全等三角形【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)1全等三角形及其性質(zhì)全等圖形概念：能完全垂合的圖形叫做全等圖形.特征：①形狀相同。②大小相等。③對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。全等三角形概念：兩個(gè)能完全垂合的…角形叫做全等三角形.小結(jié)：把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.表示方法：全等用符號(hào)“竺”，讀作“全等于”。書寫?.角形全等時(shí)’要注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母要寫在對(duì)應(yīng)位覧全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換。變換方式（常見(jiàn)）：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)。全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。知識(shí)點(diǎn)2：全等三角形的判定（重點(diǎn)）一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)中線相等，對(duì)應(yīng)高相等，對(duì)應(yīng)角平分線相等注：①判定兩個(gè)三角形全等必須有-組邊對(duì)應(yīng)相等;②全等三角形周長(zhǎng)、面積相等.證題的思路（重點(diǎn)）:找?jiàn)A角（SAS'）已知兩邊找直角（HL）找第三邊（SSS）-若邊為角的対邊，則找任意魚（AAS）, :找已知角的另一邊（SAS）"—廷一用：邊為魚的鄰邊〈找已知邊的對(duì)角｛AAS）!找?jiàn)A已知邊的另一角（4S.4）.5讖5知識(shí)點(diǎn)3角平分線

角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等;判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.三角形中角平分線的性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三條邊距髙相等?！究疾轭}型】判走三角形全等的條件全等三角形綠含間霆角平分線的性風(fēng)定建角平分線的判定定建判走三角形全等的條件全等三角形綠含間霆角平分線的性風(fēng)定建角平分線的判定定建考査題型一全等三角形的性質(zhì)典例考査題型一全等三角形的性質(zhì)典例1.如圖，若左ABC^AADE,則下列結(jié)論中一定成立的是（A.AC=DEB.ZBAD=ZCAEC.AB=AED.ZABC=ZAEDA.AC=DEB.ZBAD=ZCAEC.AB=AED.ZABC=ZAED【答案】B【詳解】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解：?「△【答案】B【詳解】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解：?「△ABC絲ZXADE,?.?AC=AE,AB=AD,ZABC=ZADE,ZBAC=ZDAE,?.?ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即ZBAD=ZCAE,故A,C,D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故選：B.變式1-1.三個(gè)全等三角形按如圖的形式擺放，則Z1+Z2+Z3的度數(shù)是（）90 B.120 C.135 D.180【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角可得Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360°,Z5+Z7+Z8=180°,即Zl+Z2+Z3=360°-180°,【詳解】..?圖中是三個(gè)全等三角形，/.Z4=Z8,匕6二匕7,又?.?三角形ABC的外角W=Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360。,又Z5+Z7+Z8=180°,.?.Zl+Z2+Z3=360°-180°=180°.故選D變式1-2.變式1-2.如圖所示，AABD^ACDB.下面四個(gè)結(jié)論中，不正確的是（AAB。和左AAB。和左CDB的面積相等AAB。和左CDB的周長(zhǎng)相等ZA+ZABD=ZC+ZCBDD.ADZA+ZABD=ZC+ZCBDD.AD〃BC,且AD=BC【答案】C【分析】通過(guò)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】A、VAABD^^CDB,.?.△AB。和△CDB的面積相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、 竺△COB,：.^ABD和△CDB的周長(zhǎng)相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、 4ABD#4CDB,:.Z4=ZC,ZABD=/CDB,?.?ZA+ZABD=ZC+ZCDB^ZC+ZCBD,故本選項(xiàng)正確：D、 .?.△A8D竺△CD&:.AD=BC,ZADB=ZCBD,:.AD//BC,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.考査題型二全等三角形的判定?sss典例2.用直尺和圓規(guī)作?個(gè)角的角平分線的示意圖如圖所示，其中說(shuō)明ACOE^SDOE的依據(jù)是【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的作法可知CO=DO,EO=EO,EC=ED,符合三角形全等的判定方法中的SSS,可證ACOE^ADOE.【詳解】解：由作法知CO=DO,EO=EO,EC=ED,A\COE^MX)E(SSS),故選：A.變式2-1.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)A(-3,0),B(2,0),C(-1,2),E(4,2),如果△ABC與△EFB全等,那么點(diǎn)F的坐標(biāo)可以是( )A.(6,0) B.(4,0) C.(4.-2) D.(4,-3)【答案】D【分析】畫出平面直角坐標(biāo)系，利用全等三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案.

【詳解】解：如圖所示：△ABC與丑全等，點(diǎn)F的坐標(biāo)可以是：(4,-3).故選：D.變式2-2.如圖，在四邊形ABC。中，ZB=ZD=90°,點(diǎn)E,F分別在AB，AD上，AE=AF^CE=CF,求證：CB=CD?【答案】見(jiàn)解析【分析】連接AC,證明△ACE竺ZkACF,得到ZCAE=ZCAF,再利用角平分線的性質(zhì)定理得到CB=CD.【詳解】解：連接AC,?.?AE=AF,CE=CF,AC=AC,AAACE^AACF(SSS),?.?ZCAE=ZCAF,VZB=ZD=90°,?.?CB=CD.變式2-3.人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第48頁(yè)告訴我們一種作已知角的平分線的方法：己知：AAOB求作：44QB的平分線做法：（1）以0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交0A于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N,（2） 分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在ZAO8的內(nèi)部相交于點(diǎn)C2（3） 畫射線OC,射線OC即為所求.請(qǐng)你根據(jù)提供的材料完成下面問(wèn)題：（1） 這種作己知角平分線的方法的依據(jù)是 （填序號(hào)）.①SSS②5AS③A4S④（2） 請(qǐng)你證明0C為NAQB的平分線.【答案】（1）①；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1） 根據(jù)作圖的過(guò)程知道：OM=ON,OC=OC,CM=CM,由“SSS”可以證得左EOC^ADOC：（2） 根據(jù)作圖的過(guò)程知道：OM=ON,OC=OC,CM=CM,由全等三角形的判定定理SSS可以證得AEOC^ADOC,從而得到OC為匕4。8的平分線.【詳解】（I）根據(jù)作圖的過(guò)程知道：OM=ON,OC=OC,CM=CM,所以由全等三角形的判定定理SSS可以證得左EOC竺△DOC,從而得到OC為匕4。8的平分線：故答案為：①；

(2)如圖,(2)如圖,連接MC、NC.根據(jù)作圖的過(guò)程知，在ZiMOC與中，OM=ON?oc=oc,CM=CNAAMOC^ANOC(SSS),ZAOC=ZBOC,?.?OC為匕408的平分線.考査題型三全等三角形的判定?SAS典例3.如圖，己知AB=DC,ZABC=ZDCB.能直接判斷△ABC^/XDCB的方法是()c.SSSD.c.SSSD.ASA【答案】A【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理解答.【詳解】在AABC和ADCB中,AB=DC-ZABC=2DCB.BC=CB△ABC^AOCB(SAS),故選：A.變式3-1.如圖所示，將兩根鋼條AA，、BB，的中點(diǎn)O連在?起，使AA\BB，可以繞著點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件，則A，B，的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬AB,那么判定aOAB^AOA'B5的理由是（）【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得AO=A,O.BO=B,O.進(jìn)一步即可根據(jù)SAS證明△0A8絲△。人于是可得答案.【詳解】解：..?點(diǎn)。是44'和38'的中點(diǎn)，???AO=A,O,BO=B'O.在△。48和左OAB1中，AO=A'O,ZAOB=ZA'OB\BO=B'O..?.△OABg^OA'B'（SAS）.故選：A.變式3-2.如圖，己知AB//CD,AB=CD,BE=CF.求證：（1）AABF^ADCE：（2）AFI/DE.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解：（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1） 先由平行線的性質(zhì)得ZB=ZC,從而利用SAS判定△入日卩竺左DCE；（2） 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得ZAFB=ZDEC,由等角的補(bǔ)角相等可得ZAFE=ZDEF,再由平行線的判定可得結(jié)論.

