情況，考慮到茶水溫度

降到室溫(即20℃)就不能再降的事實(shí)，決定選擇函數(shù)模型y=&+20(%>0)來刻畫.

①令z=ln(y-20),求出z關(guān)于x的線性回歸方程；

②利用①的結(jié)論，求出y=k/+20(xN0,c>0)中的％與c.

(2)你認(rèn)為該品種綠茶用85℃的水大約泡制多久后飲用，可以產(chǎn)生最佳口感？

參考數(shù)據(jù)：In65a4.2,Ig59a4.1,]n54a4.(),In51a3.9,In45a3.8,Iogo9().6a4.8,

1"0.9，e42?66.7.a0.6.參考公式：z=bx+a?/=1

oo7

-A---

=z-bx-

20.已知圓C的方程為爐+(〉一5)2=16,直線/的方程為y=3,點(diǎn)〃為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，PQ

是圓C的一條切線(Q為切點(diǎn))，并且點(diǎn)P到直線/的距離恰好等于切線PQ長(zhǎng).

⑴求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)已知直線用的方程為y=x-2,過直線m上一點(diǎn)R作(1)中軌跡的兩條切線，切點(diǎn)分別

是A,8兩點(diǎn)，證明：直線AB經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

Inx

21.設(shè)/(x)=—

x-\

(1)判斷函數(shù)/'(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在實(shí)數(shù)。，使得關(guān)于x的不等式111%<。(％-1)在(1,+8)上恒成立，若存在，求

出”的取值范圍，若不存在，試說明理由；

22.已知曲線G：f+(y_2)2=4在伸縮變換.；二；；下得到曲線以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x

軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

⑴把G化為極坐標(biāo)方程并求曲線G的極坐標(biāo)方程；

(2)射線e=a(夕>0,0<a<乃)與G,C,,交點(diǎn)為A,B,|AB|=2,求a.

23.已知f(x)=|x+2|+|ar-3|(aeR).

(1)當(dāng)。=3時(shí),求不等式/(幻<13的解集；

⑵若Vxe；，不等式/(幻4/+X+3恒成立，求a的取值范圍.

答案與解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.設(shè)全集Q={x|2x2-5x<0,xeN},且PQQ,則滿足條件的集合。的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.7D.8

［答案］D

［解析］

［分析］先求得集合Q={0,1,2},根據(jù)P=Q,結(jié)合集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.

［詳解］由不等式2/-5x40,解得即0={耳2/一5”40.6吊={0,1,2}

又由PqQ，可得滿足條件的集合P的個(gè)數(shù)為I，=8.

故選：D

2.若復(fù)數(shù)z滿足二=l+i,其中i為虛數(shù)單位，則目=（）

Z

A.1B.72C.2D.目

［答案］A

［解析］

［分析］

先化簡(jiǎn)得2=7,再求出|z|得解.

1-z（1—zY-2z

［詳解］由題得z==丁=

1+2（1+z）（l—2

所以忖=1.

故選：A

3.已知a,友ce（0,4w）,3a-2b+c=0,則牛的（）

A.最大值是&B.最大值是立

3

C.最小值是6D.最小值是個(gè)

［答案］B

［解析］

［分析］

由題意得。=-----,再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案;

2

3a+c

［詳解］因?yàn)?。一⑦+。=0,所以人=

所以華"黑=等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)3a=0?

故選：B.

4.已知函數(shù)/(力二口^+匕山］的圖象在點(diǎn)的切線方程為y=3x-2,則

a+b=()

D.-2

［答案］A

［解析］

［分析］由已知條件可得出關(guān)于。、匕的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出a+b的

值.

［詳解］\"a)=狽2+blnx,則f'(x)=2ax+—,

由題意可知點(diǎn)(1,7(1))在直線y=3x-2上，所以，/(1)=3-2=1,

f(l)=a=l

所以,c,。，解得。=8=1，因此，a+h=2.

