空幾體其面和積識及型納結(jié)知點(diǎn)講一構(gòu)空幾體基元—、、（1）空間中，點(diǎn)動成線，線動面，面動成.（1）空間中，不重合的兩點(diǎn)確一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個平面，不共面的四點(diǎn)確定一個空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐.二簡凸面—柱棱、臺．棱：個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱.（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底的棱柱直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直底面的平行六面體長體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長都相等的長.．棱：一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.（1）正棱錐：底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長都相的三棱.．棱臺用一平行于錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫做正棱.簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示三簡旋體圓、錐圓、．圓：矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓

22．圓柱以直三角形一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐.22．圓：平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓．球：以圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長度.四組體由柱體、椎體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合.五表積體計公（表8-1和8-2表8-1

S柱體

c

為直截面周長

)S2r)圓錐椎體

1nah

圓錐

2(r)表面積

臺體

1Sna

圓臺

r球

S

R

表8-2柱體

體積椎體

1VSh3

22臺體球

1(臺4V3題歸及路示題1幾體的面與積思提熟悉幾何體的表面積、體積的基本公式，注意直角等特殊.例8-1三錐

的側(cè)棱

PA

，

PB

，

兩兩垂直，側(cè)面積分別是

，

，

，則三棱錐的表面積是，積是.解

如圖8-2所示，設(shè)a，PB，(，b，，12則,得2ca

,三式乘得

a

2

b

2

c

2

,所以abc,因此

,又棱

PA,,PC

兩兩垂,所

ABab

,

A

2

CB由余弦定理可得

圖8-2

5,BAC905,BAC90CA2222

2

2

,所以

S

表

61

,體積

V

1166

.評注若棱錐

P

的側(cè)

PB,

兩兩垂直,則比直角三形中的勾股定理有

ABC

PAB

PCA

(本

S

6261

),

P

16

PC

.變式1如圖8-3所示在ABC中ABC

o

,AD是邊的高,沿AD把VABD

折起,使

90

o

.若

BD

,求三錐

ABC

的表面.變式2如8-4(a)所,

ACB

o

,BC

,過點(diǎn)A作BC垂足D在段上且異于點(diǎn),連接,沿AD將VABD折使BDC90

o

(如8-4(b)所示).當(dāng)BD的為多少時三棱A

的體積最大AMB

D（）

C

B

D

E

C圖8-4

變式3已知四棱錐ABCD中

,那當(dāng)該棱錐的體積最大,它的為).A.1B.

3

C.2D.3

11例8.2如8-5所在方體

ABCD1111

中,

AB,2cm1

,則棱錐D1

的體積為解如8-6所示連接

交

BD

于

O

,在該方體中

,故底

為正方形,即

AOBD

,且

AO

2

,又顯然平面

D1

平面

ABCD

,故

AO

平面D11

.所以

V

ADD

BDBBAOcm3

.變式1(2012山理14)如圖8-7示正方體

ABCD11

的棱長為1,

F

分別為線段1

上的點(diǎn)則三棱錐

EDF1

的體積為.思提半徑為

的球

O

,表積

S

R

,體

43

;球上

A,B

兩點(diǎn)的球面距離為

R

,其中

AOB

(弧度制.這可知球的表面積體積計算實(shí)質(zhì)是求半.例8.3已知三個的半徑

R,滿RR13123

,則他們的表面積

,S,S1

3

滿足的等量關(guān)系是.解析

R

,即

R1

S12

,同理得

R2

S22

,

R3

S32

,由

R12

得SS12

3

.

223223變式1若

1

的表面積之比

12

,則們的半徑之比

12

.變式2正體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比(A.

1:

B.1:3C.

1:3

D.1:9題2思提

幾體外球內(nèi)球(1)半徑為的球O,表積S

R

2

,體

43

3

.(2)設(shè)小圓

半徑為

rOO1

,則

;若

A,B

是

上兩點(diǎn),則r

AOB1Rsin2

.(3)作出關(guān)鍵的軸截面,在軸面內(nèi)尋找集合體的棱長或母線長與球之間關(guān).例知正方體外接球的體積是

323

,那正方形的棱長等()A.

2

B.

3423C.D.分正體外接球的直徑為正方體的體對角.解析設(shè)正體的棱長為

,外接半徑為

R

,則33a

.故選D.變式1一個長方體的各頂點(diǎn)均在一球的球面,且個頂點(diǎn)上的三條棱額長分別為1,2,3,則球的表面積為.變式2正四體的棱長為2,則正四面體的外接球的面積為.例正三柱

AB11

內(nèi)接于半徑為2的球,若

A,

兩點(diǎn)的球面距離為

,則正棱柱的體積為.解析

設(shè)

為球心,由題意知

2AOB2sin

2

2

,底面圓的半徑為:AB3

223

,則正三棱柱的高為

6323

,所以正三棱柱的體積為223

.變式1直棱

AB11

的各頂點(diǎn)都在同一球面上,若

ABAC2,BAC

,則此球的表面積等于.

變式2

直三棱柱

AB11

的6

個頂點(diǎn)都在球

O

的球面上,

若AB3,AC4,ACAA121

,則

O

的半徑為().A.

17

B.

C.

132

D.

3例一個正三棱錐的4個點(diǎn)都在半徑為1的面,其中底面的頂點(diǎn)在該球的一個大圓上,則正三棱錐的體積()A.

333B.C.D.解設(shè)三棱錐的底面邊長為

,高為,由題意知a

3.故選C.變式1已知

S,,B,C

是球

O

表面上的點(diǎn)

SA

平面

,ABBC,AB

2

,則球O的面積等()A.

B.3

C.

D.

變式2已三棱錐

的所有頂點(diǎn)都在球

O

的球面上,

ABC

是邊長為1的三角形,

為

O

的直徑且

,則棱錐的體積().A.

22B.C.D.66變式3高

24

的四棱錐

ABCD

的底面是邊長為1的方形,點(diǎn)

S,BC,D

均在半徑為1的一球面上則底

的中心與頂點(diǎn)

S

之間的距離()A.

2B.4

C.1D.

最有效訓(xùn)練題1.若錐的側(cè)面展開圖是圓心角為

o

,半為

l

的扇形,則個圓錐的表面積側(cè)面積的比是().A.3:2B.2:1C.4:3D.5:32.一長方體上一個頂點(diǎn)所在的三個面

的面積分別是

2,3,6

,這長方體的體對角線長為().

66A.

B.

2

C.6D.

3.如所示,在腰梯形中AB2DC60

o

,E為的中點(diǎn)將

VADE與

BEC

分別沿

ED

和

EC

向上折起,使

重合于點(diǎn)

P

,則棱錐

P

的外接球的體積為).A.

6B.C.D.2244.過的一條半徑的中點(diǎn)作垂直于這條半徑的球的截,則此截面面積是球表面積().A.

13B.C.161612

D.

185.側(cè)長為4,底面長為

3

的正三棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個球面,則該球的表面積().A.

B.

68

C.

D.

6.已在四棱錐

P

,則棱錐的體積

的取值范圍().A.2121,B.C.D.,7.若個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為

的半圓,則圓錐的體積為28.將心角為,面為3

的扇形作為圓錐的側(cè),則錐表面積等于.9.正棱錐