【詳解】證明：(1)VAB/7CD,/.ZB=ZC,VBE=CF,???BE-EF=CF-EF,即BF=CE,在AABF和△!)€￡中，AB=CD-ZB=ZCBF=CE「.△ABF些ZkDCE(SAS)：(2)VAABF^ADCE,/.ZAFB=ZDEC,/.ZAFE=ZDEF,?.?AF〃DE.變式3-3.己知：如圖，點(diǎn)A、B、C、。在-條直線上，EA//FB,EA=FB,AB=CD.ABCD求證：ZE=ZF；若￡4=40。,ZD=80。，求的度數(shù).【答案】(1)見(jiàn)解析：(2)60°【分析】根據(jù)己知條件證明△ACE^ABDF,即可得到結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ZD=ZACE=80c,再利用三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果.【詳解】解：(1)?..AE〃BF,/.ZA=ZDBF,

VAB=CD.???AB+BC=CD+BC,即AC=BD,又VAE=BF.AAACE^ABDF(SAS),/.ZE=ZF；(2)VAACE^ABDF,/.ZD=ZACE=80°,VZA=40°,AZE=180°-ZA-ZACE=60°.考査題型四全等三角形的判定.AAS典例4.如圖，AB丄CD,且AB=CD.E、F是A。上兩點(diǎn)，CE1AD,BF丄AD.若CE=」,BF=b,EF=c,則人D的長(zhǎng)為()A.a+c【答案】D【解析】如圖,B.A.a+c【答案】D【解析】如圖,B.b+cC.a-b+cD.a+b-c?「AB丄CD,CE丄AD,AZ1=Z2,又,/Z3=Z4.?.?18O°-Z1-Z4=18O°-Z2-Z3.即ZA=ZC.VBF±AD,?.?ZCED=ZBFD=90°,VAB=CD,AAABF^ACDE.?.?AF=CE=a,ED=BF=b.又?.?EF=c,:.AD=a+b-c.故選:D.變式4-1.如圖，D是A3上?點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE，F(xiàn)C//AB,若AB=4，CF=3,則的長(zhǎng)是()AFB CA.0.5 B.1 C.1.5 D.2【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出ZA=ZFCE，ZADE=ZF,根據(jù)全等三角形的判定，得出団DE蘭ISCFE、根據(jù)全等二角形的性質(zhì)，得出A￡>=CF.根據(jù)AB=4,CF=3,即可求線段的長(zhǎng).【洋解1,:CF//AB、:.ZA=AFCE、ZADE=/F‘ZA=ZFCE在AADE和MCE■11ZADE=ZF,DE=FEAAADE^ACFE（A45）..?.AD=CF=3,AB=4，???DB=AB-AD=4-3=\.故選B.變式4-2.ABDE和AFGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi).若求五邊形DECHF的周長(zhǎng)，則只需知道( )A冬BGECA.AABC的周長(zhǎng) B.AAFH的周長(zhǎng)C.四邊形FBGH的周長(zhǎng) D,四邊形ADEC的周長(zhǎng)【答案】A【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得：FH=GH,NACB=NA=60。，ZAHF=ZHGC,進(jìn)而可根據(jù)AAS證明△AFH^ACHG,可得AF=CH,然后根據(jù)等量代換和線段間的和差關(guān)系即可推岀五邊形DECHF的周長(zhǎng)=入8+8(：,從而可得結(jié)論.【詳解】解：VAGFH為等邊三角形，「?FH=GH,ZFHG=60°,/.ZAHF+ZGHC=120°,VAABC為等邊三角形，?.?AB=BC=AC,ZACB=ZA=60°,/.ZGHC+ZHGC=120°,.*.ZAHF=ZHGC,AAAFH^ACHG(AAS),?.?AF=CH.???△BDE和AFGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，?.?BE=FH,.??五邊形DECHF的周長(zhǎng)=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+AF)+(CE+BE),=AB+BC...?只需知道AABC的周長(zhǎng)即可.故選：A.

變式4-3.如圖，4C是ZBAE的平分線，點(diǎn)D是線段AC±的?點(diǎn)，ZC=Z￡,AB=AD.求證：BC=DE.【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明△BAC^^DAE,即可得到結(jié)果:【詳解】證明：VAC是/BAE的平分線,:.ZBAC=ZDAE,'：ZC=ZE,AB=AD.：.^BAC^^DAE(MS),???BC=DE.變式4-4.如圖，在ZkABC中，AB=AC,點(diǎn)、D、之分別是線段況、AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF.求證：△"￡)￡■竺△0E：求證：四邊形ADCF為矩形.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZAFE=ZDBE,再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AE=DE,根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BD,推出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZADC=90°,于是得到結(jié)論.【詳解】證明：VAF/7BC,/.ZAFE=ZDBE,?..E是線段AD的中點(diǎn)，?.?AE=DE,VZAEF=ZDEB,AABDE^AFAE(AAS)；證明：VABDE^AFAE.?.?AF=BD,?..D是線段BC的中點(diǎn)，?.?BD=CD,?.?AF=CD,?.?AF〃CD,.??四邊形ADCF是平行四邊形，?.?AB=AC,???AD丄BC‘/.ZADC=90°,.??四邊形ADCF為矩形.考査題型五全等三角形的判定?ASA典例5.如圖，EF過(guò)MBCD對(duì)角線的交點(diǎn)0,交AD于交BC于F,若財(cái)BCD的周長(zhǎng)為18,0￡=1.5,則四邊形EFCD的周長(zhǎng)為( )A.14 B.13 C.12 D.10【答案】C【詳解】?.?平行四邊形ABCD,:.AD//BC,AD=BC,AO=CO,：?ZEAO=ZFCO,?.?在和中，ZAEO=ZCFO? AO=CO ,ZAOE=ZCOF??.△AEO#ACFO,:.AE=CF,EO=FO=1.5,???C萍郵mci>=18,:.CD+AD=9,AC:;-cde^=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.故選c.變式5?1.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,匕。=90，4D=8，BC=6,分別以點(diǎn)A,C為圓心，大于=AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,作射線BE交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)O.若點(diǎn)O是AC的2中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（）A.4^2B.6A.4^2B.6D.8【答案】A【分析】連接FC,根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC,由垂宜平分線的性質(zhì)得AF=FC.再根據(jù)ASA證明△FOA^ABOC,那么AF=8C=3,等量代換得到FC=AF=3,利用線段的和差關(guān)系求出FD=AD-AF=\.然后在直角中利用勾股定理求出CD的長(zhǎng).【詳解】解：如圖，連接FC,?.?點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，由作法可知，OE垂直平分AC,:.AF=FC.?:AD//BC,:.ZFAO=ZBCO.在與中，ZFAO=ZBCO*OAr=OC,ZAOF=ZCOB.?.△FOA絲△BOC(ASA),:.AF=BC=6,/.FC=AF=6,FD=AD-AF=8-6=2.在△FDC中，VZD=90°,:B+DSFC2,ACZ>!+22=62,:?CD=40故選：A.變式5-2.如圖，AB=AC,AB±AC,ADLAE,KZABD=ZACE.求證：BD=CE.【答案】見(jiàn)解析.【分析】先求出ZCAE=ZBAD再利用ASA證明aABD^^ACE,即可解答【詳解】?「AB丄AC,AD±AE,:.ZBAE+ZCAE=90°,^BAE+ZBAD=90°,:.ZCAE=ZBAD.XAB=AC,ZABD=ZACE,?.?/\ACE(ASA).：.BD=CE.變式5-2.如圖，點(diǎn)C在線段BD上，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE,BC=DE,求證：AB=CD.【答案】詳見(jiàn)解析【分析】根據(jù)ABA_BD,DE丄BD,AC丄CE,可以得到ZABC=Z.CDE=ZACB=90">￡4CB+NECD=90，ZECD+ZCED=90，從而有ZACB=ZCED，可以驗(yàn)證AABC和ACDE全等，從而得到AB=CD.【詳解】證明：VAB±BD-DE1BD-ACLCE???ZABC=ZCDE=Z.ACB=90?.?ZACB+/ECD=90°，ZECD+ZCED=90°???ZACB=ZCED在A48C和△(?￡)￡：中ZACB=ACED-BC=DEZABC=ZCDE???MBC^^CDE故AB=CD.考査題型六全等三角形的判定-HL典例6.如圖，ZB=ZE,BF=EC,AC〃DF.求證：ZkABCgZXDEF.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出ZACB=ZDFE,進(jìn)而利用全等三角形的判定定理ASA,進(jìn)而得出答案.【詳解】證明：?.?AC〃DF,/.ZACB=ZDFE,?.?BF=CE,?.?BC=EF,在DEF中，ZB=ZE-BC=EF,ZACB=ZDFE.?.△ABC&DEF(ASA).變式6-1.己知：如圖，AB=CD,DE±AC,BF丄AC,E,F是垂足，AE=CF.求證：△ABFgZ^CDE