/'⑴=2a+b=3

故選：A.

sin(a-乃)+cos()一

5.角a的終邊在直線y=2x上，則

sin(%+a)-cos(4一a)

A.-D.-1

3

［答案］C

［解析］

［分析］先由直線的斜率得出tana=2,再利用誘導(dǎo)公式將分式化為弦的一次分式齊次式，

并在分子分母中同時(shí)除以cosa,利用弦化切的思想求出所求代數(shù)式的值.

［詳解］???角a的終邊在直線y=2x上，.?.tana=2,

sin(a-^)+cos(^-?)-sina-csoasina+cosatana+1.

則丁7------7--------7------c=—:--------------=--------------=-----------=3,故選C?

sin(〃+a)-cos(萬一a)-sina+cosatsin<z-cosatana-I

［點(diǎn)睛］本題考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，考查弦化切思想的應(yīng)用，弦化切一般適用于以下兩個(gè)方

面：

(1)分式為角a弦的〃次分式齊次式，在分子分母中同時(shí)除以cos"a，可以弦化切；

(2)代數(shù)式為角a的二次整式，先除以si/a+cos?。，轉(zhuǎn)化為角。弦的二次分式其次式,

然后在分子分母中同時(shí)除以cos,tz，可以實(shí)現(xiàn)弦化切.

jrYj

6.在區(qū)間［0,1］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x則事件“cos—4一”發(fā)生的概率為()

22

2211

A.-B.—C.-D.一

3723

［答案］D

［解析］

JTYi

［分析］根據(jù)cos—〈一，求出X的范圍，結(jié)合幾何概型，即可求出結(jié)果.

22

［詳解］由xw［0,1］時(shí),

,7TX1

由cos——<—,

22

2

得一Wx41,

3

1二

由幾何概型得3

I-

13

故選：D.

2

7.-(logo2)x+(logfc2)/=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是()

A.0<a<bB.\<a<bC.2<a<hD.

\<b<a

［答案］C

［解析］

［分析］由已知條件求得。力之間的關(guān)系和范圍，再根據(jù)充分不必要條件的判定，可得選項(xiàng).

log“2>0

［詳解］若(108“2)/+(嘎〃2)〉2=1表示焦點(diǎn)在丁軸上的橢圓，則需10gz,2>0,即

log“2>log〃2

a>l

<b>l,所以1<。<匕,

a<b

所以“(log.2)無2+0og〃2)丁=1表示焦點(diǎn)在y軸上橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是

2<a<b,

故選：c.

［點(diǎn)睛］本題考查方程表示橢圓的條件，以及命題的充分不必要條件的判定，屬于中檔題.

8.在如圖所示的程序框圖中，如果。=6,程序運(yùn)行的結(jié)果S為360,那么判斷框中應(yīng)填入

A.左＜3?B,攵＞3?C.%＜4?D.左＞4?

［答案］A

［解析］

［分析］

根據(jù)程序框圖，執(zhí)行到攵=2時(shí)終止程序運(yùn)行，再根據(jù)判斷框，即可得到答案；

［詳解］%=6,S=lx6=6,

Z=5,S=6x5=3O,

%=4,S=30X4=120,

A:=3,5=120x3=360,

k=2,終止循環(huán)，輸出S=360,

故選：A.

9.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩

中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬''問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出

發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所

在區(qū)域?yàn)閒+y243,若將軍從點(diǎn)A（3,l）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=5,并假

定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，貝『‘將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.V10-V3B.V10C.275-73D.25/5

卜答案］C

［解析］

［分析］

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=5的對(duì)稱點(diǎn)A(a,h),則AO-G為最短距離，根據(jù)垂直和中點(diǎn)坐

標(biāo)求出對(duì)稱點(diǎn)A(a,，)即可得解.

［詳解］設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=5的對(duì)稱點(diǎn)A'(a,Z?).

根據(jù)題意，AO-G為最短距離，先求出4的坐標(biāo).

AA'的中點(diǎn)為號(hào)］,直線4A'的斜率為1,

故直線AA'的方程為y—1=%—3,即)，=x—2.

Q+3。+1

-----1----=5

由《22,聯(lián)立得a=4,b=2,

b=a-2

4(4,2),則A'O=4+22=26,

故AO-6=26-百，

則“將軍飲馬''的最短總路程為275-73.

故選：C.

［點(diǎn)睛］關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A關(guān)于直線X+y=5的對(duì)稱點(diǎn)A'與原點(diǎn)。的距離求解是解題

關(guān)鍵.

10.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,/(x+l)為偶函數(shù)，且對(duì)滿足

■f<°,若/。)=1'則不等式/0°g2X)<1的解集為

A.B.(1,8)

C.(0,(158,+8)D.(^?,1)U(8,-H?)

［答案］A

［解析］

—/(x)

［分析］由已知對(duì)Vx,<x2<1,滿足八2…W<0,可以判斷函數(shù)y=/(x)當(dāng)xW1時(shí),

x2—X,

是單調(diào)遞減函數(shù)，由/(X+D為偶函數(shù)，可以判斷出函數(shù)y=/(x)關(guān)于x=l對(duì)稱，這樣可

以知道函數(shù)y=f(x)當(dāng)x>l時(shí)，是增函數(shù)，這樣可以根據(jù)log?x與1的大小關(guān)系，進(jìn)行分

類討論，求出不等式/(log2x)<l的解集.

1詳解］因?yàn)閷?duì)與司<々VI,滿足'''，’"<(),所以y=/(x)當(dāng)XW1時(shí)，是單調(diào)遞

當(dāng)一看

減函數(shù)，又因?yàn)?(x+1)為偶函數(shù)，所以y=/(x)關(guān)于％=1對(duì)稱，所以函數(shù)y=/(x)當(dāng)

x>l時(shí)，是增函數(shù)，又因?yàn)?(3)=1,所以有/(一1)=1,

當(dāng)log2%Wl時(shí)，即當(dāng)0<xW2時(shí),

f(log2%)<!=>/(log2x)</(-I)=log,x>-l

22

當(dāng)1。82%>1時(shí)一，即當(dāng)x>2時(shí),

,

/(log2x)<1=>./(log2x)</(3)=>log2x<3=>x<8,.2<x<8,綜上所述：不等式

/(log2x)<l的解集為故本題選A.

［點(diǎn)睛］本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、分類討論思想.對(duì)于y=/(x)來說，設(shè)定義

域?yàn)?，若。q/,VX1,%26￡>,X)x2,

若(/(%)-/Ul))-(X2-X|)>0("/)—"不)>0),則y=f(X)是。上的增函數(shù)，

x2-Xj

若(/(^2)-/(芯))?(々-X)<0()("?)―/區(qū))<0),則y=/(%)是。上的減函數(shù)；

々一玉

11.已知四邊形。4BC的直觀圖O'A'3'C'如圖所示，。'4=3夕。，O'A'IE'C',

S°"c=8，C'D'Hy',c'E'=—，。'為O'A'的三等分點(diǎn)，則四邊形QMC沿N軸

2

［答案］B

［解析］

［分析］由三視圖確定原圖形是是等腰梯形，再確定旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)，由組合體的體積公式求出

體積.

［詳解］因?yàn)镃'E'=變，C'D'lly',O'A'VE'C',所以C'D=1,

2

由三視圖知原圖形為等腰梯形，如圖等腰梯形。43C,8是梯形的高，CD=2C'iy=2,

OA^O'A!,BC=B'C,所以0A=38C,

SQABC=gx（0A+BC）xCD=gx4BCx2=8,BC=2,OA=6.