D,△【答案】見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)HL即可判定RtA/ABF^RtACDE.【詳解】證明：V￡)E±AGBFLAC.:.ZAFB=ZCED=90°,'：AE=CF,:.AF=CE,在RtAAfiF和RtACDE中，AB=CD'AF=CE???RlzM8F竺RlZXC龐(HL).考査題型七判定三角形全等的的條件典例7.如圖，點(diǎn)E在菱形ABCD的AB邊上，點(diǎn)F在BC邊的延長(zhǎng)線上，連接CE,DF,對(duì)于下列條件：①BE=CF；②CEVAB.DFA.BC-③CE=DF；④ZBCE=ZCDF,只選其中一個(gè)添加,不能確定阻CEm'CDF的是( )C.③C.③【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論.【詳解】解：?.?四邊形ABCD是菱形，.?.BC=CD?AB!/CD.:.ZB=ZDCF、”.?添加BE=CF,:.ABCEM^CDF(SAS),?「添加CE丄AB，DFA-BC-/.ZCE6=ZF=90°,:&CEdCDF(AAS),?.?添加CE=DF，不能確/ECEDCDF,?.?添加ZBCE=ZCDF,:.LBCEMMDF(ASA),故選：c.變式7-1.如圖，等腰△ABC中，點(diǎn)D,￡■分別在腰AB,AC上，添加下列條件，不能判定△ABE竺△ACD的是()A、 AD=AE B.BE=CDC.ZADC=ZAEBD.ZDCB=ZEBC【答案】B【分析】根據(jù)全等"角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即得答案.【詳鮮】解：A、若添加AD=AE，由于AB=AC,￡4是公共角，則可根據(jù)SAS判定^ABE^/\ACD-故本選項(xiàng)不符合題意：B、 若添加BE=CD，不能判定AACD.故本選項(xiàng)符合題意：C、 若添加ZADC=ZAEB，由于AB=AC,￡4是公共角，則可根據(jù)AAS判定/\ABE^/XACD?故本選項(xiàng)不符合題意；D、 若添加ZDCB=ZEBC-'：AB=AC,:.ZABC=ZACB.:.ZABE=^ACD,由于匕A是公共角，則可根據(jù)ASA判＞e^ABE^/\ACD'故本選項(xiàng)不符合題意.故選：B.變式7-2.如圖，四邊形ABCD是菱形，E、F分別是BC、CD兩邊上的點(diǎn)，下熊保誰(shuí)ZVIBE和..AOF一定全等的條件是（）A.ZBAF=ZDAEB.EC=FCC.AE=AFD.BE=DF【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法，對(duì)各選項(xiàng)分別判斷即可得解.【詳解】..?四邊形ABCD是爰形，???AB=BC=CD=DA,ZBAD=ZC■/R=/D，如果ZBAF=ZDAE，NBAF-ZEAF=NDAE-NEAF.即ZBAE=ZDAF.ZBAE=ZDAF?.?-AB=DA,ZB=ZD/./\ABE=ADF(ASA),故A正確:如果EC=FC,ABC-EC=CD-FC,即BE=DF,AB=DAV-ZB=ZD,BE=DF???/\ABE=^ADF(SAS),故B正確：如果AE=AF,VAB=DA.ZB=ZD.是SSA,則不能判定AABE^l.ADF全等，故C錯(cuò)誤:如果BE=DF，AB=DA則(ZB=ZD,BE=DF/./\ABE=ADF(SAS).故D正確:故選：C.

考査題型八全等三角形綜合問(wèn)題典例8.典例8.如圖AB=AC,CD丄AB于D,BE丄AC于E,BE與CD相交于點(diǎn)O.(I)求證AD=AE；（2）連接OA,BC,（2）連接OA,BC,試判斷直線0A,BC的關(guān)系并說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析:（2）互相垂直，證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)(1)根據(jù)AAS推出△ACD竺ZXABE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可:（2）證RlAADO^RtAAEO,推出ZDAO=ZEAO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出即可.【詳解】(I)證明：VCD1AB,BE丄AC,/.ZADC=ZAEB=90°,△ACD和AABE中，ZADC=ZAEBZCAD=ZBAEAB=ACAAACD^AABE(AAS),?.?AD=AE.（2）猜想：OA±BC.證明：連接OA、BC,LCD丄AB,BE丄AC,.*.ZADC=ZAEB=90o.在RlAADO和RtAAEO中，OA=OA,fAD=AE.?.RiaADO^RiaAEO(HL)./.ZDAO=ZEAO,又VAB=AC,AOA±BC.變式8-1.如圖，AC丄BC,DCLEC.AC=BC.DC=EC,AE與BD交于點(diǎn)、F.（1） 求證：AE=BD；（2） 求匕AFD的度數(shù).【答案】（1）見(jiàn)解析（2）90°【分析】（1） 根據(jù)題意證明△ACE^ABCD即可求解；（2） 根據(jù)三角形的內(nèi)角和及全等三角形的性質(zhì)即可得到NAFD的度數(shù).【詳解】（1）VACA.BC,DC丄EC，/.ZACB=ZECD=90°AZACB+ZBCE=ZECD+ZBCE即ZACE=ZBCD又AC=BC.DC=ECAAACE^ABCD「?AE=BD(2)VAACE^ABCD/.ZA=ZB設(shè)AE與BC交于O點(diǎn)，AZAOC=ZBOF.?.ZA+ZAOC+ZACO=ZB+ZBOF+ZBFO=180°?.?ZBFO=ZACO=90°故ZAFD=180°-ZBFO=90°.變式8-2.如圖，在AABC和ADCE中，AC=DE,ZB=ZDCE=90°,點(diǎn)A,C,D依次在同一宜線上,且AB〃DE.（1） 求證：2\ABC竺ZkDCE；（2） 連結(jié)AE,當(dāng)BC=5,AC=12時(shí)，求AE的長(zhǎng).【答案】（I）見(jiàn)解析；（2）13【分析】根據(jù)題意可知，本題考查平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和勾股定理，根據(jù)判定定理，運(yùn)用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等再通過(guò)AAS以及勾股定理進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）VAB//DE???Z8AC=ZCDE在AABC和ADCE中ZB=ZDCE-ZBAC=ZCDEAC=DEAaABC^ADCE(2)由(1)可得BC=CE=5在直角三角形ACE中AE=>jAC2+CE2=a/122+52=13變式8-3.如圖，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線，匕1=4,點(diǎn)、E、F分別在AB、BC上，BE=CD,BFCA,連接阡.求證：ZD=Z2；若EF//AC,匕0=78°,求ZBAC的度數(shù).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)78°.【分析】由“SAS'可證△ 竺△CD4,可得ZD=Z2：由(1)可得ZD=Z2=78°,由平行線的性質(zhì)可得Z2=ZBAC=78°.【詳解】證明：(1)在/XBEF和△CDA中，BE=CD?ZB=Z1.BF=CA.?.△BEFMCQA(SAS),/.ZD=Z2；(2)VZD=Z2,ZD=78°,.../￡>=22=78°,'：EF//AC,/.Z2=Z5AC=78°.變式8-4.如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D是BC上的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使DE=AD，連接CE.求證：N\BD三通CD若入切/)的面積為5,求MCE的面積.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)10.【分析】根據(jù)中點(diǎn)定義、對(duì)頂角相等以及己知條件運(yùn)用SAS即可證明；先根據(jù)二角形中點(diǎn)的;令等頂形的性，頃得到Smd=Smd、Smd=Secd‘I弓如合Sabd=5以及SacE=S.CD+SecD解答即可?【詳解】證明：(1).「D是BC的中點(diǎn)，?.?BD=CD在ZkABD和Z\CED中，BD=CDZADB=ZCEDAD=ED所以MBD欄匪CD.(2)?.?在ZkABC中，D是BC的中點(diǎn)?SabD=SACDAABD=AECD?Sabd=SECD'?Sabd=5?■-Sace=Sacd+Sg=5+5=10

答：三角形ACE的面積為10.考査題型九角平分線的性質(zhì)定理典例9.如圖，己知在AABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分ZABC,交CD于點(diǎn)E,BC=5,DE=2,則ZkBCE的面積等于（）A.10B.C.5A.10B.C.5D.4【答案】C【解析】試題分析：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF丄BC交BC于點(diǎn)F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=EF=2,所以△BCE的碩等勺*仙=攔'2=5做答案選C.變式9-1.如圖，AB〃CD,AD平分ZBAC,若ZBAD=70°,則ZACD的度數(shù)為（C.50°D.C.50°D.45°【答案】A【解析】試題分析：己知AD平分ZBAC,ZBAD=70°,根據(jù)角平分線定義求出ZBAC=2ZBAD=I4O°,再由AB〃CD,所以ZACD=180°-ZBAC=40°,故選A.變式9-2.如圖，在AABC中，ZC=90°,以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧交AB、BC于P、Q兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)P,Q為圓心，大于&PQ的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩孤相交于點(diǎn)N,射線BN交AC于點(diǎn)D.若AB=10,AC=8,則CD的長(zhǎng)是（A.2 B.2.4 C.3 D.4【答案】C【分析】作DE丄AB于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到設(shè)DE=DC=x，根據(jù)即￡>的面積公式列方程計(jì)算即可.【詳解】解：如圖所示，作DE丄AB于E,?/A5=10,AC=8,ZC=90°，?由基本尺規(guī)作圖可知，BD是AABC的角平分線，VZC=90°,DE丄AB,???可設(shè)￡>E=DC=x，?.?Sabd=^xABxDE=^xADxBC.即—x10xx=—x(8-x)x6.2 2解得x=3,即CD=3,故選C.變式9-3.三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成-個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建-個(gè)公園，要使公園到三條公路的距離相等，那么這個(gè)公園應(yīng)建的位置是()

4A.三條高線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可.【詳解】在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建-個(gè)公園，要使公園到三條公路的距離相等,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，公園應(yīng)建在ZA.匕B、NC的角平分線的交點(diǎn)處.故選C.考査題型十角平分線的判定定理典例10.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AD平分ZBAC,交BC于點(diǎn)D,AB=10,S典例10.如圖，RtAABC中，ZC=90°,為（B.4【答案】AC.5D.6為（B.4【答案】AC.5D.6【詳解】C作DELAB于?.?AB=10,Saabd=15,:.DE=3,'：AD平分Z5/4C,ZC=90°,DE±AB,:,DE=CD=3,故選A.

變式10?l.如圖，PA、地分別切。0于人、B,匕4朋=60°，。。半徑為2,則/為的長(zhǎng)為（）A.3B.A.3B.4C.2>/3【答案】C【分析】連接PO、AO、BO,由角平分線的判定定理得，P0平分ZAPB.則NAPO=3（T,得到P0=4,由勾股定理，即可求出PA.【詳解】解：連接PO、AO、B0,如圖：..?必、您分別切OO B，:.PAA-AO^PBA.BO-AO=BO,?.?PO平分ZAPB,?.?K。亍"%x6°F'VA0=2,ZPAO=90°,?.?PO=2AO=4,由勾股定理，則/M=V42-22=2>/3=故選：C.變式10-2.如圖，已知P是ZAOB的平分線上的?點(diǎn)，NAOB=60°,PD丄OA,M是OP的中點(diǎn)，點(diǎn)C是OB上的?個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PC的最小值為3cm,則MD的長(zhǎng)度為（ ）