延長(zhǎng)BC,AB分別與y軸將于N,E,

四邊形QWC沿＞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的空間幾何體可以看作是是三個(gè)直角AOCN,

△NBC旋轉(zhuǎn)所形成的圓錐的組合體.

由已知NC=0O=』0A=2=0N,NE=NB=4,

3

體積為丫=-^x62x6--^-x22x2--^-x42x4=48^-.

333

故選：B.

［點(diǎn)睛］關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查旋轉(zhuǎn)的體積，解題關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)，是由哪些基本兒

何體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）所構(gòu)成，然后根據(jù)體積公式計(jì)算.

V22

12.已知匕，F(xiàn)?分別為雙曲線々―上v=1（。＞0,b＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為雙曲線右

a~b~

支上一點(diǎn)，直線P片交》軸于點(diǎn)。，且點(diǎn)。，Q,p,鳥四點(diǎn)共圓（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），

若射線入。是/尸入耳的角平分線，則雙曲線的離心率為（）

A.V2+1B.V3+1C.2D.亨

［答案］B

［解析］

n

［分析］由。，Q，P，「2四點(diǎn)共圓得到NQP瑪=NQO6=5,結(jié)合射線6。是N尸鳥￡

71

的角平分線以及雙曲線的性質(zhì)求得NPRF,=NQF,F\=NPF,Q=_,由此求得

6

仍用療用，結(jié)合雙曲線的定義求得雙曲線的離心率.

［詳解］因?yàn)辄c(diǎn)。，。，P,工四點(diǎn)共圓，所以NQPK=NQO6=］.

因?yàn)樯渚€工。是NP入耳的角平分線，所以NPEQ=NQ8K，

77

由雙曲線的對(duì)稱性知=/QKF1,所以/尸￡居=NQ居耳=NPEQ=—,

6

國(guó)閶=2c，

因此|尸巴卜c,|P6|=Gc,從而2"=|尸制—?dú)w閭=Gc—C,

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知向量d=（1,3）,|礪|=2,若（3礪―2礪）?礪=10,則向量麗與前夾角

的余弦值為.

［答案I3回

10

［解析］

［分析］本題首先可設(shè)向量次與礪夾角為e，然后根據(jù)況=(1,3)得出|礪卜瓦，最后

通過向量的運(yùn)算法則以及向量的數(shù)量積公式即可得出結(jié)果.

［詳解］令向量礪與歷夾角為仇

因?yàn)辂?(1,3),所以|礪|=JF+32=回，

因?yàn)?3礪-2萬)?礪=10,所以3次?而2麗2=io,

即3|礪|孵|cos0-2|萬『=10,3西倉(cāng)也cose-2?2210.

解得cos。=孑叵

10

3710

故答案

10

14.正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為2,則該正四面體的內(nèi)切球半徑為

［答案］逅

6

［解析］

［分析］

根據(jù)等積法匕一68=4%一BCD，即可得到答案；

［詳解］設(shè)正四面體A—88的內(nèi)切球的球心為。，河為△6CD的中心,

則匕-BCD=^O-BCD，

11h

所以§xS8eX〃=4x3xS“sXrnr=i

rnwV322>/3

因?yàn)镈M——x2x—=---，

233

所以〃=AM=\lAD2—DM2=^22—(^^)2=>

故答案為：逅.

6

A

15.如圖，在△ABC中，點(diǎn)尸在BC邊上，ZPAC=60°fPC=2,AP+AC=4,若^ABC的面

積是空，則s%NA4P=

2

［解析］

［分析］根據(jù)余弦定理得到相，從而得到△抬C為正三角形，可得Z4P6,再利用面積得

PB,然后結(jié)合余弦定理得A3,在“BP中利用正弦定理即可得sinN84P.

［詳解］在△APC中，因?yàn)镹PAC=60°,PC=2,AP+AC=4,則AC=4—AP,

由余弦定理得PC2=AP2+AC2-2-AP-ACcos60°，

整理得AP?—4AP+4=0,解得AP=2,所以AC=2.

所以△APC是等邊三角形，所以NACP=60。，

所以NA~B=120°,

又因?yàn)锳ABC的面積為述，

2

11oFi

所以ARCABP

S△/1/>(..=S△/torv+s2APC=-APPBsinZA2PB+--AP-ACsin2=

所以/>8=1.

在AAP3中，AB2=AP2+PBT-2AP-PBcosZAPB

=22+l2-2x2xlxcosl20°=7.

所以A6=J7.

ABPB

在zMPB中，由正弦定理得,

sinZAPB~sinZBAP

的z./o._sin120。V21

所以sinNBAP=——；=—=.

布14

故答案為：叵.

14

［點(diǎn)睛］本題主要考查的是正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，熟練掌握正弦定理和余弦定理是解決

本題的關(guān)鍵，考查的是學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.

16.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足2s設(shè)a=(一1)"

則數(shù)列也｝的前2021項(xiàng)和7；021=.

心+2023

［答案］------

2022

［解析］

［分析］利用4=Sn-S?_,(n>2)求得an,注意q=51,得出bn后，用裂項(xiàng)相消法求和丁如】.

[詳解]因?yàn)?S,,=〃2+〃，所以§

"2

。vc〃(〃+1)(n-l)n

〃22時(shí)，a“=S,「S,T=----------------------=

4=S]=[-=1也適合上式，所以?！?〃，

(7)"(-),

〃(〃+1)n〃+1

所以

T「1、/1、/1、，11.f11

20212233420202021(20212022

_]__12023

—一2022——2022.

2023

故答案為:

2022

［點(diǎn)睛］本題考查由前〃項(xiàng)和S“求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和.數(shù)列求和的常用方法:

設(shè)數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，｛2｝是等比數(shù)列，

(1)公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；

(2)錯(cuò)位相減法：數(shù)列｛anbn｝的前n項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；

1,

(3)裂項(xiàng)相消法；數(shù)歹M(-----｝(%為常數(shù)，%彳0)的前〃項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法;

(4)分組(并項(xiàng))求和法：數(shù)列｛，%+夕2｝用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相間等特

征時(shí)可能用并項(xiàng)求和法；

(5)倒序相加法：滿足品+4*=A(A為常數(shù))的數(shù)列，需用倒序相加法求和.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟)

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,.

(1)請(qǐng)從①2s“=3勺-3—4〃，②q=-3,4M4這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，證明數(shù)

列｛%+2｝是等比數(shù)列；

⑵數(shù)列也｝為等差數(shù)列，b｝=5,4=9,記=(4+2應(yīng),求數(shù)列｛c'｝的前〃項(xiàng)和T?.

［答案］(1)證明見解析；(2)答案見解析

［解析］

［分析］⑴若選條件①，根據(jù)an=S“-5,i(〃22)求解出a“，a,i的關(guān)系，然后根據(jù)等比數(shù)

列的定義證明｛q,+2｝是等比數(shù)列：

若選條件②，直接根據(jù)條件分析“向+2與+2的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列定義證明+2｝

是等比數(shù)列；

⑵先根據(jù)｛包｝為等差數(shù)列結(jié)合條件求解出他,｝的通項(xiàng)公式；

若選條件①，｛%｝通項(xiàng)符合等差乘以等比的形式，利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和；

若選條件②，得到｛5｝的通項(xiàng)為(2〃-1)-(-1)”,然后對(duì)〃分奇偶討論，采用并項(xiàng)求和的方

法進(jìn)行求和.