A.3cmB.3y/3cmA.3cmB.3y/3cmC.2cmD.2y/^cm【答案】A【分析】根據(jù)垂線段最短、角平分線的性質(zhì)求出PD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答.【詳解】作PC丄OB于C,則此時(shí)PC最小，?.?P是ZAOB的角平分線上的-點(diǎn)，PD丄OA,PC丄OB,???PD=PC=3,ZAOP=30°,?.?OP=2PD=6,?「PD丄OA,M是OP的中點(diǎn)，ADM=—OP=3,2故選A.變式10-3.如圖，已知AABC ADE都是等腰三角形，ZBAC=ZDAE=90°.BD,CE交于點(diǎn)F,連接AF下列結(jié)論：①BD=CE；②段丄CF：③人尸平分匕CW：④ZAFE=45°.其中正確結(jié)【答案】C【分析】①證明△BAD些ZkCAE,再利用全等三角形的性質(zhì)即可判斷；②由△BAD^ACAE可得ZABF=ZACF.再由ZABF+ZBGA=90\ZBGA=ZCGF證得ZBFC=90°即可判定：③分別過(guò)A作AM丄BD、AN丄CE,根據(jù)全等三角形面積相等和BD=CE,證得AM=AN,即AF平分ZBFE.BP可判定；④由AF平分匕BFE結(jié)合BP丄CF即可判定.【詳解】解：..NBAC=NEAD...ZBAC+ZCAD=ZEAD+NCAD,即ZBAD=ZCAE^tABADfOACAE中AB=AC.ZBAD=ZCAE.AD=AEAABAD^ACAE.\BD=CE故①正確；VABAD^ACAE/.ZABF=ZACFVZABF+ZBGA=90\ZBGA=ZCGF.?.ZACF+ZBGA=90°,?.?ZBFC=90°故②正確；分別過(guò)A作AM丄BD、AN±CE垂足分別為M、NVABAD^ACAE.?SaBAD=SaCAE,：.-BDAM=-CEAN2 2VBD=CEAAM=AN???AF平分匕BFE,無(wú)法證明AF平分ZCAD.故③錯(cuò)誤：VAF平分ZBFE,BF丄CF???ZAFE=45°故④正確.故答案為C.專題19全等三角形【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)1全等三角形及其性質(zhì)全等圖形概念：能完全電合的圖形叫做全等圖形.特征：①形狀相同。②大小相等。③對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。全等三角形概念：兩個(gè)能完全車:合的一?.角形叫做全等三角形.小結(jié)：把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.表示方法：全等用符號(hào)“些”，讀作“全等于”。書寫三角形全等時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母要寫在對(duì)應(yīng)位置上。全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換。變換方式（常見(jiàn)）：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)。全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。知識(shí)點(diǎn)2：全等三角形的判定（重點(diǎn)）一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）

對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等性質(zhì)對(duì)應(yīng)中線相等，對(duì)應(yīng)高相等，對(duì)應(yīng)角平分線相等注：①判定兩個(gè)三角形全等必須有一組邊對(duì)應(yīng)相等；②全等三角形周長(zhǎng)、面積相等.證題的思路（重點(diǎn)）:找?jiàn)A角（路〉已知兩邊找點(diǎn)角（HL）找第三邊（SSS）'若邊為角的對(duì)邊，則找任意角（4袋）已知_邊_寄 找已知角的另-邊邊為角的鄰邊找已知邊的對(duì)角（孫S）找?jiàn)A已知邊的另一角（ASA）找兩角的夾邊（g）” 任意一邊（AAS）知識(shí)點(diǎn)3角平分線角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等;判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.三角形中角平分線的性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三條邊距離相等?！究疾轭}型】考査題型一全等三角形的性質(zhì)典例1.如圖，若厶考査題型一全等三角形的性質(zhì)典例1.如圖，若厶ABC絲Z\ADE,則下列結(jié)論中一定成立的是（A.AC=DEB.ZBAD=ZCAEC.AB=AED.ZABC=ZAED變式1-1.三個(gè)全等三角形按如圖的形式擺放，則ZRZ2+Z3的度數(shù)是（）A.C.AB=AED.ZABC=ZAED變式1-1.三個(gè)全等三角形按如圖的形式擺放，則ZRZ2+Z3的度數(shù)是（）A.90 B.120變式1-2.如圖所示，△ABDW^CDB,A.AABD和左CDB的面積相等C.ZA+ZABD=ZC+ZCBD考査題型二全等三角形的判定?sss135 D.180下面四個(gè)結(jié)論中，不正確的是（ ）B.AAB。和左CDB的周長(zhǎng)相等AD〃BC,且AD=BC典例2.用直尺和圓規(guī)作?個(gè)角的角平分線的示意圖如圖所示，其中說(shuō)明\COE^MX）E的依據(jù)是A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS變式2-1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(?3,0),B(2,0),C(-1,2),E(4,2),如果△ABC與△EFB全等,那么點(diǎn)F的坐標(biāo)可以是( )A.(6,0) B.(4,0) C.(4.-2) D.(4,-3)變式2-2.如圖，在四邊形A8CZ)中，ZB=ZD=90°,點(diǎn)E,F分別在AB，AD上，AE=AF^CE=CF,求證：CB=CD?變式2-3.人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第48頁(yè)告訴我們?種作己知角的平分線的方法:已知：ZAOB

求作：匕4。8的平分線做法：（1）以0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M,交0B于點(diǎn)N,（2） 分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于=MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩孤在ZAOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C2（3） 畫射線OC,射線OC即為所求.請(qǐng)你根據(jù)提供的材料完成下面問(wèn)題：（1） 這種作己知角平分線的方法的依據(jù)是 （填序號(hào)）.①SSS②釧③A4S④A訪（2） 請(qǐng)你證明0C為匕的平分線.考査題型三全等三角形的判定-SAS典例3.如圖，己知AB=DC,ZABC=ZDCB.能直接判斷的方法是（）A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA變式3-1.如圖所示，將兩根鋼條AA'、BB，的中點(diǎn)0連在?起，使AA，、BB，可以繞著點(diǎn)0自由旋轉(zhuǎn)，就做成了?個(gè)測(cè)量工件，則AB的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬AB,那么判定八OAB竺△OAB的理由是（）A,邊角邊 A,邊角邊 B.角邊角 C.邊邊邊變式3-2.如圖，己知AB//CD,AB=CD^BE=CF.D.角角邊求證：（1）NABF欄NDCE，'（2）AF//DE.變式3-3.己知：如圖，點(diǎn)A、B、C、。在…條直線上，EA//FB,EA=FB,AB=CD.（1）求證：ZE=ZF；（2）若ZA=40°,Z￡>=80°，求匕廳的度數(shù).考査題型四全等三角形的判定-AAS典例4.如圖，A8丄CD,且AB=CDE、F是A。上兩點(diǎn)，CE丄AD,BF丄AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則人D的長(zhǎng)為（A.a+cB.b+cC.A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c變式4-1.變式4-1.如圖，。是A8上?點(diǎn),交AC于點(diǎn)E，DE=FE，F(xiàn)C//AB,若AB=4，CF=3,則的長(zhǎng)是（）B.1C.1.5D.2則的長(zhǎng)是（）B.1C.1.5D.2變式4-2.ABDE和AFGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi).若求五邊形DECHF的周長(zhǎng)，則只需知道（AABC的周長(zhǎng)AABC的周長(zhǎng)AAFH的周長(zhǎng)四邊形FBGH四邊形FBGH的周長(zhǎng)四邊形ADEC的周長(zhǎng)變式4-3.如圖，AC是ZBAE的平分線，點(diǎn)是線段AC上的?點(diǎn)，ZC=Z￡,AB=AD.求證：BC=DE.DE.變式4-4.如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D、E分別是線段BC、AZ）的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF.（1） 求證：竺△団&（2） 求證：四邊形ADCF為矩形.考査題型五全等三角形的判定.ASA典例5.如圖，既過(guò)叫BCD對(duì)角線的交點(diǎn)0,交AD于E,交BC于F,若^ABCD的周長(zhǎng)為18,。匹=1.5,則四邊形EFCD的周長(zhǎng)為（）A.14B.13C.A.14B.13C.12D.10變式5-1.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC.匕0=90，AD=8，BC=6,分別以點(diǎn)A,C為圓心，大于；AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,作射線BE交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)O.若點(diǎn)O是AC的2中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（）

a.4V2B.6C.a.4V2B.6C.2>/10D.8變式5-2.如圖，AB=AC,AB丄AC,ADLAE,Q.ZABD=ZACE.變式5-2.如圖，點(diǎn)C在線段BD上，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE,BC=DE,求證：AB=CD.考査題型六全等三角形的判定?HL典例6.如圖，ZB=ZE,BF=EC,AC〃DF.求證：^ABC絲Z\DEF.變式6-1.己知：如圖，AB=CD,DE丄AC,BF丄AC,E,F是垂足，AE=CF.求證：AABF竺ACDE考査題型七判定三角形全等的的條件典例7.如圖，點(diǎn)E在菱形ABCD的AB邊上，點(diǎn)F在BC邊的延長(zhǎng)線上，連接CE,DF,對(duì)于下列條件：①BE=CF；②CE丄AB,DF丄BC；③CE=DF：④ZBCE=/CDF,只選其中一個(gè)添加,

不能確定団CE欄MDF的是（ ）變式7?1.如圖，等腰4ABC中，點(diǎn)。，E分別在腰AB,AC上，添加下列條件，不能判定△ABE#A.①B.②C.A.①B.②C.③D.④△ACD的是（）A.AD=AEA.AD=AEB.BE=CDC.ZADC=ZAEBD.ZDCB=ZEBC變式7-2.如圖，四邊形ABCD是菱形，E、F分別是BC、CD兩邊上的點(diǎn)，不熊保延△ABE和C.AE=AFC.AE=AFD.BE=DFA./RAF=/DAEB.EC=FC考査題型八全等三角形綜合問(wèn)題典例8.如圖AB=AC,CD丄AB于D,BE±AC于E,BE與CD相交于點(diǎn)O.(I)求證AD=AE：（2）連接（2）連接OA,BC,試判斷直線OA,BC的關(guān)系并說(shuō)明理由.變式8-1.如圖，AC丄BC,DCVEC.AC=BC.DC=EC,AN與交于點(diǎn)（1） 求證：AE=BDx（2） 求匕A/T＞的度數(shù).

變式8-2.如圖，在ZiABC和ADCE中，AC=DE,ZB=ZDCE=90°,點(diǎn)A,C,D依次在同一直線上,且AB〃DE.求證：ZiABC些ADCE；連結(jié)AE,當(dāng)BC=5,AC=12時(shí)，求AE的長(zhǎng).變式8-3.如圖，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線，Z1=Z5,點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，BE=CD,BF=CA,連接EF.(I)求證：ZD=Z2；(2)若EF'AC,匕。=78°,求Z&4C的度數(shù).變式8-4.如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D是BC±的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使DE=AD＞連接CE.求證：MBDmAECD若AA5D的面積為5,求A4CE■的面積.考查題型九角平分線的性質(zhì)定理典例9.如圖，已知在ZkABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分ZABC,交CD于點(diǎn)E,BC=5,DE=2,則ZkBCE的面積等于()

A.10B.7C.5D.4變式9-1.如圖，ABZ/CD,AD平分ZBAC,若ZBAD=70°,則ZACD的度數(shù)為（B.35°A.40°C.50°D.45°變式A.10B.7C.5D.4變式9-1.如圖，ABZ/CD,AD平分ZBAC,若ZBAD=70°,則ZACD的度數(shù)為（B.35°A.40°C.50°D.45°變式9-2.如圖，在AABC中，ZC=90°,以點(diǎn)B為圓心,以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧交AB、BC于P、Q兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)P,Q為圓心，大于^PQ的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N,射線BN交AC于點(diǎn)D.若AB=10,AC=8,則CD的長(zhǎng)是（A.2B.2.4C.3D.4變式9-3.三條公路將A、B.C三個(gè)村莊連成-個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建?個(gè)公園，要使公園到三條公路的距離相等，那么這個(gè)公園應(yīng)建的位置是（）A.三條高線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)考査題型十角平分線的判定定理典例10.如圖，RtZkABC中，ZC=90°,AD平分匕BAC,交BC于點(diǎn)D,AB=10,Saabd=15,則CD的長(zhǎng)為（）

變式10?l.如圖，PA、地分別切。0于人、B,匕4朋=60°，。。半徑為2,則/為的長(zhǎng)為（）A.3 B.4 c.20 D.2yf2變式10-2.如圖，己知P是ZAOB的平分線上的-點(diǎn)，NAOB=60°,PD丄OA,M是OP的中點(diǎn)，點(diǎn)C是OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PC的最小值為3cm,則MD的長(zhǎng)度為（）B.3-^3cmC.2cmD.2B.3-^3cmC.2cmD.2y/^cm變式10-3.如圖，已知..ABC和...A龐都是等腰三角形，ZBAC=ZDAE=90°,BD,CE交于點(diǎn)F,連接人尸，下列結(jié)論：①BD=CE；②時(shí)丄CF：③人尸平分匕CW：④ZAFE=45°.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）C.3個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)專題19全等三角形（滿分：100分時(shí)間：90分鐘）班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 分?jǐn)?shù) 一、單選題（共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1.（浙江湖州市?中考真題）在數(shù)學(xué)拓展課上，小明發(fā)現(xiàn)：若一條直線經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線平分該平行四邊形的面積.如圖是由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的圖形，戶是其中4個(gè)小正方形的公共頂點(diǎn)，小強(qiáng)在小明的啟發(fā)下，將該圖形沿著過(guò)點(diǎn)尸的某條直線剪一刀，把它剪成了面積相等的兩部分，則剪痕的長(zhǎng)度是（）A.2也 B.V5 C.— D.V102【答案】D【分析】根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)即可作出剪痕，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可證得EM=DN,利用勾股定理即可求得.【詳解】如圖，EF為期痕,過(guò)點(diǎn)尸作FG丄EM于G.Ar-F*UVEF將該圖形分成了面積相等的兩部分，?.?EF經(jīng)過(guò)正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，AF=CN,BF=DN.易證.APME#APDN.???EM=DN，而AF=MG-?.?EG=EM+MG=DN+AF=DN*CN=DC=\?在Rt\FGE中，EF=\lFG2+EG2=必 =面故選：D.2.（黑龍江中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD,AC=5,ZDAB=ZDCB=90°,則四邊形ABCD的面積為（ ）

A.15B.12.5C.14.5D.17A.15B.12.5C.14.5D.17【答案】B【分析】過(guò)A作AE1AC,交CB的延長(zhǎng)線于E,判定aACD^AAEB.即可得到AACE是等腰直角三角形，四邊形ABCD的面積4AACE的面積相等，根據(jù)S^cf尸!x5x5=12.5,即可得出結(jié)論.【詳解】如圖，過(guò)A作AE丄AC,交CB的延長(zhǎng)線于E,VZDAB=ZDCB=90°,VZDAB=ZDCB=90°,?.?ZD+ZABC=180°=ZABE+ZABC,AZD=ZABE,又ZDAB=ZCAE=90°,?.?ZCAD=ZEAB.又?.?AD=AB,「.△ACDMAEB,???AC=AE,即AACE是等腰直角三角形，.??四邊形ABCD的面積與AACE的面積相等,???Saace二!x5x5=12.5,四邊形ABCD的面積為12.5,故選B.（青海中考真題）如圖，把直角三角形A80放置在平面直角坐標(biāo)系中，己知匕。人8=30，8點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,將MBO沿著斜邊AB翻折后得到一ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ）