［詳解］(1)證明：方案一：選條件①

當(dāng)”=1時(shí)，2q=2S］=3%-3-4,解得6=7,

q+2=7+2=9,

當(dāng)〃時(shí)，由2s“=34—3—4〃，可得

2S,T=3%-3-4(/1),

兩式相減，可得

2a“=3a“_3%_4,

即為=3卬1T+4,

a“+2=3a,i+4+2=3(a?_1+2),

，數(shù)列｛4+2｝是以9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

方案二：選條件②

當(dāng)〃=1時(shí)，+2=—3+2=—1,

當(dāng)〃時(shí)，4什1+2=一?！?4+2=一(4+2),

???數(shù)列｛%+2｝是以—1為首項(xiàng)，一1為公比的等比數(shù)歹！I.

(2)解：由題意，設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為d,則

R=4—21=5—2x2=1,

勿=1+2(〃-1)=2〃-1,〃eN*,

方案一：選條件①

由(1),可得%+2=9-3"7=3向，

則C,=(4+2)2=(2〃—1>3'用，

234,,+,

=^+^+€3+---+€?=1-3+3-3+5-3+---+(2/?-1)-3,

37；,=l-33+3-344--4-(2n-3)-3n+1+(2n-l)-3n+2,

兩式相減，可得

-27；,=l-32+2-33+2-34+--+2-3/,+1-(2n-l)-3,,+2

=9+2x^-^——(2n-l)-3,,+2

=-18-2(H-1)-3,,+2,

(〃-1)3+2+9,〃eN*；

方案二：選條件②

由(1),可得%+2=-1.(-1尸=(-1)",

則%=(%+2)"=(2〃一1>(一1)",

：,Tn=ci+c2+c3+---+cn

=—1+3—5+…+(2〃-1)?(-1)”,

77

當(dāng)〃偶數(shù)時(shí)，(,=一1+3—5+…+(2〃-1)=2+2+…+2=2x六〃,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),

Tn——1+3—5d----（2/-1）—2+2-1----b2-（2/-1）=2x―^―-（2〃-1）=—n,

,“為奇數(shù)

“'=［〃,〃為偶數(shù).

［點(diǎn)睛］思路點(diǎn)睛：滿足等差乘以等比形式的數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S,,的求解步驟（錯(cuò)位相減

法）：

⑴先根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列S”的一般形式：S“=4+%+%+...+%；

（2）將（1）中的關(guān)于S“等式的左右兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比WH1）；

（3）用（1）中等式減去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一項(xiàng)減去（2）中等式的第2項(xiàng)，依次

類推，得到結(jié)果；

（4）利用等比數(shù)列的前?項(xiàng)和公式以及相關(guān)計(jì)算求解出S“.

18.

在如圖所示的多面體中，四邊形和ACGA都為矩形.

（1）若407,證明：直線3C_L平面ACGA；

（H）設(shè)。，E分別是線段BC,CC的中點(diǎn)，在線段A3上是否存在一點(diǎn)M，使直線。七〃

平面4MC?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

［答案］（1）證明詳見解析；（2）存在，M為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，直線。E||平面AM。.

［解析］

［詳解］試題分析：（1）證直線垂直平面，就是證直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線.已經(jīng)有

AC,3c了，那么再在平面內(nèi)找一條直線與BC垂直.據(jù)題意易得，A4,，平面ABC,所

以44,，8c.由此得BC_L平面ACGA.（2）首先連結(jié)4。，取的中點(diǎn)0.考慮到D,E

分別是線段8C,CG的中點(diǎn)，故在線段A3上取中點(diǎn)M,易得。E.從而得直線DE||

平面A.MC.

試題解析：（I）因?yàn)樗倪呅蜛BgA和ACG4都是矩形，

所以朋_LARAA），AC.

因?yàn)锳B,AC為平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，

所以A&，平面ABC.

因?yàn)橹本€BCu平面ABC內(nèi)，所以AA^BC.

又由已知，4。_18。,例,4。為平面4。￡4內(nèi)的兩條相交直線,

所以，BC_L平面ACG4.

⑵取線段AB的中點(diǎn)M,連接AM,MC，ACAG，設(shè)0為ACAG的交點(diǎn).