BcBcOAxA.(20,4)B.(2,2甸C.(V3,3)D.3危)【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD±y軸，垂直為D,首先證明aBOA^ABCA,從而可求得BC的長(zhǎng)，然后再求得ZDCB=30°,接下來(lái)，依據(jù)在RtABCD中，求得BD、DC的長(zhǎng)，從而可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).【詳解】NOAB=^AC=30,^BOA=^CA=90?AB=AB，...BOA巳.BCA，.?.OB=BC=2，NCBA=NOBA=60，過(guò)點(diǎn)C作CD±y軸，垂直為D,則￡DCB=30,DB=-BC=1,DC=^BC=H，2 2故選C.(新疆中考真題)如圖，在ZiABC中，ZC=90°,ZA=30°,以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑的畫弧，分別交BA,BC于點(diǎn)M、N：再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于gMN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP交AC于點(diǎn)D,則卜冽說(shuō)法中不正確的是()

A.BP是A.BP是ZABC的平分線B.AD=BDC.Scbd： =1：3 D.CD=—BD【答案】C【分析】A、 由作法得位）是/ABC的平分線，即可判定；B、 先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ZABC的度數(shù)，再由BP是ZABC的平分線得出匕4位）=30。=匕4,即可判定；C、 D、根據(jù)含30。的直角三角形，30°所對(duì)直角邊等于斜邊的-半，即可判定.【詳解】解：由作法得BD平分ZABC,所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確；VZC=90°,匕4=30。，?.?ZABC=60°,/.ZABD=30Q=ZA,:.AD-BD.所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；VZCBD=—ZABC=30°,2:.BD=2CD,所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確；:.AD=2CD,???Smbd=2Sacw>,所以C選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤.故選C.A（湖南張家界市?中考真題）如圖，在AABC中，47=90'，人C=8，DC=^AD,BD平分TOC\o"1-5"\h\zZABC,則點(diǎn)D到AB的距離等于（ ）CD AA.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE丄AB于E,根據(jù)己知求出CD的長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE丄AB于E,AC=8，DC=：AD,?.?NC=90?BD平分NABC.DE=CD=2，即點(diǎn)D到AB的距離為2,故選C.A.ZCEO=ZDEOA.ZCEO=ZDEO（山東濰坊市?中考真題）如圖，已知匕408.按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)。為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交匕AQ8的兩邊于C,。兩點(diǎn)，連接CZ）.②分別以點(diǎn)C,D為圓心，以大于線段OC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在408內(nèi)交于點(diǎn)五，連接CE，DE.③連接?！辍鼋籆D于點(diǎn)M.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）B.CM=MDc.ZOCD=ZECD D.S四邊形oced^CDOE【答案】C【分析】利用基本作圖得出是角平分線的作圖，進(jìn)而解答即可.【詳解】由作圖步驟可得：0E是匕的角平分線，?.?ZCOE=ZDOE,VOC=OD.OE=OE.OM=OM.「?△COE竺ZWOE,AZCEO=ZDEO,VZCOE=ZDOE,OC=OD,?.?CM=DM,OM±CD,「?Sj，oced=Smoe+Sadoi：二—OE?CMH—OE?DM=—CD?OE.2 2 2但不能得出/OCD=ZECD.?.?A、B、D選項(xiàng)正確，不符合題意，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，故選C.（山東臨沂市?中考真題）如圖，D是ABk-點(diǎn)，OF交AC于點(diǎn)E，DE=FE，F(xiàn)C//AB,若A8=4,CF=3,則3D的長(zhǎng)是（）AFRCA.0.5 B.1 C.1.5 D.2【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出ZA=ZFCE，ZADE=/F、根據(jù)全等:角形的判定，得出函）EmACFE，根據(jù)全等二角形的性質(zhì)，得出AD=CF，根據(jù)AB=4，CF=3、即可求線段D8的長(zhǎng).【詳解】.:CF/IAB，:,ZA=/FCE、ZADE=ZF‘ZA=ZFCE在AADE和AFCE中ZADE=ZF,DE=FEAAA￡）E^ACFE（A45）.???AD=CF=3-AB=4，DB=AB-AD=4-3=1.故選B.（廣西河池市?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，BE=CF,則圖中與NA幽相等的角的個(gè)數(shù)是（）KA.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用SAS即可證明左ABE^ABCF,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得ZBFC=ZAEB,進(jìn)?步得到ZDAE=ZAEB,ZBFC=ZABF,從而求解.【詳鮮】證明：???四邊形ABCD是正方形，???AB//BC,AB=BC,ZABE=ZBCF=90°.在△ABE和A5CF中，AB=BC<ZABE=ZBCF.BE=CF???AABE絲ABCF（SAS）.?.?ZBFC=ZAEB‘