由己知，。為AG的中點(diǎn).

連接MD,0E,則MD,0E分別為您就第函L的中位線.

所以，MD\\-AC,OE\\-AC,：.MD\\OE,

=2=2=

連接OM,從而四邊形MDEO為平行四邊形，則。

因?yàn)橹本€?！?平面AMC,MOu平面4知。，

所以直線?！陓|平面AMC.

即線段AB上存在一點(diǎn)M（線段AB的中點(diǎn)），使得直線DE||平面AXMC.

［考點(diǎn)定位］空間直線與平面的位置關(guān)系.

19.中國(guó)茶文化博大精深，已知茶水的口感與茶葉類型以及水溫有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用

85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.某學(xué)習(xí)研究小組通

過測(cè)量，得到了下面表格中的數(shù)據(jù)(室溫是20℃).

泡制時(shí)間x/min01234

水溫y/℃8579747165

(1)小組成員根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖分布情況，考慮到茶水溫度

降到室溫(即2()℃)就不能再降的事實(shí)，決定選擇函數(shù)模型y=^c'+20(x>0)來刻畫.

①令z=ln(y-20),求出z關(guān)于x的線性回歸方程；

②利用①的結(jié)論，求出y=L/+20(x?(),c>0)中的人與c.

(2)你認(rèn)為該品種綠茶用85℃的水大約泡制多久后飲用，可以產(chǎn)生最佳口感？

參考數(shù)據(jù)Jn65公4.2,lg59a41,ln54B4.0,11151*3.9,ln45*3.8,logo.906公48,

400.訃「磯zjT

e0,1?0.9,e42?66.7?工0.6.參考公式：z=bx+a?b=――-,

667Z(M)

i=l

a-z-hx-

［答案］(1)①］=-0.1x+4.2；0c?0.9.k?66.7；(2)4.8min.

［解析］

［分析］(1)列出z與x的數(shù)據(jù)表，求出平均值，求出回歸方程中的系數(shù)，得回歸方程，根據(jù)所

求線性回歸方程與原方程的關(guān)系可求得原方程為參數(shù)值；

⑵由⑴得y=kcx+20,令y=60求得x值即可.

［詳解］解：(1)①由已知得出x與z的關(guān)系，如下表:

泡制時(shí)間尢/min01234

Z4.24.14.03.93.8

設(shè)線性回歸方程］=版+4,

a=z-5x=4+0.1x2=42，

則z關(guān)于x的線性回歸方程為2=-0,U+4.2；

②由y=kcx+20(x>0),得y-2()=笈*(x?0),

兩邊取對(duì)數(shù)得，ln(y-20)=In攵+xlnc,

利用①的結(jié)論得：lnc=-0.1,lnZ=4.2,

c=e""a0.9，k=?66.7；

(2)由(1)得，y=66.7x0.9'+20(x>0),

令y=60,得x=log090.6?4.8.

該品種綠茶用85℃的水泡制4.8min后飲用，口感最佳.

［點(diǎn)睛］思路點(diǎn)睛：本題考查回歸方程的應(yīng)用，非線性回歸方程可以通過變形變成線性回歸方

程，求得線性回歸直線方程后，再轉(zhuǎn)化非線性的方程.

20.已知圓C的方程為V+(>-5)2=16,直線/的方程為y=3,點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，PQ

是圓C的一條切線(Q為切點(diǎn))，并且點(diǎn)P到直線/的距離恰好等于切線PQ長(zhǎng).

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)已知直線用的方程為y=x-2,過直線”?上一點(diǎn)R作(1)中軌跡的兩條切線，切點(diǎn)分別

是A,3兩點(diǎn)，證明：直線A3經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

［答案］⑴<=4y；(2)證明見解析；定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2).

［解析］

［分析］(1)設(shè)尸的坐標(biāo)，求出點(diǎn)尸到直線y=3的距離，再由切線長(zhǎng)，半徑和圓心到P的距離

的關(guān)系，求出切線長(zhǎng)的值，由題意可得產(chǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，即求出點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)設(shè)直線A3的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求導(dǎo)可得在A,5的切線

的斜率，進(jìn)而求出在A,3處的切線方程，兩條切線方程聯(lián)立求出交點(diǎn)R的坐標(biāo)，再由R在

直線m上可得參數(shù)的關(guān)系，代入直線的方程可證得直線A3恒過定點(diǎn).

［詳解］解：(I)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)(x,y),

則點(diǎn)P到直線y=3的距離d=|y-31,

過點(diǎn)P做圓f+(y-5尸=16的切線，則切線長(zhǎng)|PQ|="尸_管=7^2+(y-5)2-16,

由題意可得|y_3|=Jx?+(y_5)2_16，

整理可得f=4y,

所以點(diǎn)P的軌跡方程：f=4y；

(II)證明：設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b,設(shè)A區(qū)，B(X2

y=kx+h

聯(lián)立直線A3與拋物線的方程：\2A，整理可得：46—4〃=0,

△=164+16。>0

則，玉+乙=4%,

x1x2=-4/?

由X2=4y可得y=工，所以y，=］,

42

所以在A點(diǎn)的切線方程為：丁一a=5(%—玉)，

即

同理可得在B點(diǎn)切線方程為y=，

2(

“2，2%+X?cJ

y=—x———XR=-----=2k

24解得《2，

X|X]v-X'X--h

y=---%—~-r~~~b

r24I4

由題意可得兩條切線的交點(diǎn)R在y=x-2上，

所以一b=2A:—2,即6=2—2人，

代入直線的方程：>=依+2-2Z=Z(x-2)+2,

所以直線A5恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2).

［點(diǎn)睛］(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或)，)建立一元二次

方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.

(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.

Inx

21.設(shè)/(x)=—7(XAI).

x-\

⑴判斷函數(shù)/,(X)的單調(diào)性;

(2)是否存在實(shí)數(shù)。，使得關(guān)于x的不等式lnx<a(x-l)在(1,+8)上恒成立，若存在，求

出。的取值范圍，若不存在，試說明理由；

［答案］(1)函數(shù)/(X)在(1,+00)上為減函數(shù)；(2)存在，a>l.

［解析］

,1,,

1-----------Inx

［分析］(1)求導(dǎo)可得,(x)_X,令g(x)=l——lnx(x>l),求導(dǎo)可得g'(x)解

八(1)2*

析式，根據(jù)x的范圍，可求g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可得/'(X)的正負(fù)，即可得f(x)的單調(diào)性;

(2)原式等價(jià)于lnx-a(x—l)<0在上恒成立，令〃(x)=lnx-a(x-l),分別討論

a<0,和0<。<1三種情況下/i'(x)的正負(fù)，可得〃(x)的單調(diào)性，即可求得“的范圍.

Inx

［詳解］⑴???/(%)=(%>1),

x-1

,111

一rn"設(shè)g(x)=l——lnx(x>l),

U-1)2X

?'-g'(x)=411—X

2<0,

x'XX

y=g(x)在。,+?0上為減函數(shù).

,g(x)=_―］nx<g(l)=。,

1----Inx

廣(?=-,<0'

(x-1)2

InY

???函數(shù)/■(>)=」?在(1，+8)上為減函數(shù).

X-1

⑵Inx<a(x-1)在(1,+8)上恒成立oInx-a(x-1)<0在(1,+<?)上恒成立,

設(shè)〃(x)=lnx-a(x-l),XG(1,+OO),則〃(1)=0,

"(X)=——a,

x

若a40,“(x)>0,〃(幻為增函數(shù)，則〃(x)>〃⑴=0,顯然不滿足條件,

若a21,則xc(l,+oo)時(shí)，〃'(x)=’-a<0恒成立,

〃(