???ABFC=/ABF，又有ZEAD=ZAEB故圖中與匕4曲相等的角的個(gè)數(shù)是3.故選C.（四川宜賓市.中考真題）如圖，AABCqECD都是等邊三角形，旦B,C,D在一條直線上，連結(jié)BE,AD,點(diǎn)M,N分別是線段BE,AD±的兩點(diǎn)，且皿=：AN=； ，則的形狀是B.直角三角形D.B.直角三角形D.不等邊三角形C.等邊三角形【答案】C【分析】先證明aBCE蘭二ACD,得到既=A￡），根據(jù)己知條件可得AN=BM-明左BCM=/\ACN?得到Z?V=60?！纯傻玫浇Y(jié)果：【詳解】*BC,區(qū)CD邵是等邊亠角形,ABC=AC.CE=CD.ZBCA=/DCE=".???ABCA+AACE=ADCE+AACE‘???ZBCE=ZACD.在aBCE和zMCD中，BC=AC,2BCE=AACD,CE=CD???△奶三△徹停S),??律=AD，/CBM=DACN、又?.?BM=、BE,AN=、AD,3 3BM=AN.在乙BCM和AAC7V中，BM=AN-ACBM=AACN,BC=AC:./\BCM三△初（鉗S）,/Bai=ZACN'MC=NC'?.?ZBOf+AACM=ZAG\?+/.ACM=60°.△CMN是等邊三角形.故答案選C.10.（廣西中考真題）如圖，在MBC中，AC=BC9ZA=40°,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知/BCG的度數(shù)為（ ）A.40° B.45° C.50° D.60°【答案】C【分析】利用等腰[角形的性質(zhì)和基本作圖得到CG丄A8.則CG平分NACB.利用ZA=ZB和[角形內(nèi)角和計(jì)算出ZACB,從而得到匕BCG的度數(shù).【詳解】由作法得CG丄AH，AB=AC.:.CG平分匕4CB,匕4=匕8,ZACB=]80。 40。 40。=]00。，ZBCG=-^ACB=50°.2故選：C.二、填空題（共5小題，每小題4分，共計(jì)20分）（廣西玉林市?中考真題）如圖，將兩張對(duì)邊平行且相等的紙條交叉疊放在一起，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD 菱形（是，或不是）.【答案】是【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)“兩張對(duì)邊平行且相等的紙WHlAB//CD9AD//BC.BE=DF,再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)帯形全等的判定定理與性質(zhì)可得AB=AD，最后根據(jù)菱形的判定即可得.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE±AD^交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF.LAB-交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F由題意得：AB//CD,AD//BC,BE=DF四邊形ABCD是平行四邊形ZBAE=ZDAF在AABE和,ADF中，WAEB=ZAFD=90°BE=DF:.ABEm’ADF（AAS）:,AB=AD平行四邊形ABCD是菱形故答案為：是. （黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，RLMBC和RtAED匠中，BC//DF,在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加?個(gè)條件 ，使RIAABC和RtAEDF全等. 【答案】AB=ED,答案不唯-【分析】本題是?道開放型的題目，答案不唯r可以是AB=ED或BC=DF或AC=EF或AE=CF等,只要符合全等三角形的判定定理即可.【詳解】RtAABC和RtAEDF中，???ZBAC=ZDEF=90。,BC//DF????ZDFE=ZBCA‘?.?添加AB=ED，在RtMHC和RlAEEJF'中ZDFE=ZBCA-ZDEF=ZBAC.AB=ED:.RtAABC^RtAEDF（AAS）,故答案為：AB=ED答案不唯（遼寧本溪市?中考真題）如圖，在A4BC中，M，N分別是和AC的中點(diǎn)，連接MV,點(diǎn)E是C7V的中點(diǎn)，連接?jì)I并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，若BC=4,則CD的長(zhǎng)為 .【分析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到MN=!BC=2,MN//BC,依據(jù)Z\MNE絲ADCE(AAS),即可得到2CD=MN=2.【詳解】解：VM.N分別是AB和AC的中點(diǎn),???MN是Z\ABC的中位線，???MN二丄BO2,MN〃BC,2；.ZNME=ZD.ZMNE=ZDCE,???點(diǎn)E是CN的中點(diǎn),?.?NE=CE,AAMNE^ADCE(AAS),?.?CD=MN=2.故答案為：2.(甘肅天水市?中考真題)如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作ZE4F=45°,AE交于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)、F，連接身'，將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到^ABG,若DF=3,則曲的長(zhǎng)為【答案】2【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AG=AF,GB=DF,ZBAG=ZDAF,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和等量代換可得ZGAE=ZFAE,進(jìn)而可根據(jù)SAS證明△GAE■竺△網(wǎng)￡可得GE=EF,設(shè)BE=x,則CE與EF可用含a?的代數(shù)式表示，然后在RtACEF中，由勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即得答案.【詳解】解：?.?將△ 尸繞點(diǎn)A顧時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG.:.AG=AF,GB=DF,ZBAG=ZDAF,VZE4F=45°,N曲￡）=90。，:.ZBAE+ZDAF=45°,:.ZBAE+ZBAG^0,即ZGAE=45°,:.ZGAE=ZFAE,又AE=AE,（SAS）,；.GE=EF,設(shè)BE=x,則CE=6~x,EF=GE=DF+BE=3+x,VDF=3,Z.CF=3,在RtACEF中，由勾股定理，得：（6—4+32=（x+3）2,解得：x=2,即BE=2.故答案為：2.（黑龍江齊齊哈爾市?中考真題）如圖，己知在△ABO和△ABC中，ZDAB=ZCAB,點(diǎn)A、B、E在同?條直線上，若使△ABD竺△A8C,則還需添加的-個(gè)條件是 .（只填-個(gè)即可）【答案】AD=AC（ZD=ZC或匕人BD=NABC等）【分析】利用全等三角形的判定方法添加條件即可求解.【詳解】解：弋/DAB=/CAB,AB=AB,二當(dāng)添加A￡>=AC時(shí)，可根據(jù)“SAN'判斷△ 絲△ABC；當(dāng)添加Z￡>=ZC時(shí)，可根據(jù)"AAS'判斷△A8Z性△A8C：當(dāng)添加ZABD=ZABC時(shí)，可根據(jù)“ASA"判斷△AB￡）竺△ABC.故答案為AZ）=AC（匕。二匕?；蜇暗龋?三、解答題（共5小題，每小題10分，共計(jì)50分）（柳州市柳林中學(xué)中考真題）如圖，已知OC平分ZMON，點(diǎn)A、B分別在射線OM,ONk,且OA=【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法可以證明結(jié)論成立.【詳解】證明：,「OC平分ZMON,?.?ZAOC=ZBOC,在△AOC和中，OA=OB-ZAOC=ZBOC,oc=oc.?.△AOC#Z\8OC（SAS）.（江蘇連云港市?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ADHBC，對(duì)角線8D的垂直平分線與邊A。、BC分別相交于M、N.（I）求證：四邊形刎是菱形;（2）若位）=24,MN=10,求菱形BMW的周長(zhǎng).【答案】（1）見(jiàn)解析：（2）52【分析】（1） 先證明△BONWADOM，得到四邊形BNDM為平行?四邊形，仰根據(jù)菱形定義證明即可：（2） 先根據(jù)菱形性質(zhì)求出OB、0M、再根據(jù)勾股定理求出BM,問(wèn)題的得解.【詳解】（1） ?:ADHBC、：?ZCBD=ZADB.MN是對(duì)角線BQ的垂直平分線，OB=OD，MB=MD.ZCBD=ZADB在△BON和△應(yīng)瀝中，＜OB=OD ,ZBON=ZDOM:._BONdDOM（ASA）,?.?MD=NB，四邊形BNDM為平行四邊形.又?:MB=MD,.??四邊形BMW為菱形.（2） ,:四邊形BNDM為菱形,位）=24，MN=10.ZBOM=90°?OB=-BD=\2,OM=、MN=5.2 2在RtZXHOM中，BM“OM^+BO2=W+122=13?..?菱形BNDM的周長(zhǎng)=4BM=4x13=52.（湖南湘西土家族苗族自治州?中考真題）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊角形A龐，連接（2）求的度數(shù).【答案】（I）見(jiàn)解析；（2）15。.【分析】⑴利用正方形的性質(zhì)得到AB=CD,ZBAD=ZCDA,利用等邊三角形的性質(zhì)得到AE=DE,ZEAD=ZEDA=60°即可證明；⑵由AB=AD=AE,得到ZiABE為等腰三角形，進(jìn)而得到ZABE=ZAEB.且ZBAE=90°+60°=150%再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.【詳解】解：（1）證明：..?四邊形ABCD是正方形，?.?AB=CD,且匕BAD=NCDA=90。，.?.△ADE是等邊三角形，?.?AE=DE,且ZEAD=ZEDA=60°,?.?ZBAE=ZBAD+ZEAD=150°,ZCDE=ZCDA+ZEDA=150°,.e.ZBAE=ZCDE,在八BAE^IlACDE中：AB=CD<ZBAE=Z.CDE,AE=DE???/\BAE^/\CDE（SAS）.（2）VAB=AD.且AD=AE,.?.△ABE為等腰三角形，AZABE=ZAEB,又ZBAE=150°,?.?由三角形內(nèi)角和定理可知：ZAEB=（180°-150°H2=l5°.故答案為：15。.（江蘇宿遷市?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F在AC上，且AF=CE.求證：四邊形BEDF是菱形.【答案】見(jiàn)解析【分析】由正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD=BC,ZDAE=ZBAE=ZBCF=ZDCF=45°,由“SAS"可證△ABE竺Z\ADE,ABFC^ADFC,AABE^ACBF,可得BE=BF=DE=DF,可得結(jié)論.【詳鮮】..?四邊形ABCD是正方形，?.?AB=AD=CD=BC,ZDAE=ZBAE=ZBCF=ZDCF=45°,在△入日日和左ADE中，AB=AD<ZBAE=/DAE,AE=AE「.△ABE絲AADE(SAS),?.?BE=DE,同理可得左BFC^ADFC,可得BF=DF,VAF=CE,?.?AF-EF=CE-EF,即AE=CF,在4ABE和左CBF中，AB=BC-ZBAE=ZBCF,AE=CFAAABE^ACBF(SAS),?.?BE=BF,?.?BE=BF=DE=DF,.??四邊形BEDF是菱形.

20.(江